湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用背景图课件ppt

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1.通过丰富的实例,掌握圆锥曲线的应用;2.能够将生活中的问题抽象成圆锥曲线问题,并用圆锥曲线加以解决.
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探究点一 椭圆在实际问题中的应用
角度1天体运动中的椭圆轨迹问题【例1】某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为(　　)
分析 结合题设条件画出图形,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴长和半焦距,进而求得卫星远地点离地面的距离.
解析 如图,设椭圆的焦点为F1,F2,焦距为2c,长轴长为2a,地心位于焦点F1处.由题意可得,a-c=R+r,
规律方法　天体运动中的椭圆轨迹问题的解法在天体运行中,人造卫星运行的轨迹一般都是椭圆,而地心正是它的一个焦点,该椭圆的两个端点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到地心的距离一个是a-c,另一个是a+c.
变式训练1北京时间2020年11月24日我国“嫦娥五号”探测器成功发射.“嫦娥五号”发射是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战,经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后,若“嫦娥五号”返回器在近月点(离月面最近的点)约为200千米,远月点(离月面最远的点)约为8 600千米,以月球中心为一个焦点的椭圆轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作,月球半径约为1 740千米,则此椭圆轨道的离心率约为(　　)
角度2利用椭圆的几何性质求解实际问题【例2】有一椭圆形溜冰场,长轴长是100 m,短轴长是60 m.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形,且使这个矩形的面积最大,试确定这个矩形的顶点的位置,并求这时矩形的周长.
解 分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴,y轴,以长轴的中点为坐标原点O,建立如图的平面直角坐标系xOy.
规律方法　实际问题中与椭圆有关的内接几何体问题的解法实际问题中与椭圆有关的内接几何体的周长或面积有关的问题,可结合椭圆的方程设出椭圆上的点的坐标,将问题转化为与椭圆上的点有关的问题,利用椭圆的几何性质求解.[提醒]涉及与椭圆有关的实际问题不要忘记建立直角坐标系:求解与椭圆有关的实际问题时,由于已知条件中不含坐标系,因此首先要建立平面直角坐标系.
变式训练2如图,要在一个长半轴长为2米,短半轴长为1米,中心为O的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD,如何截取?求出这个矩形的面积.
解 以AB所在的直线为x轴,过O且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),依题意可得半个椭圆的方程为 +y2=1(y≥0).设点C的坐标为(m,n),即|OB|=m,|BC|=n,则矩形ABCD的面积为S=2|OB||BC|=2mn.
探究点二 双曲线在实际问题中的应用
【例3】如图,飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),B在A的正东方向,相距6 km,C在B的北偏东30°的方向上,相距4 km,P为航天员着陆点.某一时刻,在A地接到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,因此4 s后, B,C两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1 km/s.求∠PAB的大小.
分析以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,易判断点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,从而可确定双曲线的方程,再与BC的垂直平分线的方程联立,可求得点P的坐标,从而问题得解.
解 以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-3,0),B(3,0),C(5, ).因为|PC|=|PB|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.
又因为|PB|-|PA|=4,|AB|=6,
规律方法　双曲线在实际问题中的应用的求解方法实际问题中如涉及动点到两定点的距离之差为常数(小于两定点间的距离)的点的轨迹问题,常转化为双曲线问题求解,求解时首先要建立平面直角坐标系.
变式训练3如图所示,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到点B的距离远2 km .现要在曲线PQ上任一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B和M到C修建公路的费用均为a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是　　　　　万元. 
解析 AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系(图略),可得|AB|=4,A(-2,0),B(2,0),C(3, ).由题意可得|MA|-|MB|=2<|AB|,由双曲线的定义可得点M在分别以A,B为左、右焦点的双曲线的右支上,
探究点三 抛物线在实际问题中的应用
【例4】如图,一种加热水和食物的太阳灶上面装有可旋转的抛物面型的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处,容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m,镜深为2 m.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标;(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点,试求每根铁筋的长度.
分析在反光镜的轴截面上建立平面直角坐标系,设出抛物线方程,利用抛物线的有关性质求解.
解 (1)如图,在反光镜的轴截面上建立平面直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于镜口直径(抛物线的开口方向是x轴的正方向).由已知,得点A坐标是(2,6),设抛物线方程为y2=2px(p>0),则36=2p×2,解得p=9.
(2)∵盛水的容器在焦点处,∴A,F两点间的距离即为每根铁筋的长度.
故每根铁筋的长度是6.5 m.
规律方法　抛物线在实际问题中的应用的求解方法实际问题中的抛物线问题,首先建立平面直角坐标系,结合题意,求出抛物线的标准方程,利用抛物线的定义及性质求解.
变式训练4苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计),“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线型,如图所示.现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80米,距离门顶竖直距离8米处两塔内侧之间的距离约为16米,则“东方之门”的高度约为(　　)A.150米B.200米C.250米D.300米
解析 以门顶所在的点为坐标原点,以抛物线在顶点处的切线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy.设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由题意可知点(8,-8)在抛物线x2=-2py上,所以82=-2p×(-8),解得p=4,所以,抛物线的标准方程为x2=-8y.将x=40代入抛物线的方程可得y= =-200.因此,“东方之门”的高度约为200米.故选B.
1.方法归纳:利用椭圆的几何性质求解椭圆在天体运动中、实际问题中的应用,利用概念、几何性质求解双曲线、抛物线在实际问题中的应用.2.注意事项:求解圆锥曲线在实际问题中的应用,不要忘记建立平面直角坐标系,然后建立数学模型,要结合实际问题的特征求解.
1.某县全域旅游地图的外轮廓线是椭圆,根据图中的数据可得该椭圆的离心率为(　　)
2.一抛物线型拱桥,当水面离桥顶2 m时,水面宽4 m,若水面下降1 m时,则水面宽为(　　)
解析 以桥顶为原点,垂直于水面的直线为y轴(抛物线的开口方向与y轴的正方向相反)建立平面直角坐标系(图略),设抛物线的标准方程为x2=-2py p>0),由题意知,抛物线过点(2,-2),则4=2p×2,解得p=1.则抛物线的标准方程为x2=-2y.
3.今有一个水平放置的椭圆形球盘,点A,B是它的两个焦点,长轴长2a=10,焦距2c=6,静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线(不与长轴共线)发出,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程为　　　　　. 
解析 据题意画出图形,
结合椭圆的定义可知小球经过的路程为10+10=20.
4.(多选题)如图所示,“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是(　　)A.a1-c1=a2-c2 B.a1+c1=a2+c2