江苏省苏州市2023-2024学年九年级上学期数学阶段检测模拟试题

这是一份江苏省苏州市2023-2024学年九年级上学期数学阶段检测模拟试题，共21页。试卷主要包含了下面的函数是二次函数的是，已知二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年初三数学10月阶段检模拟测试题
一．选择题（共10小题）(每小题3分，共30分)
1．下面的函数是二次函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝x2+2x
C．y＝ D．y＝
2．若△ABC∽△DEF，且面积比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1： D．3：1
3．一元二次方程x2+2x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．把抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝﹣（x+1）2﹣1
C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣1
5．把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4 B．y＝﹣（x+1）2+4
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2﹣3
6．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则＝（　　）

A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1 与y2的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
9．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣
10．已知抛物线y＝x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共8小题）(每小题3分，共24分)
11．关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，则a满足的条件是　 　．
12．二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是　 　，对称轴为　 　．
13．已知二次函数y＝﹣3（x+2）2，则此二次函数图象的对称轴直线是　 　．
14．已知α、β是一元二次方程x2﹣x﹣2020＝0的两个不同的根，则α2+β＝　 　．
15．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 　 　．
16．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2x+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　.（用“＜”连接）
17．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　．
18．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
若BE＝CE＝，CD＝1，则DF的长为 　 　.

三．解答题（共10小题）(共76分)
19．解下列方程：(每小题4分，共16分)
（1）（x+2）2＝25 （2）



（3） （4）




20．.(本题满分6分〕关于x的方程3x2+mx﹣8＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是，求另一个根及m的值．




21．(本题满分6分)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．

22．(本题满分8分)如图，已知抛物线的开口向下，与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），请根据图象解决下列问题：
（1）抛物线的对称轴是　 　；
（2）当x　 　时，y随x增大而减小；
（3）若y＜0，则x的取值范围是　 　；
（4）若图象经过点（﹣，y1）、（2，y2），则y1　 　y2（填“＜”，“＞”或“＝”）．

23．(本题满分8分)把二次函数y＝a（x+h）2+k（a≠0）的图象现象左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝﹣（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x+h）2+k（a≠0）图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．







24．(本题满分8分)某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
25
30
35
…
日销售量y（千克）
…
110
100
90
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？





25．(本题满分8分)已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点（0，﹣3）．
（1）求a的值；
（2）若P为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点，求证：∠ACO＝∠PCB；
（3）若Q为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上一点，且∠ACO＝∠QCB，求Q点的坐标．








26．(本题满分7分)如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　 　个．




27．(本题满分9分)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC上的一点，连接AP，作∠APD＝∠B交AC于点D．
（1）如图①，当BP＝CD时，求证：AC＝PC；
（2）如图②，作AE⊥BC于点E，当∠BAP＝∠PDC时，求证：∠BAP＝3∠EAP；
（3）在（2）的条件下，若AP＝8，求AB•PE的值．

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】利用二次函数定义可得答案．
【解答】解：A、是一次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、是正比例函数，故此选项不合题意；
D、不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：B．
2．【分析】由△ABC∽△DEF，且面积比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得相似比，又由相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且面积比为1：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：．
故选：C．
3．【分析】先计算出Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，然后根据判别式Δ＝b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴平移得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣1．
故选：B．
5．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1）+3+1
＝﹣（x+1）2+4，
即y＝﹣（x+1）2+4．
故选：B．
6．【分析】由二次函数的性质得a﹣1＞0，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：B．
7．【分析】由平行四边形对边平行且相等得到AD与BC平行且相等，由平行得到两对内错角相等，由两对角相等的三角形相似得到三角形EDF与三角形CBF相似，由相似得比例即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DEF＝∠BCF，∠EDF＝∠CBF，
∴△EDF∽△CBF，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴＝＝，
则＝，
故选：A．
8．【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1 与y2的大小．
【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，
∴y1＜y2．
故选：B．
9．【分析】求出二次函数对称轴为直线x＝m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，不合题意，舍去；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，
∴m＝﹣；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2．
综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．
故选：C．
10．【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，由PF＝PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值．
【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（，3），
∴ME＝3，FM＝＝2，
∴△PMF周长的最小值＝ME+FM＝3+2＝5．
故选：C．

二．填空题（共8小题）
11．【分析】任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式．利用一元二次方程的一般形式进行判断，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，
∴a满足的条件是a≠0．
故答案为：a≠0．
12．【分析】根据题目中函数的顶点式可以直接写出该函数的顶点坐标和对称轴，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的顶点坐标为（1，2），对称轴是直线x＝1，
故答案为：（1，2），直线x＝1．
13．【分析】根据顶点式直接写出其对称轴即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x+2）2，是顶点式，
∴对称轴为：x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
14．【分析】由一元二次方程的解的定义求得α2﹣α＝2020，由根与系数的关系求得α+β＝1，然后将其整体代入求值．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣x﹣2020＝0的两个不同的根，
∴α2﹣α﹣2020＝0，α+β＝1，
∴α2﹣α＝2020，
∴α2+β＝α2﹣α+（α+β）＝2020+1＝2021．
故答案是：2021．
15．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
而2+3＝5，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
16．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+a＝﹣（x﹣1）2+1+a，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
17．【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m+1，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m+1≤1，
解得m≥0．
故m的取值范围是m≥0．
故答案为：m≥0．
18．【分析】点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．利用相似三角形的性质证明△END是等腰直角三角形，再证明△EMF≌△CDF即可解决问题．
解：过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．
在Rt△BEC中，∵BE＝EC＝，∠BEC＝90°，
∴BC＝BE＝，∠BCF＝45°，
∵∠BDC＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∵∠EFB＝∠DFC，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴△BFE∽△CFD，
∴＝，
∴＝，
∵∠EFD＝∠BFC，
∴△EFD∽△BFC，
∴∠EDF＝∠BCF＝45°，
∵∠NED＝90°，
∴∠END＝∠EDN＝45°，
∴EN＝ED，
∵∠BEC＝∠NED＝90°，
∴∠BEN＝∠CED，
∵BE＝CE，
∴△BEN≌△CED（SAS），
∴BN＝CD＝1，DN＝BD﹣BN＝2，
∵EN＝ED，EM⊥DN，
∴MN＝DM＝1，
∴EM＝MN＝MD＝1，
∵∠EMF＝∠CDF＝90°，∠EFM＝∠CFD，EM＝CD，
∴△EMF≌△CDF（AAS），
∴MF＝DF，
∴DF＝．

三．解答题（共10.小题）
19．（略）
20．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2+96＞0，由此即可证出不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一根为n，将x＝代入原方程求出m的值，再由根与系数的关系可得出n＝﹣，解之即可得出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵在方程3x2+mx﹣8＝0中，Δ＝m2﹣4×3×（﹣8）＝m2+96＞0，
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一根为n，
将x＝代入原方程得：3×+m﹣8＝0，
解得：m＝10，
由根与系数的关系可知：n＝﹣，
∴n＝﹣4．
答：方程另一个根为﹣4，m的值为10．
21．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；
（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝6，
∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．

22．【分析】（1）抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称；
（2）根据函数图象解答；
（3）根据函数图象解答；
（4）根据函数图象的增减性解答．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是：x＝＝1，即x＝1；
（2）由函数图象知，当x＞1时，y随x增大而减小；
（3）由函数图象知，若y＜0，x的取值范围是：x＜﹣1或x＞3时；
（4）由于|﹣﹣1|＞|2﹣1|，所以y1＜y2．
故答案是：（1）x＝1；
（2）＞1；
（3）x＜﹣1或x＞3；
（4）＜．

23．【分析】（1）根据平移的规律左加右减，上加下减即可解决．
（2）根据a＞O开口向上，a＜0开口向下，顶点坐标（﹣h，k），对称轴x＝﹣h即可解决．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝a（x+h）2+k（a≠0）的图象现象左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝﹣（x+1）2﹣1
∴h＝﹣1，k＝﹣5，a＝﹣，
故答案为h＝﹣1，k＝﹣5，a＝﹣．
（2）y＝﹣（x﹣1）2﹣5
∵a＝﹣，∴开口向下，对称性x＝1，顶点坐标（1，﹣5）．
24．【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“日销售利润＝每千克利润×日销售量”可得函数解析式，根据获得1000的日销售利润列方程解出即可；
（3）将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（25，110）、（30，100）代入，得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣20）（﹣2x+160）＝1000，
即﹣2x2+200x﹣3200＝1000，
解得：x＝30或70，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，
答：该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．
（3）设超市日销售利润为w元，
w＝（x﹣20）（﹣2x+160），
＝﹣2x2+200x﹣3200，
＝﹣2（x﹣50）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w取得最大值为：w＝﹣2（40﹣50）2+1800＝1600，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．
25．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）即可求出a解决问题；
（2）如图1，连接AC、PC、BC、PB．首先利用勾股定理等逆定理证明△PBC是直角三角形，由tan∠PCB＝＝，tann∠ACO＝＝，推出tan∠PCB＝tan∠ACO，即可解决问题；
（3）分两种情形求解即可（ⅰ）如图2，当点Q在BC左侧的抛物线上时．（ⅱ）如图3中，当点Q在BC右侧的抛物线上时，延长CQ交x轴于点E，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，分别构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）得到3a＝﹣3，
∴a＝﹣1，
∴a的值为﹣1；
（2）如图1中，连接AC、PC、BC、PB．

∵a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1①，
∴P（2，1），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴CP＝2，BP＝，CB＝3，
∴BP2+BC2＝20，CP2＝（2）2＝20，
∴BP2+BC2＝CP2，
∴∠CBP＝90°，
∴tan∠PCB＝＝＝，
∵tan∠ACO＝＝，
∴tan∠PCB＝tan∠ACO，
∴∠ACO＝∠PCB；
（3）（ⅰ）如图2中，当点Q在BC左侧的抛物线上时，

由（2）可知：Q（2，1）；
（ⅱ）如图3中，当点Q在BC右侧的抛物线上时，延长CQ交x轴于点E，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F．

∵∠ACO＝∠QCB，
∴tan∠ACO＝tan∠QCB，
∴，
设EF长为x，
∴＝，
解得：x＝，
∴BE＝3，
∴E（6，0），
∴CE的解析式为：y＝x﹣3②，
联立①②并解得或（舍去），
∴点Q（，﹣），
故点Q的坐标为：（2，1）或（，﹣）．
26．【分析】（1）由抛物线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）由直线AB的解析式求得C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，利用三角形面积公式即可求得；
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P1AB的面积、△P2AB的面积、△P3AB的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的面积的一半．
【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．

27．【分析】（1）由AAS证得△ABP≌△PCD，得出AB＝PC，即可得出结论；
（2）易证△ABC是等腰直角三角形，得出∠B＝∠C＝45°，证∠DPC＝∠PDC＝67.5°，∠PAC＝22.5°，由等腰三角形的性质∠BAE＝∠EAC＝45°，则∠EAP＝∠EAC﹣∠PAC＝22.5°，进而得出结论；
（3）过点C作CG⊥AP交AP延长线于G，过点B作BH⊥AP于H，过点P作PF⊥AC于F，证△ABH≌△CAG（AAS），得AH＝CG，证出∠BAP＝∠APB，得AB＝BP，由等腰三角形的性质得AH＝PH＝AP＝4，则CG＝AH＝4，由三角形面积得AC•PF＝32，由角平分线的性质得PE＝PF，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠BAP+∠APB＝180°，∠APD+∠DPC+∠APB＝180°，∠B＝∠APD，
∴∠BAP＝∠DPC，
在△ABP和△PCD中，，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴AB＝PC，
∵AB＝AC，
∴AC＝PC；
（2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠B+∠BAP+∠APB＝180°，∠APD+∠DPC+∠APB＝180°，∠B＝∠APD，
∴∠BAP＝∠DPC，
∵∠BAP＝∠PDC，
∴∠DPC＝∠PDC，
∵∠C＝45°，
∴∠DPC＝∠PDC＝67.5°，
∵∠B＝∠APD＝45°，∠PDC＝∠APD+∠PAC，
∴∠PAC＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠BAC＝×90°＝45°，
∴∠EAP＝∠EAC﹣∠PAC＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∵∠BAP＝∠PDC＝67.5°，
∴∠BAP＝3∠EAP；
（3）解：过点C作CG⊥AP交AP延长线于G，过点B作BH⊥AP于H，过点P作PF⊥AC于F，如图③所示：
∴∠BHA＝∠AGC＝90°，
∵∠BAH+∠GAC＝90°，∠ACG+∠GAC＝90°，
∴∠BAH＝∠ACG，
在△ABH和△CAG中，，
∴△ABH≌△CAG（AAS），
∴AH＝CG，
∵∠BAP＝67.5°，∠APB＝180°﹣∠APD﹣∠DPC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠BAP＝∠APB，
∴AB＝BP，
∵BH⊥AP，
∴AH＝PH＝AP＝×8＝4，
∴CG＝AH＝4，
∴S△APC＝AP•CG＝×8×4＝16，
∵S△APC＝AC•PF，
∴AC•PF＝32，
∵∠EAP＝∠CAP＝22.5°，PF⊥AC，PE⊥AE，
∴PE＝PF，
∵AB＝AC，
∴AB•PE＝AC•PF＝32．