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【单元知识点归纳】（沪教版）2023-2024学年七年级数学上册 第九章 整式 试卷（12个知识归纳+15类题型突破）
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第九章 整式（12个知识归纳+15类题型突破）
1. 掌握代数式的概念和分类；掌握单项式、多项式的概念与区别；
2. 掌握合并同类项的方法和技巧；
3.掌握同底数幂的乘法和整式的乘法运算；
4、掌握乘法公式并熟练运用乘法公式进行计算；
5、掌握因式分解的方法；
6、掌握整数的除法，尤其是同底数幂的除法计算；
知识点1．代数式
代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。
注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。
2、单独一个数字或者字母也是代数式。
3、代数式可以包含绝对值。
4、注意π并不是字母，而是一个数字。
知识点2．整式
一、单项式
1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
诠释：
（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
诠释：
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算。
二、多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。
诠释：“几个”是指两个或两个以上。
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
诠释：
（1）多项式的每一项包括它前面的符号。
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
诠释：
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。
三、 整式
1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。
诠释：
（1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式。
知识点3．代数式的值
代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值
知识点4．合并同类项
1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。
比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。
2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。
3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。
诠释：
(1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。
(2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。
(3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。
知识点5．去括号
一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
诠释：
(1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。
(2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。
（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。
二、添括号法则
（1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
（2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。
诠释：
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。
(2)去括号和添括号的关系如下：
如：，
知识点6．整式的加减
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
诠释：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。
(3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数。
知识点7．同底数幂的乘法
法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
特别说明：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
知识点8．幂的乘方与积的乘方
一、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
二、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
三、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
知识点9．整式的乘法
单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
特别说明：
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
特别说明：
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
知识点10．乘法公式
一、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
二、完全平方公式
完全平方公式：
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
四、补充公式
；；
；.
知识点11．因式分解
一、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
三、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
四、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
五、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在，则
特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
六、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
七、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式
八：添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
九：因式分解的解题步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
特别说明：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
知识点12．整式的除法
一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
题型一 代数式
1．（2023秋·七年级课时练习）下列式子符合书写要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据代数式的书写要求对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、应该写成，错误；
B、应该写成，错误；
C、应该写成，错误；
D、，书写正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
2．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，下列整式中不能正确表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别用不同方法表示出阴影部分的面积即可判断．
【详解】解：图中阴影部分的面积可以表示为：
或或，
故B，C，D不合题意，
A不能表示阴影部分面积，故符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了列代数式，熟练掌握阴影部分面积的求法是解题的关键．
巩固训练：
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，某长方形广场四角均设计一块半径为的四分之一圆形的花坛，正中是一个半径为的圆形喷水池，广场长为，宽为，则广场空地面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出广场的面积，草地面积，喷水池面积，用广场面积减去草地和喷水池的面积即可得出答案．
【详解】解：广场的面积为，
草地的面积为：，
喷水池的面积为：，
则广场空地面积为：，
故选：．
【点睛】本题考查了列代数式，掌握四个花坛的面积正好是一个圆的面积是解答本题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是十位上数字的2倍，则这个两位数是 ．
【答案】
【分析】根据“十位数字乘以10加上个位数字等于这个两位数”，列代数式即可.
【详解】一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是十位上数字的2倍，则这个两位数是
故答案为：12a
【点睛】本题主要考查了列代数式，熟练掌握两位数的表示方法是解题的关键.
3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）已知的相反数比的2倍多4．
(1)用含的式子表示；
(2)若，且，求的所有负整数值．
【答案】(1)
(2)，，，
【分析】（1）根据题意列出式子，即可得到答案；
（2）先表示出，再根据求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：的相反数比的2倍多4，
，
用含的式子表示：；
（2）解：根据题意得：，
，
，
解得：，
的所有负整数值为：，，，．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义、列代数式、求一元一次不等式的整数解，理解题意，正确进行计算是解题的关键．
题型二 代数式的值
3．（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）若，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】原式变形后，将的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴原式，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知，当时，y的值为2；当时，y的值为．则当时，y的值为（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
【答案】D
【分析】由题意得到，，求出，，把，，代入即可得到答案．
【详解】解：∵当时，y的值为2；当时，y的值为．
①－②得，，解得，
把代入①得，，
∴当时，，
故选：D
【点睛】此题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，根据题意得到方程组，求出，是解题的关键．
巩固训练
1．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，那么多项式的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】把所求的多项式进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解： ∵，
故选：B．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）若实数，满足，则 ．
【答案】7
【分析】根据非负数的性质可得，解得，的值并代入求值即可．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴可有，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质、解二元一次方程组以及代数式求值，根据非负数的性质列出二元一次方程组是解题关键．
3．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知代数式，当和时，它的值都为5，当时，它的值为1．
(1)求a，b，c的值；
(2)当时，求代数式的值．
【答案】(1)，，
(2)2
【分析】（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）由（1）可知，，把，代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
得，，即，
得，，即，
将，，代入③式得，，解得，
∴，，
∴，，；
（2）解：由（1）可知，，
把，代入，
∴的值为2．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
题型三 合并同类项
5．（2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）若 与 的和是单项式，则 ，的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意知， 与 是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，得到、的方程，可分别求得和的值．
【详解】解：由题意知，
解得，．
故选：A．
【点睛】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．与是同类项 B．与是同类项
C．与是同类项 D．与是同类项
【答案】D
【分析】根据同类项的定义进行分析判断．
【详解】解：A、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意；
B、与是所含相同字母x的指数不同，不是同类项，不符合题意；
C、与所含相同字母x的指数不同，不是同类项，不符合题意；
D、与含有相同的字母，且相同字母的指数相同，是同类项，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
巩固训练
1．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）如果单项式与
的和仍然是一个单项式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知单项式与是同类项，再根据同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得和的值，从而得结论．
【详解】解：单项式与的和仍然是一个单项式，
单项式与是同类项，
，，
解得：，，
．
故选：．
【点睛】此题主要考查了同类项，熟记同类项的定义是解答本题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果与是同类项，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，求出a和b的值，再将a和b的值代入即可求解．．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键是掌握同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项．
3．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）已知a是最大的负整数，与是同类项，且a，b，c分别对应数轴上的点A，B，C．
(1)求出a，b，c的值；
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B恰好是的中点时，求运动时间t的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据最大的负整数是，即可得出a的值，根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，即可求出b和c的值；
（2）当运动时间为t时，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是6则，，根据点B是AC的中点，得出，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：最大的负整数是，
，
与是同类项，
，
；
（2）解：当运动时间为t时，点A表示的数是，点B表示的数是，
点C表示的数是6，
，
，
点B是的中点，
，
，
解得，
所以当点B恰好是的中点，t的值是．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项；线段中点的定义；以及解一元一次方程的方法和步骤．
题型四 整式的加减
7．（2023秋·七年级课时练习）减去等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项的法则及去括号法则直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C；
【点睛】本题考查合并同类项的法则及去括号法则，解题的关键是去括号时括号前是负号，去掉括号所有项都要变号．
8．（2023秋·七年级课时练习）如果关于的代数式的值与无关，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用关于的代数式的值与无关，即可得出同类项的系数和为0，进而得出b的值．
【详解】∵关于的代数式的值与无关，
∴，
解得：，
故选D．
【点睛】此题考查整式加减，根据题意得出m，n的方程是解题关键．
巩固训练
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）某同学在完成化简：的过程中，具体步骤如下：
解：原式①
②
③
以上解题过程中，出现错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．①，②，③
【答案】C
【分析】根据整式的加减计算中，去括号的法则即可求解．
【详解】错误的步骤是③
正确的解答过程如下：
原式①
②
③
故答案为：C
【点睛】本题考查了整式的加减，在去括号的时候要注意符号的变化，合并同类项时，系数相加减．
2．（2023秋·七年级课时练习）若式子的值与字母的取值无关，则式子的值为 ．
【答案】1
【分析】先将原代数式化简，再根据代数式的值与字母x的取值无关，可得式子的值与字母的取值无关，，，从而解得a，b，再将式子化简后代入，即可求解．
【详解】解：
，
∵式子的值与字母的取值无关，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了整式加减的混合运算，根据代数式的值与字母x的取值无关，得到，是解题的关键．
3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）小明在做一道数学题：“化简：．”他根据此题拓展提出了下列问题：
(1)如果这个整式化简后是常数，求的值；
(2)若，，求原式的值；
(3)若，原式的值为4，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先对原式进行化简，根据化简后是常数可知关于x的项系数为0，据此求解即可；
（2）将，代入化简后的式子，计算即可；
（3）将，原式的值为4代入，可得关于a的方程，求解即可．
【详解】（1）解：
∵整式化简后是常数，
∴，
解得．
（2）解：当，时，
．
（3）解：∵，原式的值为4，
∴，
解得．
【点睛】本题考查整式的加减以及代数式求值，掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
题型五 同底数幂的乘法
9．（2023春·湖南永州·七年级校考期中）已知，，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据幂的运算公式：，进行逆用运算，即可求解．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法公式的逆用，掌握公式用法是解题的关键．
10．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）若，则（ ）
A．15 B．5 C．6 D．14
【答案】C
【分析】根据代数式右边的结果可以看出，其左边各项需要整理成以3为底的幂的形式，并进行合并进而求解．
【详解】解：
．
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法等，是初中数学中最基本的运算．一定要在深刻理解的基础上多练习，牢记运算法则．
巩固训练
1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a、b和c的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意分别表示出关于的等式，即可判断它们的关系。
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵
∴，即
故选：C
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则逆用是解题的关键．
2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）已知，，则 ．
【答案】8
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂乘法的逆运算法则是解题的关键．
3．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)（为大于1的整数）；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先确定符号，再根据同底数幂乘法法则进行计算；
（2）根据同底数幂乘法法则进行计算；
（3）根据同底数幂乘法法则进行计算；
（4）先变形为同底数幂，再根据同底数幂乘法法则进行计算．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
题型六 幂的乘方与积的乘方
11．（2023春·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方，积的乘方等于乘方的积，幂的乘方：底数不变，指数相乘．
巩固训练
1．（2023春·辽宁阜新·七年级校联考期中）若，，则的值为（ ）
A．40 B．100 C． D．
【答案】C
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
2．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）计算 ； ； ．
【答案】
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：；
；
．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂，熟练掌握同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂的运算法则是解题的关键．
3．（2023春·山东东营·六年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）按照同底数幂相乘法则计算即可；
（2）按照同底数幂相乘法则计算即可；
（3）先计算幂的乘方和积的乘方，再合并即可；
（4）利用积的乘方的逆运算计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：，
=，
=，
=．
（4）解：
=，
=，
=，
=．
【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，准确进行计算．
题型七 整式的乘法
13．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据整式乘除运算、多项式乘多项式法则即可求出答案．
【详解】解：选项A，原式，错误；
选项B，原式，错误；
选项C，原式，错误；
选项D，原式，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式乘除运算、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．
14．（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．8 B．14 C． D．2
【答案】D
【分析】先根据单项式乘以多项式法则可得，再代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题关键．
巩固训练
1．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据多项式乘以多项式，即可解答.
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式.
2．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）若的积中不含项与项．则代数式的值为 ．
【答案】/0.5
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，然后根据题意可得，，从而可得m，n的值，最后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
的积中不含项与项，
，，
，，
，
代数式的值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是多项式乘多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）观察下列各式．
(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．
①____________
②____________
③
(2)应用规律计算：
【答案】(1)①；②；③
(2)
【分析】（1）根据给出的等式可知，三项式的特点为：因式中二项式首平方，尾平方，首尾相乘的相反数在中央；计算结果为两个因式首项的积加上尾项的积；
（2）将第一个因式分解因式，然后利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】（1）解：∵；
；
；
∴得到三项式的特点为：因式中二项式首平方，尾平方，首尾相乘的相反数在中央；计算结果为两个因式首项的积加上尾项的积；
∴①；
②；
③；
故答案为：①；②；③；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了规律探索，多项式的乘法，因式分解，解题的关键是根据所给等式探究规律，得出规律，运用得到的规律解答．
题型八 平方差公式
15．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式的特点逐项判断即可．
【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，属于基本题型，熟知平方差公式的结构特点是解题的关键．
16．（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】添一个，从而和凑成平方差，然后再连续运用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差的应用，添项是解决此类问题的关键．
巩固训练
1．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）已知，则括号里应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式：， 即可确定答案；
【详解】，
故选：B
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌据平方差公式是解题的关键
2．（2023·全国·八年级专题练习）已知，则的个位数字为 ．
【答案】
【分析】先变形为在依次利用平方差公式计算得到，然后找规律求解．
【详解】，
，
，
，
∵，，，，…，的个位数字为，
∴的个位数字为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．
3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）观察下列各式：
；
；
．
(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．
① ；
② ；
③ ．
(2)应用规律计算：
．
【答案】(1)①；②；③；
(2)
【分析】（1）根据材料中的规律可得结论；
（2）先将分解为，再分别与后两项组合为立方和，立方差公式，最后再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）①；
②；
③．
故答案为：①；②；③；
（2）
．
【点睛】本题考查了平方差公式及整式的混合运算，能根据求出的算式得出规律是解此题的关键．
题型九 完全平方公式
17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如果，那么（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【分析】将所求式子变形为，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题关键．
18．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．．
C． D．
【答案】B
【分析】分别计算各选项后，即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项不符合题意；
B．，故选项符合题意；
C．，故选项不符合题意；
D．，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了乘法公式和多项式的乘法，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
巩固训练
1．（2023秋·八年级课时练习）若，则的结果是（ ）
A．23 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．
2．（2023春·福建三明·七年级校考阶段练习）我们把形如“”的式子称为完全平方式，若是一个完全平方式，，且，则 ．
【答案】4
【分析】根据完全平方式的特点，以及负整数指数幂的法则，求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：4．
【点睛】本题考查完全平方式和负整数指数幂．熟练掌握完全平方式的特点和负整数指数幂的法则，是解题的关键．
3．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的整体或某一部分通过恒等变形，化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式：______；
（2）已知，求的值；
【探究问题】
（3）已知（x是正整数，y是大于1的正整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件k的值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）13，理由见解析
【分析】（1）根据“完美数”的定义，即可求解；
（2）可化为，可得，，即可求解；
（3）可化为，根据“完美数”的定义，可得，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得
，
故答案：；
（2）由题意得
，
即，
，，
，，
解得：，，
则；
（3）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
S为“完美数”，
，
解得：，
是正整数，y是大于1的正整数，
，也是正整数，
是一个“完美数”．
【点睛】本题考查了新定义，配方法，理解新定义，掌握配方法是解题的关键．
题型十 乘法公式在几何背景下的应用
19．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为的小正方形后，再将剩余部分拼成一个长方形，则长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，先将剩余部分拼成长方形，再根据图形的边长关系将新长方形的长和宽表示出来，就可以计算面积．
【详解】解：如下图所示，
可以将图①拼到到图②的位置，就构成了长方形：
该长方形的长为：，宽为：，
则长方形的面积为：，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形周长的计算，单项式乘以单项式，题目较简单，解题的关键是能够用剩余部分图形拼出矩形．
20．（2023春·浙江杭州·七年级统考期中）如图张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系．
【详解】如下图
则空白部分的面积+
化简得：
∵
∴
化简得：
∴，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出和的面积．
巩固训练
1．（2023春·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（ ）
A．① B．②③ C．①③ D．③
【答案】D
【分析】根据各个图形中阴影部分面积的“算两次”，进而判断是否验证平方差公式即可．
【详解】解：图①中，将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形，
阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，
所以图①可以验证平方差公式，不符合题意；
图②中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的长方形的长为，款为，因此面积为，所以有，
因此图②可以验证平方差公式，不符合题意；
图③中阴影部分可以看作是边长为的正方形，因此面积为，所拼成的图形中阴影部分的面积可以看作四个小正方形的面积和，，因此不能验证平方差公式，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．
2．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2的阴影部分面积为2，则图1的阴影部分面积为 ．
【答案】10
【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，
根据题意可得：，
，
，
，
是的中点，
，
，，
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键．
3．（2023春·山东济南·七年级统考期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系为___________．
(3)运用你所得到的公式计算：若m、n为实数，且，试求的值．
(4)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为α、b，且，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
(4)10
【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；
（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、、的等式；
（3）根据（2）中结论即可解题；
（4）利用，整理变形，代入，，得到结果．
【详解】（1）解：图中阴影部分边长为，
则阴影部分的面积为；
故答案为：；；
（2）解：用两种不同的方法表示阴影的面积：
方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积；
方法二：阴影部分面积；
∴；
即，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，，
∵，
∴，
∴；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了完全平方公式及应用，解题关键是用不同方法表示同一图形面积．
题型十一 提取公因式法
21．（2023秋·全国·八年级课堂例题）把分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】找出各项的公因式即可．
【详解】解：把分解因式时，应提取的公因式是．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键．
22．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】将所求代数式化为，再代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式的方法是解答的关键．
巩固训练
1．（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）将多项式因式分解，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先提取公因式，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把看作一个整体．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ．
【答案】9
【分析】把展开，求出、的值，计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．
3．（2023秋·八年级课时练习）分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接提取公因式进行分解因式即可；
（2）直接提取公因式进行分解因式即可；
（3）直接提取公因式进行分解因式即可．
【详解】（1））解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知提公因式法分解因式是解题的关键．
题型十二 公式法
23．（2023秋·八年级课时练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义进行逐一判断即可：把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解．
【详解】解：A、，原式因式分解错误，不符合题意；
B、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，是因式分解且分解正确，符合题意；
D、，原式因式分解错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义和公式法分解因式，熟知因式分解的定义和方法是解题的额关键．
24．（2023春·四川达州·七年级校考期末）若，那么代数式应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对式子进行因式分解，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
巩固训练
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式因式分解，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）已知，则代数式的值为 ．
【答案】18
【分析】先因式分解再代入数据解题即可．
【详解】解：
，
当时，原式
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查整式的因式分解，能够熟练运用提公因式以及完全平方公式是解题关键．
3．（2023春·湖南岳阳·七年级校考期中）阅读材料：
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
(1)因式分解：
(2)因式分解：
(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
【详解】（1）解：令，
，
将“A”还原，可以得到：
原式；
（2）解：令，
则
，
将“B”还原，可以得到：
原式
；
（3）解：
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∴，
即代数式的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
题型十三 十字相乘法
25．（2023春·河北保定·八年级校考期末）若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．11
【答案】C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：，，据此可得，，问题随之得解．
【详解】解：多项式可分解为，
，，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键
26．（2023春·广西贵港·七年级统考期中）下列各组式子中，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据十字相乘法，完全平方公式，提公因式法因式分解，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
巩固训练
1．（2023·上海·七年级假期作业）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（ ）
A．x2+2x B．x2﹣4
C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x
【答案】D
【分析】首先把每个选项中的多项式进行因式分解，再根据结果即可判定．
【详解】解：A．原式＝x（x+2），故此选项不符合题意；
B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意；
C．原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，故此选项不符合题意；
D．原式＝x（x2+3x﹣4）＝x（x+4）（x﹣1），故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．
2．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式： ．
【答案】
【分析】原式变形后，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
3．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；
（2）利用换元法设，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；
（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．
【详解】（1）
；
（2）设，
∴原式
∴
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
题型十四 分组分解法
27．（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．
28．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列因式分解错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法分别判断即可．
【详解】解：A．，正确；
B．，正确；
C．，正确；
D．，原式分解不彻底，故不正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
巩固训练
1．（2023·上海·七年级假期作业）如果是多项式的一个因式．则k的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．8
【答案】C
【分析】设另一个因式是，根据多项式乘多项式法则求出，根据因式分解得出，，再求出答案即可．
【详解】解：设另一个因式是，
则
，
是多项式的一个因式，
，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
2．（2023·上海·七年级假期作业）已知，那么多项式的值为 .
【答案】//
【分析】先根据式子的特点展开，然后求出的值，再代入即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了乘法公式与因式分解的运算和求值的应用，熟练掌握整式的因式分解和整体代入的思想是解题的关键．
3．（2023·上海·七年级假期作业）已知：关于的多项式可以在有理数范围内分解因式，求正整数的值．
【答案】
【分析】设，得出，确定a、b的值，再求出m的值即可．
【详解】解：设，
∴，
∵m是正整数
∴是正整数，
∴，
此时；
，
；
综上可知：．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是对十字相乘法的理解．
题型十五 整式的除法
29．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）长方形的面积是，一边长是，则它的邻边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据长方形的面积计算，则另一边为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得，
∴它的另一边是，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确计算是解决问题的关键．
30．（2023秋·八年级课时练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可．
【详解】解：．
故选A．
【点睛】本题考查幂的混合运算．掌握运算法则是解题关键．
巩固训练
1．（2023·上海·七年级假期作业）计算的结果是（ ）．
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．
2．（2023·上海·七年级假期作业）计算： ；
【答案】
【分析】用多项式的每一项都除以单项式，并将结果相加，即可得出答案.
【详解】
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查整式的除法运算，熟练掌握多项式除以单项式的法则是解题关键.
3．（2023·上海·七年级假期作业）对于任何实数，我们规定符号，例如：．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)按规定请写出的结果；
(3)当a取的相反数时，请计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)264
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可；
（3）将代入（2）中结论即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：的相反数是2，
当时，
．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键．
第九章 整式（12个知识归纳+15类题型突破）
1. 掌握代数式的概念和分类；掌握单项式、多项式的概念与区别；
2. 掌握合并同类项的方法和技巧；
3.掌握同底数幂的乘法和整式的乘法运算；
4、掌握乘法公式并熟练运用乘法公式进行计算；
5、掌握因式分解的方法；
6、掌握整数的除法，尤其是同底数幂的除法计算；
知识点1．代数式
代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。
注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。
2、单独一个数字或者字母也是代数式。
3、代数式可以包含绝对值。
4、注意π并不是字母，而是一个数字。
知识点2．整式
一、单项式
1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
诠释：
（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
诠释：
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算。
二、多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。
诠释：“几个”是指两个或两个以上。
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
诠释：
（1）多项式的每一项包括它前面的符号。
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
诠释：
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。
三、 整式
1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。
诠释：
（1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式。
知识点3．代数式的值
代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值
知识点4．合并同类项
1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。
比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。
2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。
3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。
诠释：
(1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。
(2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。
(3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。
知识点5．去括号
一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
诠释：
(1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。
(2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。
（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。
二、添括号法则
（1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
（2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。
诠释：
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。
(2)去括号和添括号的关系如下：
如：，
知识点6．整式的加减
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
诠释：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。
(3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数。
知识点7．同底数幂的乘法
法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
特别说明：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
知识点8．幂的乘方与积的乘方
一、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
二、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
三、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
知识点9．整式的乘法
单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
特别说明：
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
特别说明：
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
知识点10．乘法公式
一、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
二、完全平方公式
完全平方公式：
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
四、补充公式
；；
；.
知识点11．因式分解
一、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
三、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
四、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
五、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在，则
特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
六、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
七、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式
八：添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
九：因式分解的解题步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
特别说明：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
知识点12．整式的除法
一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
题型一 代数式
1．（2023秋·七年级课时练习）下列式子符合书写要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据代数式的书写要求对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、应该写成，错误；
B、应该写成，错误；
C、应该写成，错误；
D、，书写正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
2．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，下列整式中不能正确表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别用不同方法表示出阴影部分的面积即可判断．
【详解】解：图中阴影部分的面积可以表示为：
或或，
故B，C，D不合题意，
A不能表示阴影部分面积，故符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了列代数式，熟练掌握阴影部分面积的求法是解题的关键．
巩固训练：
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，某长方形广场四角均设计一块半径为的四分之一圆形的花坛，正中是一个半径为的圆形喷水池，广场长为，宽为，则广场空地面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出广场的面积，草地面积，喷水池面积，用广场面积减去草地和喷水池的面积即可得出答案．
【详解】解：广场的面积为，
草地的面积为：，
喷水池的面积为：，
则广场空地面积为：，
故选：．
【点睛】本题考查了列代数式，掌握四个花坛的面积正好是一个圆的面积是解答本题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是十位上数字的2倍，则这个两位数是 ．
【答案】
【分析】根据“十位数字乘以10加上个位数字等于这个两位数”，列代数式即可.
【详解】一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是十位上数字的2倍，则这个两位数是
故答案为：12a
【点睛】本题主要考查了列代数式，熟练掌握两位数的表示方法是解题的关键.
3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）已知的相反数比的2倍多4．
(1)用含的式子表示；
(2)若，且，求的所有负整数值．
【答案】(1)
(2)，，，
【分析】（1）根据题意列出式子，即可得到答案；
（2）先表示出，再根据求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：的相反数比的2倍多4，
，
用含的式子表示：；
（2）解：根据题意得：，
，
，
解得：，
的所有负整数值为：，，，．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义、列代数式、求一元一次不等式的整数解，理解题意，正确进行计算是解题的关键．
题型二 代数式的值
3．（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）若，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】原式变形后，将的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴原式，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知，当时，y的值为2；当时，y的值为．则当时，y的值为（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
【答案】D
【分析】由题意得到，，求出，，把，，代入即可得到答案．
【详解】解：∵当时，y的值为2；当时，y的值为．
①－②得，，解得，
把代入①得，，
∴当时，，
故选：D
【点睛】此题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，根据题意得到方程组，求出，是解题的关键．
巩固训练
1．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，那么多项式的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】把所求的多项式进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解： ∵，
故选：B．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）若实数，满足，则 ．
【答案】7
【分析】根据非负数的性质可得，解得，的值并代入求值即可．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴可有，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质、解二元一次方程组以及代数式求值，根据非负数的性质列出二元一次方程组是解题关键．
3．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知代数式，当和时，它的值都为5，当时，它的值为1．
(1)求a，b，c的值；
(2)当时，求代数式的值．
【答案】(1)，，
(2)2
【分析】（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）由（1）可知，，把，代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
得，，即，
得，，即，
将，，代入③式得，，解得，
∴，，
∴，，；
（2）解：由（1）可知，，
把，代入，
∴的值为2．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
题型三 合并同类项
5．（2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）若 与 的和是单项式，则 ，的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意知， 与 是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，得到、的方程，可分别求得和的值．
【详解】解：由题意知，
解得，．
故选：A．
【点睛】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．与是同类项 B．与是同类项
C．与是同类项 D．与是同类项
【答案】D
【分析】根据同类项的定义进行分析判断．
【详解】解：A、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意；
B、与是所含相同字母x的指数不同，不是同类项，不符合题意；
C、与所含相同字母x的指数不同，不是同类项，不符合题意；
D、与含有相同的字母，且相同字母的指数相同，是同类项，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
巩固训练
1．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）如果单项式与
的和仍然是一个单项式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知单项式与是同类项，再根据同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得和的值，从而得结论．
【详解】解：单项式与的和仍然是一个单项式，
单项式与是同类项，
，，
解得：，，
．
故选：．
【点睛】此题主要考查了同类项，熟记同类项的定义是解答本题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果与是同类项，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，求出a和b的值，再将a和b的值代入即可求解．．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键是掌握同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项．
3．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）已知a是最大的负整数，与是同类项，且a，b，c分别对应数轴上的点A，B，C．
(1)求出a，b，c的值；
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B恰好是的中点时，求运动时间t的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据最大的负整数是，即可得出a的值，根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，即可求出b和c的值；
（2）当运动时间为t时，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是6则，，根据点B是AC的中点，得出，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：最大的负整数是，
，
与是同类项，
，
；
（2）解：当运动时间为t时，点A表示的数是，点B表示的数是，
点C表示的数是6，
，
，
点B是的中点，
，
，
解得，
所以当点B恰好是的中点，t的值是．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项；线段中点的定义；以及解一元一次方程的方法和步骤．
题型四 整式的加减
7．（2023秋·七年级课时练习）减去等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项的法则及去括号法则直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C；
【点睛】本题考查合并同类项的法则及去括号法则，解题的关键是去括号时括号前是负号，去掉括号所有项都要变号．
8．（2023秋·七年级课时练习）如果关于的代数式的值与无关，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用关于的代数式的值与无关，即可得出同类项的系数和为0，进而得出b的值．
【详解】∵关于的代数式的值与无关，
∴，
解得：，
故选D．
【点睛】此题考查整式加减，根据题意得出m，n的方程是解题关键．
巩固训练
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）某同学在完成化简：的过程中，具体步骤如下：
解：原式①
②
③
以上解题过程中，出现错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．①，②，③
【答案】C
【分析】根据整式的加减计算中，去括号的法则即可求解．
【详解】错误的步骤是③
正确的解答过程如下：
原式①
②
③
故答案为：C
【点睛】本题考查了整式的加减，在去括号的时候要注意符号的变化，合并同类项时，系数相加减．
2．（2023秋·七年级课时练习）若式子的值与字母的取值无关，则式子的值为 ．
【答案】1
【分析】先将原代数式化简，再根据代数式的值与字母x的取值无关，可得式子的值与字母的取值无关，，，从而解得a，b，再将式子化简后代入，即可求解．
【详解】解：
，
∵式子的值与字母的取值无关，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了整式加减的混合运算，根据代数式的值与字母x的取值无关，得到，是解题的关键．
3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）小明在做一道数学题：“化简：．”他根据此题拓展提出了下列问题：
(1)如果这个整式化简后是常数，求的值；
(2)若，，求原式的值；
(3)若，原式的值为4，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先对原式进行化简，根据化简后是常数可知关于x的项系数为0，据此求解即可；
（2）将，代入化简后的式子，计算即可；
（3）将，原式的值为4代入，可得关于a的方程，求解即可．
【详解】（1）解：
∵整式化简后是常数，
∴，
解得．
（2）解：当，时，
．
（3）解：∵，原式的值为4，
∴，
解得．
【点睛】本题考查整式的加减以及代数式求值，掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
题型五 同底数幂的乘法
9．（2023春·湖南永州·七年级校考期中）已知，，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据幂的运算公式：，进行逆用运算，即可求解．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法公式的逆用，掌握公式用法是解题的关键．
10．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）若，则（ ）
A．15 B．5 C．6 D．14
【答案】C
【分析】根据代数式右边的结果可以看出，其左边各项需要整理成以3为底的幂的形式，并进行合并进而求解．
【详解】解：
．
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法等，是初中数学中最基本的运算．一定要在深刻理解的基础上多练习，牢记运算法则．
巩固训练
1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a、b和c的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意分别表示出关于的等式，即可判断它们的关系。
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵
∴，即
故选：C
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则逆用是解题的关键．
2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）已知，，则 ．
【答案】8
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂乘法的逆运算法则是解题的关键．
3．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)（为大于1的整数）；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先确定符号，再根据同底数幂乘法法则进行计算；
（2）根据同底数幂乘法法则进行计算；
（3）根据同底数幂乘法法则进行计算；
（4）先变形为同底数幂，再根据同底数幂乘法法则进行计算．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
题型六 幂的乘方与积的乘方
11．（2023春·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方，积的乘方等于乘方的积，幂的乘方：底数不变，指数相乘．
巩固训练
1．（2023春·辽宁阜新·七年级校联考期中）若，，则的值为（ ）
A．40 B．100 C． D．
【答案】C
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
2．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）计算 ； ； ．
【答案】
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：；
；
．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂，熟练掌握同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂的运算法则是解题的关键．
3．（2023春·山东东营·六年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）按照同底数幂相乘法则计算即可；
（2）按照同底数幂相乘法则计算即可；
（3）先计算幂的乘方和积的乘方，再合并即可；
（4）利用积的乘方的逆运算计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：，
=，
=，
=．
（4）解：
=，
=，
=，
=．
【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，准确进行计算．
题型七 整式的乘法
13．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据整式乘除运算、多项式乘多项式法则即可求出答案．
【详解】解：选项A，原式，错误；
选项B，原式，错误；
选项C，原式，错误；
选项D，原式，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式乘除运算、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．
14．（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．8 B．14 C． D．2
【答案】D
【分析】先根据单项式乘以多项式法则可得，再代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题关键．
巩固训练
1．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据多项式乘以多项式，即可解答.
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式.
2．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）若的积中不含项与项．则代数式的值为 ．
【答案】/0.5
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，然后根据题意可得，，从而可得m，n的值，最后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
的积中不含项与项，
，，
，，
，
代数式的值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是多项式乘多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）观察下列各式．
(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．
①____________
②____________
③
(2)应用规律计算：
【答案】(1)①；②；③
(2)
【分析】（1）根据给出的等式可知，三项式的特点为：因式中二项式首平方，尾平方，首尾相乘的相反数在中央；计算结果为两个因式首项的积加上尾项的积；
（2）将第一个因式分解因式，然后利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】（1）解：∵；
；
；
∴得到三项式的特点为：因式中二项式首平方，尾平方，首尾相乘的相反数在中央；计算结果为两个因式首项的积加上尾项的积；
∴①；
②；
③；
故答案为：①；②；③；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了规律探索，多项式的乘法，因式分解，解题的关键是根据所给等式探究规律，得出规律，运用得到的规律解答．
题型八 平方差公式
15．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式的特点逐项判断即可．
【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，属于基本题型，熟知平方差公式的结构特点是解题的关键．
16．（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】添一个，从而和凑成平方差，然后再连续运用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差的应用，添项是解决此类问题的关键．
巩固训练
1．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）已知，则括号里应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式：， 即可确定答案；
【详解】，
故选：B
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌据平方差公式是解题的关键
2．（2023·全国·八年级专题练习）已知，则的个位数字为 ．
【答案】
【分析】先变形为在依次利用平方差公式计算得到，然后找规律求解．
【详解】，
，
，
，
∵，，，，…，的个位数字为，
∴的个位数字为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．
3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）观察下列各式：
；
；
．
(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．
① ；
② ；
③ ．
(2)应用规律计算：
．
【答案】(1)①；②；③；
(2)
【分析】（1）根据材料中的规律可得结论；
（2）先将分解为，再分别与后两项组合为立方和，立方差公式，最后再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）①；
②；
③．
故答案为：①；②；③；
（2）
．
【点睛】本题考查了平方差公式及整式的混合运算，能根据求出的算式得出规律是解此题的关键．
题型九 完全平方公式
17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如果，那么（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【分析】将所求式子变形为，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题关键．
18．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．．
C． D．
【答案】B
【分析】分别计算各选项后，即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项不符合题意；
B．，故选项符合题意；
C．，故选项不符合题意；
D．，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了乘法公式和多项式的乘法，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
巩固训练
1．（2023秋·八年级课时练习）若，则的结果是（ ）
A．23 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．
2．（2023春·福建三明·七年级校考阶段练习）我们把形如“”的式子称为完全平方式，若是一个完全平方式，，且，则 ．
【答案】4
【分析】根据完全平方式的特点，以及负整数指数幂的法则，求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：4．
【点睛】本题考查完全平方式和负整数指数幂．熟练掌握完全平方式的特点和负整数指数幂的法则，是解题的关键．
3．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的整体或某一部分通过恒等变形，化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式：______；
（2）已知，求的值；
【探究问题】
（3）已知（x是正整数，y是大于1的正整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件k的值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）13，理由见解析
【分析】（1）根据“完美数”的定义，即可求解；
（2）可化为，可得，，即可求解；
（3）可化为，根据“完美数”的定义，可得，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得
，
故答案：；
（2）由题意得
，
即，
，，
，，
解得：，，
则；
（3）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
S为“完美数”，
，
解得：，
是正整数，y是大于1的正整数，
，也是正整数，
是一个“完美数”．
【点睛】本题考查了新定义，配方法，理解新定义，掌握配方法是解题的关键．
题型十 乘法公式在几何背景下的应用
19．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为的小正方形后，再将剩余部分拼成一个长方形，则长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，先将剩余部分拼成长方形，再根据图形的边长关系将新长方形的长和宽表示出来，就可以计算面积．
【详解】解：如下图所示，
可以将图①拼到到图②的位置，就构成了长方形：
该长方形的长为：，宽为：，
则长方形的面积为：，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形周长的计算，单项式乘以单项式，题目较简单，解题的关键是能够用剩余部分图形拼出矩形．
20．（2023春·浙江杭州·七年级统考期中）如图张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系．
【详解】如下图
则空白部分的面积+
化简得：
∵
∴
化简得：
∴，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出和的面积．
巩固训练
1．（2023春·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（ ）
A．① B．②③ C．①③ D．③
【答案】D
【分析】根据各个图形中阴影部分面积的“算两次”，进而判断是否验证平方差公式即可．
【详解】解：图①中，将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形，
阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，
所以图①可以验证平方差公式，不符合题意；
图②中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的长方形的长为，款为，因此面积为，所以有，
因此图②可以验证平方差公式，不符合题意；
图③中阴影部分可以看作是边长为的正方形，因此面积为，所拼成的图形中阴影部分的面积可以看作四个小正方形的面积和，，因此不能验证平方差公式，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．
2．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2的阴影部分面积为2，则图1的阴影部分面积为 ．
【答案】10
【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，
根据题意可得：，
，
，
，
是的中点，
，
，，
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键．
3．（2023春·山东济南·七年级统考期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系为___________．
(3)运用你所得到的公式计算：若m、n为实数，且，试求的值．
(4)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为α、b，且，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
(4)10
【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；
（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、、的等式；
（3）根据（2）中结论即可解题；
（4）利用，整理变形，代入，，得到结果．
【详解】（1）解：图中阴影部分边长为，
则阴影部分的面积为；
故答案为：；；
（2）解：用两种不同的方法表示阴影的面积：
方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积；
方法二：阴影部分面积；
∴；
即，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，，
∵，
∴，
∴；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了完全平方公式及应用，解题关键是用不同方法表示同一图形面积．
题型十一 提取公因式法
21．（2023秋·全国·八年级课堂例题）把分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】找出各项的公因式即可．
【详解】解：把分解因式时，应提取的公因式是．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键．
22．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】将所求代数式化为，再代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式的方法是解答的关键．
巩固训练
1．（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）将多项式因式分解，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先提取公因式，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把看作一个整体．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ．
【答案】9
【分析】把展开，求出、的值，计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．
3．（2023秋·八年级课时练习）分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接提取公因式进行分解因式即可；
（2）直接提取公因式进行分解因式即可；
（3）直接提取公因式进行分解因式即可．
【详解】（1））解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知提公因式法分解因式是解题的关键．
题型十二 公式法
23．（2023秋·八年级课时练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义进行逐一判断即可：把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解．
【详解】解：A、，原式因式分解错误，不符合题意；
B、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，是因式分解且分解正确，符合题意；
D、，原式因式分解错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义和公式法分解因式，熟知因式分解的定义和方法是解题的额关键．
24．（2023春·四川达州·七年级校考期末）若，那么代数式应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对式子进行因式分解，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
巩固训练
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式因式分解，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）已知，则代数式的值为 ．
【答案】18
【分析】先因式分解再代入数据解题即可．
【详解】解：
，
当时，原式
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查整式的因式分解，能够熟练运用提公因式以及完全平方公式是解题关键．
3．（2023春·湖南岳阳·七年级校考期中）阅读材料：
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
(1)因式分解：
(2)因式分解：
(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
【详解】（1）解：令，
，
将“A”还原，可以得到：
原式；
（2）解：令，
则
，
将“B”还原，可以得到：
原式
；
（3）解：
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∴，
即代数式的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
题型十三 十字相乘法
25．（2023春·河北保定·八年级校考期末）若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．11
【答案】C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：，，据此可得，，问题随之得解．
【详解】解：多项式可分解为，
，，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键
26．（2023春·广西贵港·七年级统考期中）下列各组式子中，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据十字相乘法，完全平方公式，提公因式法因式分解，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
巩固训练
1．（2023·上海·七年级假期作业）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（ ）
A．x2+2x B．x2﹣4
C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x
【答案】D
【分析】首先把每个选项中的多项式进行因式分解，再根据结果即可判定．
【详解】解：A．原式＝x（x+2），故此选项不符合题意；
B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意；
C．原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，故此选项不符合题意；
D．原式＝x（x2+3x﹣4）＝x（x+4）（x﹣1），故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．
2．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式： ．
【答案】
【分析】原式变形后，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
3．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；
（2）利用换元法设，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；
（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．
【详解】（1）
；
（2）设，
∴原式
∴
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
题型十四 分组分解法
27．（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．
28．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列因式分解错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法分别判断即可．
【详解】解：A．，正确；
B．，正确；
C．，正确；
D．，原式分解不彻底，故不正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
巩固训练
1．（2023·上海·七年级假期作业）如果是多项式的一个因式．则k的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．8
【答案】C
【分析】设另一个因式是，根据多项式乘多项式法则求出，根据因式分解得出，，再求出答案即可．
【详解】解：设另一个因式是，
则
，
是多项式的一个因式，
，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
2．（2023·上海·七年级假期作业）已知，那么多项式的值为 .
【答案】//
【分析】先根据式子的特点展开，然后求出的值，再代入即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了乘法公式与因式分解的运算和求值的应用，熟练掌握整式的因式分解和整体代入的思想是解题的关键．
3．（2023·上海·七年级假期作业）已知：关于的多项式可以在有理数范围内分解因式，求正整数的值．
【答案】
【分析】设，得出，确定a、b的值，再求出m的值即可．
【详解】解：设，
∴，
∵m是正整数
∴是正整数，
∴，
此时；
，
；
综上可知：．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是对十字相乘法的理解．
题型十五 整式的除法
29．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）长方形的面积是，一边长是，则它的邻边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据长方形的面积计算，则另一边为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得，
∴它的另一边是，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确计算是解决问题的关键．
30．（2023秋·八年级课时练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可．
【详解】解：．
故选A．
【点睛】本题考查幂的混合运算．掌握运算法则是解题关键．
巩固训练
1．（2023·上海·七年级假期作业）计算的结果是（ ）．
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．
2．（2023·上海·七年级假期作业）计算： ；
【答案】
【分析】用多项式的每一项都除以单项式，并将结果相加，即可得出答案.
【详解】
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查整式的除法运算，熟练掌握多项式除以单项式的法则是解题关键.
3．（2023·上海·七年级假期作业）对于任何实数，我们规定符号，例如：．
(1)按照这个规定请你计算的值；
(2)按规定请写出的结果；
(3)当a取的相反数时，请计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)264
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可；
（3）将代入（2）中结论即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：的相反数是2，
当时，
．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键．
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