高中湘教版（2019）1.1 数列的概念示范课ppt课件

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1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项;2.掌握数列单调性的含义及判断方法.
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如果数列{an}的任一项　　　与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1=f(an),n≥1,那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式;a1称为数列{an}的初始条件.
这个条件是基础,不能缺少　
名师点睛1.数列的递推公式和初始条件也是表示数列的一种重要方法,递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式,用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.2.根据数列的递推关系求数列的项或通项公式必须具备两个条件:(1)已知数列的第1项(或前几项);(2)从第二项(或某一项)开始的任一项an+1与它的前一项an(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)所有数列都有递推公式.(　　)(2)由数列{an}的递推公式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能确定这个数列.(　　)
2.数列的递推公式一定只含an+1与an两项吗?
提示数列的递推公式不一定只含数列的相邻两项,也可以含数列的多项之间的关系.
名师点睛单调性是函数的重要性质,数列也是函数,根据数列的通项公式判断数列的单调性,可类比通项公式对应的解析表达式在区间(0,+∞)上的单调性.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若一个数列的通项公式为an=(-1)nn,则数列是摆动数列.(　　)
(3)若一个数列{an}满足an+1>an(n∈N,n≥2),则数列一定是递增数列.(　　)2.若一个数列{an}满足a1>a2>a3,则数列{an}一定是递减数列吗?
提示不一定,如数列的前若干项是4,3,2,5,6,7.
探究点一 由递推公式求数列的项
【例1】 (1)已知数列{an}满足要求a1=1,an+1=2an+1,则a5等于(　　)A.15B.16C.31D.32
解析 ∵数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,∴a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.
(2)将函数f(x)用列表法表示如下表,数列{xn}满足x1=5,且xn+1=f(xn)(n∈N+),则x2 021=(　　)
A.1B.2C.4D.5
解析 因为x1=5且xn+1=f(xn)(n∈N+),所以x2=f(x1)=f(5)=2,x3=f(x2)=f(2)=1, x4=f(x3)=f(1)=5,所以数列{xn}是一个以3为周期的数列,所以x2 021=x673×3+2=x2=2.
探究点二 由递推公式求数列的通项公式
【例2】 (1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+ ,n∈N+,求数列{an}的通项公式an.
分析 先将递推公式变形为an+1-an= ,再利用累加法求通项公式
(2)在数列{an}中,a1=1,an= an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式.
分析先将递推公式化为 (n≥2),再利用累乘法求通项公式.
规律方法　由递推公式求通项公式的常用方法
变式训练2(1)已知a1=1,an=2(an+1-an)(n∈N+),则数列{an}的通项公式是(　　)
探究点三 数列的单调性及其应用
角度1数列单调性的判断【例3】 已知数列{an}的通项公式是an= ,那么这个数列是(　　)A.摆动数列B.递减数列C.递增数列D.常数列
规律方法　判断数列的单调性的方法判断数列的单调性主要是判断数列的相邻两项的大小关系,常用的方法有作差法、作商法等.其中作差法主要是作差后,通过将差式变形来判断差的符号;而作商法主要是对于各项均为正数或负数的数列,判断商的比值与1的大小关系.对于判断给出通项公式的数列的单调性,可以通过通项公式相对应的解析表达式的特征,结合函数在(0,+∞)上的单调性判断.
变式训练3在数列{an}中,an= ,则{an}(　　)A.是常数列B.不是单调数列C.是递增数列D.是递减数列
角度2数列的单调性在求数列的最大(小)项中的应用
【例4】 已知数列{an}的通项公式为an=(n+1) ,判断数列{an}是否有最大项.若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.
∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,
(方法2)设ak(k>1)是数列{an}的最大项,
规律方法　求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如数列的单调性、最大项、最小项等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.
变式训练4已知数列{an}的通项公式为an=n(n-8)-20.(1)这个数列从第几项开始递增?(2)这个数列中有没有最小项?若有,求出最小项;若没有,请说明理由.
解 (1)an+1-an=2n-7,令an+1-an>0,得n> ,故数列{an}从第4项开始递增.
(2)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质知当n=4时,an取得最小值-36,即数列中有最小项,最小项为a4=-36.
角度3利用数列的单调性求参数的取值范围【例5】 (1)已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+λn(n∈N+,λ∈R),若{an}是递减数列,则λ的取值范围为(　　)A.(-∞,4)B.(-∞,4]C.(-∞,6)D.(-∞,6]
解析 ∵数列{an}是递减数列,∴an>an+1.∴-2n2+λn>-2(n+1)2+λ(n+1),解得λ<4n+2.∵n∈N+,∴4n+2的最小值为6,∴λ<6.故选C.
(n∈N+),若对于任意n∈N+都有an>an+1,则实数a的取值范围是　　　　. 
解析 ∵对任意的n∈N+都有an>an+1,
规律方法　利用数列的单调性求参数的取值范围的方法(1)根据数列的单调性求解参数的取值范围问题,求解时一般利用数列单调性的定义转化为an+1-an>0(<0)恒成立问题,转化后要注意n的取值范围.(2)对于分段表示的数列单调性问题,不但要考虑各段的单调性,而且还要注意分段点处两数列的项的大小关系.
变式训练5数列{an}的通项公式为an=n+ (a∈R),若数列{an}是递增数列,则a的取值范围为　　　　　. 
解析 数列{an}单调递增⇔an+1>an,可得 ,整理得a1.知识清单:(1)数列的递推公式;(2)数列的单调性:递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.2.方法归纳:根据递推公式写出数列的项用代入法,求通项公式用归纳法、累加法、累乘法等.3.注意事项:根据通项公式求数列的最大(小)项需要利用单调性判断法,根据数列的单调性求参数的取值范围要注意转化为恒成立问题.
1.数列2,4,6,8,10,…的递推关系是(　　)A.an=an-1+2(n≥2)B.an=2an-1(n≥2)C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)D.a1=2,an=2an-1(n≥2)
解析 A,B中没有给出初始条件,无法递推,D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意.
3.(多选题)若数列{an}的通项公式为an= ,且数列{an}是递增数列,则实数k的取值可以是(　　)A.-1B.1C.-3D.3
解析 由于数列{an}是递增数列,结合函数f(x)= 在区间(0,+∞)上是增函数时k<0,因此选AC.
4.在数列{an}中,a3=3,a4=5,且an+2=an+an+1,则a1=(　　)A.0B.1C.2D.3
解析 由an+2=an+an+1得a4=a2+a3,可得a2=2.由a3=a1+a2可得a1=1.
5.已知数列2a-1,a-3,3a-5为递减数列,则实数a的取值范围为　　　　　. 
解析∵数列2a-1,a-3,3a-5为递减数列,