新教材2023_2024学年高中数学第3章圆锥曲线与方程培优课直线与椭圆的位置关系课件湘教版选择性必修第一册

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第3章培优课　直线与椭圆的位置关系重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标重难探究·能力素养全提升探究点一 直线与椭圆的位置关系(1)求椭圆L的标准方程;(2)过点Q(0,2)的直线l与椭圆L交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过坐标原点,求直线l的方程及|AB|的大小.(2)易知直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y=kx+2(k≠0).(4k2+1)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(4k2+1)=16(4k2-3)>0,规律方法　直线与椭圆的位置关系的判断方法 变式训练1已知直线l:y=kx+4,椭圆C: +y2=1.(1)若直线l过C的左焦点,求实数k的值;(2)若直线l与椭圆C有公共点,求实数k的取值范围.解 (1)由已知可得,椭圆C的左焦点的坐标是(-2,0),∵直线l:y=kx+4过C的左焦点,∴-2k+4=0,解得k=2.探究点二 直线被椭圆截得的弦长的求法【例2】已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求直线y=x+m被椭圆截得的弦最长时,直线的方程.分析 联立直线方程和椭圆方程,消元后求得判别式、两交点的坐标之间的关系式,利用两点间的距离公式求出弦长关于m的关系式,求解直线方程.(2)设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 所以当m=0时,|AB|最大,即被椭圆截得的弦最长,此时直线的方程为y=x. 规律方法　直线被椭圆截得的弦长的求法(1)直接利用两点间的距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间的距离公式求弦长.(2)弦长公式:当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.[提醒]如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况. 变式训练2已知斜率为2的直线l经过椭圆 =1的右焦点F1,与椭圆交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 解析 因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0),且斜率为2,所以直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.探究点三 中点弦问题【例3】已知椭圆 =1,过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程.解 (方法1)易知所求直线的斜率存在且不为0,设所求直线方程为y-1=k(x-2),k≠0.代入椭圆方程并整理得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.(方法2)设直线与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(2,1)为线段AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.规律方法　解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;(2)处理有关中点弦及对应直线斜率(斜率存在且不为0)关系的问题时,常用“点差法”,步骤如下:设点——设出弦的两端点坐标　↓代入——代入圆锥曲线方程　↓作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开　↓整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解变式训练3已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为　　　　　. 直线x+2y-8=0与椭圆交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),因为P(4,2)为线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4.探究点四 直线与椭圆相交的综合问题(1)求椭圆C的标准方程.(2)经过点M(2,-1)的直线l与C相交于P,Q两点(l不经过点A),设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.分析 由已知可得b,再由B点坐标求得a,因此椭圆方程可求.依题意直线l的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线方程为y=k(x-2)-1,k≠0,联立直线方程与椭圆方程化为关于x的一元二次方程,再表示出k1,k2,两者求和后利用根与系数的关系代入求k1+k2的值.(2)易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-2)-1,k≠0. 消去y得(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+16k2+16k=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),易知x1,x2≠0,则规律方法　解决直线与椭圆相交的综合问题的思路求解直线与椭圆的交点问题,首先需要将直线方程代入椭圆的方程,消元后,结合交点的性质,利用方程根与系数的关系转化为交点的坐标之间的关系求解,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.变式训练4已知椭圆C: +y2=1,动直线l:y=x+m.若l与C相交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求l的方程.∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,即2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,学以致用·随堂检测全达标123451.直线y=x+1与椭圆x2+ =1的位置关系是(　　)A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定C∵Δ=22+12=16>0,∴直线与椭圆相交. 12345C123453.直线y= x+1被椭圆x2+4y2=16截得的弦长为　　　　　.  123454.已知P(1,1)为椭圆 =1内一定点,经过点P引一条弦,使此弦被点P平分,则此弦所在的直线的斜率为　　　　　. 解析 易知此弦所在直线的斜率存在,设斜率为k,弦的端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),123455.已知直线l:y=x+b,椭圆C:3x2+y2=1,试问当b取何值时,直线l与椭圆C:(1)相切;(2)相交;(3)相离.