高中数学1.2 等差数列教学演示课件ppt

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1.理解等差数列、等差中项的概念;2.掌握等差数列的通项公式,能运用公式解决相关问题;3.掌握等差数列的判定与证明方法.
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一般地,如果一个数列从　　　　起,每一项与它的前一项之差都等于　　　　　　,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的　　　　　,公差通常用字母　　　表示. 
名师点睛1.定义中的“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相对应;2.定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求说明作差的两项必须相邻;3.等差数列的公差的取值范围是全体实数;4.常数列是公差为0的等差数列.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的公差是相邻两项的差.(　　)(2)若两个等差数列的首项相同,公差也相同,则两个数列完全相同.(　　)2.定义中的“同一个常数”能改为“一个常数”吗?
若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则an=　　　　　　是数列的通项公式. 名师点睛等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d,n的关系式,所以由首项a1和公差d可以求数列的任意一项.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.(　　)(2)由等差数列的通项公式可知,已知an,a1,d,n中的三个可求另一个.(　　)2.如何利用符号语言描述数列{an}是等差数列?
提示 an+1-an=d(d为常数,n∈N+).
3.若等差数列的首项为a1,公差d=0,则数列的通项公式有何特征?
在两个数a,b之间插入数M,使a,M,b成等差数列,则M称为a与b的等差中项.名师点睛1.若M为a与b的等差中项,则M= .2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项唯一.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.(　　)(2)若{an}是一个有穷的等差数列,则数列中的任何一项都是其相邻两项的等差中项.(　　)2.如果在数列{an}中,an是an-1和an+1的等差中项(n≥2),那么数列{an}是等差数列吗?为什么?
提示 是.因为an是an-1和an+1的等差中项(n≥2),所以an-1,an,an+1成等差数列,故an-an-1=an+1-an(n≥2),由等差数列的定义知数列{an}是等差数列.
探究点一 等差数列的通项公式及其应用
【例1】 (1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2 022,则n=(　　)A.504D.507
解析 根据题意,数列{an}是首项a1=2,公差d=4的等差数列,则an=a1+(n-1)d =4n-2,若an=2 022,则有4n-2=2 022,解得n=506.
(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(　　)A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项
解析 首项a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.解不等式43-3n<0,得n> .因为n∈N+,所以n≥15,即第一个负数项是第15项.
(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为　　　　　. 
规律方法　等差数列通项公式的应用方法与技巧等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果已知其中的任意三个,那么就可以由通项公式求出第四个,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.
变式训练1判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项.如果是,指明是第几项;如果不是,试说明理由.
解 记该等差数列为{an},公差为d,由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.由题意,令-401=-4n-1,得n=100,即-401是这个数列的第100项.
探究点二 等差中项及其应用
【例2】 若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项.分析 先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入n=2 020求解.
规律方法　等差中项的应用策略(1)求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得A= .(2)证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
变式训练2(1)等差数列1,2a,4a2,…的第5项等于(　　)A.B.1C.5D.16
解析 因为1,2a,4a2,…成等差数列,所以4a=1+4a2,解得a= ,所以这个等差数列的每一项均为1.故选B.
(2)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为　　　　　. 
解析 由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得m+n=6.所以m和n的等差中项为 =3.
探究点三 等差数列定义的应用
角度1应用等差数列的定义解题
规律方法　等差数列定义的应用方法求解数列问题时,若已知条件中隐含等差数列的定义形式,则可以转化为等差数列问题求解.
变式训练3在数列{an}中,a1=2,a2=1, (n≥2),则其通项公式为an=　　　　　. 
角度2等差数列的证明
(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.分析 (1)根据已知条件,先用an表示bn,用an+1表示bn+1,然后证明bn+1-bn为常数;(2)结合{bn}是等差数列及an与bn的关系求{an}的通项公式.
规律方法　用定义法判定数列{an}是等差数列的基本步骤:(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
变式训练4在数列{an}中,a1=3,且满足an+1=an+2n+2,bn=an-n2(n∈N+),求证:数列{bn}是等差数列,并求{bn}的通项公式.
证明因为an+1=an+2n+2,所以an+1-(n+1)2=an-n2+1,故bn+1-bn=1.所以数列{bn}是等差数列,且公差为1,而b1=a1-1=2,故bn=2+(n-1)=n+1.
1.知识清单:(1)等差数列的概念、通项公式;(2)等差中项.2.方法归纳:定义法判断等差数列、累加法推导数列的通项公式、方程(组)求解等差数列的基本量.3.注意事项:等差数列的概念强调从第2项起,“每一项与前一项的差”为“同一个常数”,证明等差数列主要是证明an-an-1(n≥2)的值是一个常数.
1.设数列{an}是公差为d的等差数列,若a2=4,a4=6,则d等于(　　)A.4B.3C.2D.1
解析 由a2=a1+d=4,a4=a1+3d=6,解得d=1.
2.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-5n,则它的公差为(　　)A.3B.5C.-5D.-3
3.2 020是数列2,4,6,8,…的(　　)A.第1 008项B.第1 009项C.第1 010项D.第2 020项
解析 数列2,4,6,8,…为等差数列,首项为2,公差为2,则通项公式为an=2+(n-1)×2=2n,令2n=2 020,得n=1 010.故选C.
4.在数列{an}中,a1=3,an=an-1+3(n≥2),则an=　　　　　. 
解析 因为当n≥2时,an-an-1=3,所以{an}是以3为首项,3为公差的等差数列.所以an=3+3(n-1)=3n.
5.一个等差数列的连续4项是a,b,2,6,则 =　　　　　.