2023年陕西省中考数学真题（解析版）

这是一份2023年陕西省中考数学真题（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省中考数学试卷（A卷）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：　　
A．2 B． C．8 D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．
4．（3分）计算：　　
A． B． C． D．
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数和为常数，的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为　　

A． B．7 C． D．8
7．（3分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，则的半径为　　

A． B． C． D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有　　
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）如图，在数轴上，点表示，点与点位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点表示的数是 　　．

10．（3分）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 　　．

11．（3分）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为 　　．
12．（3分）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　　．

13．（3分）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 　　．

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式：．
15．（5分）计算：．
16．（5分）化简：．
17．（5分）如图．已知角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

19．（5分）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
20．（5分）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
21．（6分）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，

22．（7分）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种铜的胸径为时，树高为．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为时，其树高是多少？
23．（7分）某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表：
分组
频数
组内小西红柿的总个数

1
28


154

9
452

6
366
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是 　　；
（2）求这20个数据的平均数；
（3）“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300樱西红枝植株上小西缸柿的总个数．

24．（8分）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求线段的长．

25．（8分）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．

26．（10分）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修迅路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．


2023年陕西省中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：　　
A．2 B． C．8 D．
【分析】先根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：．
故选：．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
3．（3分）如图，，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】由对顶角相等可得，再由平行线的性质可求得，，结合已知条件可求得，即可求解．
【解答】解：如图，

，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
4．（3分）计算：　　
A． B． C． D．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【解答】解：

．
故选：．
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数和为常数，的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：，
函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，
函数是经过第一、三、四象限的直线，
故选：．
6．（3分）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为　　

A． B．7 C． D．8
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【解答】解：是的中位线，
，，
，
，
，
．
故选：．

7．（3分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，则的半径为　　

A． B． C． D．
【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【解答】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故选：．
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有　　
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用公式法求出二次函数最值．
【解答】解：由题意可得：，
解得：，，
二次函数，对称轴在轴左侧，
，
，
，
二次函数有最小值为：．
故选：．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）如图，在数轴上，点表示，点与点位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点表示的数是 　　．

【分析】根据原点左边的数是负数，由绝对值的定义可得答案．
【解答】解：由题意得：点表示的数是．
故答案为：．
10．（3分）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 　　．

【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可．
【解答】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，
在中，，，
，
同理，
，
故答案为：．

11．（3分）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为 　　．
【分析】连接，根据中心对称图形的定义得出点是菱形的两对角线的交点，根据菱形的性质得出，，那么．
【解答】解：如图，连接，
点是菱形的对称中心，，
点是菱形的两对角线的交点，
，，
．
故答案为：．

12．（3分）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　　．

【分析】根据矩形的性质得到，根据正方形的性质得到，设，，得到，，设反比例函数的表达式为，列方程即可得到结论．
【解答】解：四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
设，，
，，
设反比例函数的表达式为，
，
解得或（不合题意舍去），
，
，
这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．

13．（3分）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 　　．

【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，．
【解答】解：，
是等腰直角三角形，
作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：

．
，即，
此时、、三点共线且，点在的中点处，
，
．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式：．
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
不等式的两边都除以，得．
15．（5分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式

．
16．（5分）化简：．
【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：



．
17．（5分）如图．已知角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件．
【解答】解：如图，点即为所求．

18．（5分）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【解答】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
．
．
19．（5分）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，
故答案为：；
（2）树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
20．（5分）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
【分析】设该文具店中这种大笔记本的单价是元，根据买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，得，即可解得答案．
【解答】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是元，则小笔记本的单价是元，
买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，
，
解得：；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
21．（6分）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，

【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，

由题意得：，，
设，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
该景观灯的高约为．
22．（7分）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种铜的胸径为时，树高为．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为时，其树高是多少？
【分析】（1）设，利用待定系数法解答即可；
（2）把代入（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）设，
根据题意，得，
解之，得，
；
（2）当时，．
当这种树的胸径为时，其树高为．
23．（7分）某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表：
分组
频数
组内小西红柿的总个数

1
28


154

9
452

6
366
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是 　54　；
（2）求这20个数据的平均数；
（3）“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300樱西红枝植株上小西缸柿的总个数．

【分析】（1）用总数减去其它三组的频数可得的值，进而补全频数分布直方图，然后根据众数的定义解答即可；
（2）根据算术平均数的计算公式解答即可；
（3）用300乘（2）的结论可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，，
补全频数分布直方图如下

这20个数据中，54出现的次数最多，故众数为54．
故答案为：54；
（2）．
这20个数据的平均数是50；
（3）所求总个数：．
估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个．
24．（8分）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求线段的长．

【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接，
则，
，
，
．
；
（2）解：如图，，
为的直径，
．
，
，
，
，，
．
，
，，
连接，则，，
，
．

25．（8分）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．

【分析】（1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）令可得或，故，；再比较，的大小即可．
【解答】解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得：，
解得：，
；
方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）在中，令得：；
解得或，
，
；
，
．
26．（10分）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修迅路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．

【分析】（1）连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，则PM≥OM﹣4≥OM'﹣4，由直角三角形的性质得出OM'＝AM'•tan30°＝4，则可得出答案；
（2）分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m），连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．证出四边形BB'ON是平行四边形．由平行四边形的性质得出BN＝B′O．当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30（m），作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．证明△B'O'H∽△B'EA'，由相似三角形的性质得出，求出O'H的长可得出答案．
【解答】解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，

则 OP+PM≥OM．
∵⊙O半径为4，
∴PM≥OM﹣4≥OM'﹣4，
∵OA＝OB．∠AOB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴OM'＝AM'•tan30°＝12tan30°＝4，
∴PM≥OM'﹣4＝4﹣4，
∴线段PM的最小值为4﹣4；
（2）如图②，分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m），

连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．
∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON＝BB'，
∴四边形BB'ON是平行四边形．
∴BN＝B′O．
∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，
∴BN+PE≥B'E﹣r，
∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．
作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30（m），
作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．
∴O'H∥A'E，
∴△B'O'H∽△B'EA'，
∴，
∵⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界），
∴当⊙O'与FD相切时，B′H最短，即B′H＝10000﹣6000+30＝4030（m）．
此时，O′H也最短．
∵M'N'＝O'H，
∴M'N'也最短．
∴O'H＝＝4017.91（m），
∴O'M'＝O'H+30＝4047.91（m），
∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m．