湘教版（2019）选择性必修 第一册第4章 计数原理4.3 组合课文配套课件ppt

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1.理解组合与组合数的概念,正确认识组合与排列的区别与联系;2.会推导组合数公式,并会应用公式进行计算;3.理解组合数的性质,并能应用性质求值、化简和证明.
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一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,　　　　　地构成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　)(2)组合概念中的“从n个不同元素中取出m个不同元素”,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.(　　)2.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列与组合的区别是什么?
提示排列要求取出的元素要有顺序的排成一组,而组合只要求取出后构成一组即可,不要求顺序.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)从5个不同元素中取出3个不同元素的组合数与从5个不同元素中取出2个不同元素的组合数相同.(　　)
(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名组成一组,有3种不同的选法.(　　)2.如何理解组合与组合数这两个概念?
提示同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样,“组合”与“组合数”也是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.例如,从3个不同元素a,b,c中取出两个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫一个组合,这些组合共有3个,则组合数为3.
探究点一 组合概念的理解
【例1】判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信?(2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话?(3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?
解 (1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为
(2)是组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序区别,组合数为 =45.
(3)是组合问题,因为去开会的3个人之间没有顺序的区别,组合数为 =120.
(4)是排列问题,因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数为 =720.
规律方法　区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无“顺序”,有顺序就是排列问题,无顺序就是组合问题.要判定它是否有顺序的方法是:先将元素取出来,看交换元素的顺序对结果有无影响,有影响就是“有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无序”,也就是组合问题.
变式训练1(多选题)下列问题是组合问题的是(　　)A.把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完的分配方法B.从2,3,5,7,11这5个质数中,取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,能构成不同的分数的个数C.从9名学生中选出4名参加一个联欢会的选法D.2022年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡表示新年的祝福,送出贺年卡的张数
解析 由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关,因此选项A是组合问题;由于选出的2个数作分子或分母,结果是不同的,因此选项B是排列问题;由于只考虑选出4名学生,不需要考虑排列他们的顺序,因此选项C是组合问题;甲写给乙贺年卡与乙写给甲贺年卡是不同的,所以与顺序有关,因此选项D是排列问题.
分析 先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算
分析 式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
规律方法　关于组合数计算公式的选取
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.分析 根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.
解 (1)任意选5人,则有 =792种不同的选法
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有 =36种不同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 =126种不同的选法.
变式探究若本例条件不变,甲、乙、丙三人至多有2人参加,有多少种不同的选法?
解 (方法1　直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:
规律方法　常见的含限制条件组合问题的解法(1)特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据.(2)含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以此作为分类依据,或采用间接法求解.(3)分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.
变式训练3某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
1.知识清单:(1)组合的概念;(2)组合数的计算方法;(3)组合数的性质.2.方法归纳:公式法求解与组合数有关的计算,直接法、间接法、分类讨论法求解“在”与“不在”,“至少”与“至多”型组合问题.3.注意事项:不能准确计算组合数,涉及含参数的组合数计算,不能准确求出参数的取值范围,“至少”与“至多”型组合问题,分类讨论不全面.
1.以下四个问题,属于组合问题的是(　　)A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列,有多少种排法?B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌,有多少种排法?C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星,有多少种选法?D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地,有多少种方法?
解析 A,B,D选项均与顺序有关,只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题.
2.一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球,从中取3个球,则共有(　　)种不同的取法.
解析 根据题意,一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球,共8个球,从中取3个球,有 种取法.故选D.
A.3B.5C.3或5D.15
解析 由组合数的性质得,n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5.故选C.
4.6个朋友聚会,每两人握手1次,一共握手　　　　　次. 
解析 每两人握手1次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手 =15次.