新教材2023_2024学年高中数学第2章平面解析几何初步培优课对称问题的解法课件湘教版选择性必修第一册

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第2章培优课　对称问题的解法1.掌握平面上点关于点、线的对称问题的解法;2.能够根据对称思想,求解实际问题.重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标重难探究·能力素养全提升探究点一 点关于点、线的对称问题【例1】 直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是(　　)A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0D 解析 (方法1)设所求对称直线方程上的点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的对称点的坐标为(-2-x,4-y).因为点(-2-x,4-y)在直线l:2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,整理得2x+3y-2=0.故选D.(方法2)设直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线为l1,则l∥l1.设直线l1的方程为2x+3y+t=0(t≠-6).在直线2x+3y-6=0上任取一点P(0,2),点P(0,2)关于(-1,2)的对称点为P'(-2,2),将P'(-2,2)代入2x+3y+t=0(t≠-6)得t=-2.故所求方程为2x+3y-2=0.故选D.规律方法　1.点关于点成中心对称的解法若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于点P0(x0,y0)中心对称,则2.线关于点成中心对称问题的解法(1)设出所求直线上的点的坐标P(x,y),求出点P(x,y)关于M的对称点P'的坐标,将点P'的坐标代入已知直线,所得方程即为所求直线的方程;(2)根据直线l关于直线外一点M的对称直线与已知直线互相平行可得对称直线l'的斜率,再取直线l上任意一特殊点,求其关于点M的对称点,将该点代入直线l'中,即可求出直线l'的方程.变式训练1已知直线l1与l2关于原点对称,若l1的方程是x+2y-3=0,则l2的方程是(　　)A.x+2y+3=0 B.x-2y+3=0C.2x+y+3=0 D.2x-y+3=0A解析 因为直线l1与l2关于原点对称,则只需将l1的方程中x改为-x,y改为-y,可得l2的方程是-x+2(-y)-3=0,即x+2y+3=0,故选A.探究点二 轴对称问题角度1点关于直线的对称问题【例2】 求点A(-2,3)关于直线3x-y-1=0对称的点A'的坐标.分析 设A(-2,3)关于直线的对称点为A'(x0,y0),根据对称性的特征建立方程组求解. 解 设A'(x0,y0),由题意, 所以点A关于直线3x-y-1=0对称的点A'为(4,1). 规律方法　1.点关于直线对称问题的解法若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)对称,则线段P1P2的中点在直线l上,且直线P1P2⊥直线l,2.点关于特殊的直线的对称问题的结论 变式训练2已知点P(1,2)与直线l:x+y+1=0,则点P关于直线l的对称点坐标为(　　)A.(-3,-1) B.(2,4) C.(-3,-2) D.(2,-2)C 解析 (方法1)设P(1,2)关于直线l:x+y+1=0对称的点为Q(a,b),则 (-3,-2).故选C.(方法2)设P(1,2)关于直线l:x+y+1=0对称的点为Q(a,b),则根据P(1,2)关于直线l:x+y+1=0的对称性结论可知a=-y-1=-3,b=-x-1=-2,即P(1,2)关于直线l:x+y+1=0对称的点为(-3,-2).故选C.角度2线关于线成轴对称问题【例3】 已知直线l:x-y-1=0,l1:x-y+3=0,l2:2x-y-1=0.(1)求直线l1关于直线l的对称直线l1'的方程;(2)求直线l2关于直线l的对称直线l2'的方程.解 (1)因为l1∥l,所以l1'∥l.设直线l1'的方程为x-y+c=0(c≠3,且c≠-1).在直线l1上取点M(0,3),设点M关于直线l的对称点为M'(a,b),把点M'的坐标代入直线l1'的方程,得4-(-1)+c=0,解得c=-5.所以直线l1'的方程为x-y-5=0.规律方法　直线关于直线的对称直线方程的求解方法设直线l1关于直线l的对称直线为l2.变式训练3(1)求直线l1:2x-y+6=0关于直线l:2x-y+1=0对称的直线l2的方程;(2)求直线2x+y-4=0关于直线x-y+1=0对称的直线的方程.解 (1)设直线l2的方程为2x-y+c=0(c≠6且c≠1),在直线l1:2x-y+6=0上取点P(-2,2),设点P关于直线l:2x-y+1=0的对称点为P'(m,n),则(2)因为直线2x+y-4=0与直线x-y+1=0相交,联立直线方程可得 探究点三 点关于直线对称问题的应用【例4】 在直线l:3x-y-1=0上,求点P和Q,使得(1)点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.解 (1)如图所示,设点B关于直线l的对称点B'的坐标为(a,b), 联立①②可得a=3,b=3,即B'点的坐标为(3,3). 即直线l与直线AB'的交点坐标为P(2,5),且此时点P到点A,B的距离之差最大.(2)如图所示,设点C关于直线l的对称点为C'(m,n), 规律方法　求直线上一点到两定点的和(差)距离最值问题的求法 变式训练4(1)已知A(1,4),B(8,3),点P在x轴上,求使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标;(2)已知点A(1,3),B(5,-2),在x轴上找一点P使|AP|-|BP|最大,求点P的坐标.解 (1)A(1,4)关于x轴的对称点为A'(1,-4),因为|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|,当A',P,B三点共线时取等号,此时点P为直线A'B与x轴的交点,直线A'B的直线方程为 ,整理得y=x-5.令y=0,得x=5,所以P点坐标为(5,0).(2)如图所示,作点B关于x轴的对称点B'(5,2),由对称性可知|BP|=|B'P|,则|AP|-|BP|=|AP|-|B'P|.当A,B',P三点不共线时,由三角形三边关系得|AP|-|B'P|<|AB'|;当A,B',P三点共线时,|AP|-|B'P|=|AB'|.所以|AP|-|B'P|≤|AB'|,当且仅当A,B',P三点共线时,等号成立,此时,直线AB'学以致用·随堂检测全达标1234561.若点A(1,1)与点B(3,5)关于点M对称,则点M的坐标为(　　)A.(5,9) B.(4,6)C.(2,3) D.(3,2)C解析 由题意可知点M是点A(1,1)与点B(3,5)的中点,因此点M的坐标为(2,3).1234562.已知点M(4,2)与N(2,4)关于直线l对称,则直线l的方程为(　　)A.x+y+6=0B.x+y-6=0C.x+y=0D.x-y=0D 解析 ∵M(4,2),N(2,4),∴线段MN的中点坐标为(3,3),则kMN= =-1.∵M(4,2)与N(2,4)关于直线l对称,则直线MN与直线l垂直,故kl=1.又直线l过点(3,3),∴直线l的方程为y-3=x-3,即x-y=0,故选D.1234563.点P(-2,3)关于y轴对称的点的坐标为　　　　　.  (2,3)解析 点关于y轴对称,横坐标相反,纵坐标相同,故P(-2,3)关于y轴对称的点的坐标为(2,3).1234564.点(2,1)关于直线y=x对称的点的坐标为　　　　　.  (1,2)解析 因为点P(x,y)关于直线y=x的对称点为P'(y,x),所以点(2,1)关于直线y=x对称的点的坐标为(1,2).1234565.直线x=1关于x=2对称的直线的方程为　　　　　.  x=3解析 设所求直线为x=t(t≠1),则由|2-1|=|t-2|,可得t=3.故所求直线的方程为x=3.1234566.若直线l1:x-3y+2=0与直线l2:mx-y+b=0关于x轴对称,求m+b. 解 直线l1:x-3y+2=0关于x轴对称的直线方程为x+3y+2=0.由题意知m≠0.