福建省莆田锦江中学2024届高三上学期第一次阶段考试数学试卷（解析版）

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1. 已知集合或，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】【分析】由集合补集和交集的运算计算即可.
【详解】因为或，则集合，
又集合，则.故选：D
2. 设是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性以及充分不必要条件的定义可得答案.
【详解】若，则，
若，则，即，当时，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】【分析】根据求导法则逐个分析判断即可
【详解】对于A，，所以A错误，对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C错误，对于D，，所以D正确，故选：D.
4. 若曲线（e是自然对数的底数）在点处的切线与y轴垂直，则（ ）
A 1B. C. D. －1
【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义与直线垂直的关系求解即可.
【详解】由于，根据题意有，所以.故选：A
5. 设，向量，，且，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量且，
可得，解得，所以，，
则，所以.故选：C.
6. 一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）A. B. C. D.
【答案】C【解析】【分析】根据全概率公式结合已知条件求解即可
【详解】记事件分别表示甲、乙取到的是玩具盲盒，
则由题意得，
所以故选：C
7. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.
【详解】，，
，，，，.故选：A.
8. 已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】构造函数，，结合导数可判断函数单调性，进而可比较函数值大小
【详解】设，则，则在上单调递增，
对于A，，化简得，故A错误；
对于B，，化简得，故B错误；
对于C，，化简得，故C正确；
对于D，，化简得，故D错误.故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用导数不等式构造函数的关键是将含导数的不等式转化为右侧为0，左侧利用导数的四则运算与基本初等函数求导公式构建原函数，从而可确定原函数的解析式，再根据导数符号确定函数单调性，从而可比较两个函数值的大小.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 如果，则下列选项不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD【解析】【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，如，则，所以A选项不正确.B选项，若，如，则，所以B选项不正确.C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确.D选项，若，如，此时，所以D选项不正确.
故选：ABD
10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 事件B与事件相互独立D. 是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据条件概率公式计算可知B正确；根据全概率公式计算可知A不正确；根据计算可知，故C不正确；根据互斥事件的定义可知D正确.
【详解】依题意得，，，则，故B正确；
，，所以
，故A不正确；因为，，，所以事件B与事件不相互独立，故C不正确；根据互斥事件的定义可知是两两互斥的事件，故D正确.故选：BD
11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或D.
【答案】AD【解析】【分析】由一元二次不等式的解法得关系，对选项逐一判断，
【详解】由的解集为或得，故故A正确，，故D正确，对于B，，解得，故B错误，对于C，为，解得，故C错误.
故选：AD
12. 如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则（ ）

A. //平面B.
C. 直线与平面所成角的正弦值为D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算，逐项判断，即可得出答案．
【详解】如图建立空间直角坐标系：可得,0,,,0,,,2,,,2,,,0,,,2,,,2,,,0,，因为,分别是,的中点,所以,1,,,2,，对于A,,1,，,2,，所以，故，因为面，面，所以面，故A正确；对于B,,2,，所以，故B正确；
对于C：平面的法向量,2,，,2,，所以,，所以直线与平面所成角的正弦值为，故C正确，D错误，故选：ABC．

三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知若正数、满足，则的最小值为___________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得答案.
【详解】已知正数、满足，则，所以，
，当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.故答案为：.
14. 10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率______.
【答案】【解析】【分析】根据题目所给已知条件，结合概率计算公式即可.
【详解】根据题意，10件产品中有7件正品，3件次品，则第一次抽到次品后，还有2件次品，7件正品；故第二次抽到次品的概率为：.故答案为：.
15. 已知随机变量服从二项分布，则__________.
【答案】【解析】【分析】根据二项分布的概率公直接求解即可
【详解】表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为，，故答案为：
16. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品而要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，则该厂生产______件这种产品时，可获得最大利润______元．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据得到利润的函数，利用导数求得函数的单调性和最大值，即可求解.
【详解】设该厂生产x件这种产品的利润为元，
则，则，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以是函数的极大值点，也是最大值点，所以当时，利润最大为元．故答案为：；.
四、解答题（共70分，17题10分，其余各题12分）
17. 已知函数
（1）若，求函数在区间上的最大值；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）8； （2）.
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，根据求出，则，在区间上单调递增，即可得到答案.（2）根据题意知，分参得，即可得到答案.
【小问1详解】，因为，所以，所以
在上恒成立，所以函数在区间上单调递增
所以
【小问2详解】因为函数在区间上为增函数，所以在上恒成立
所以在上恒成立，所以
18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点．

（1）求直线BD与平面APM所成角的正弦值；（2）求D到平面APM的距离．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【小问1详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，

，，设平面APM的法向量为，，，于是有，
，所以直线BD与平面APM所成角的正弦值为；
【小问2详解】由（1）可知平面APM的法向量为，，
，D到平面APM的距离为.
19. 甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
（1）求甲获胜的概率；（2）设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出甲三局、四局、五局获胜的概率，再利用互斥事件的概率公式计算作答.
（2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【小问1详解】依题意，比赛三局且甲获胜的概率为，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为．
【小问2详解】随机变量的取值为3，4，5，则，
，，
所以随机变量的分布列为：
则随机变量的数学期望为．
20. 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．

（1）若为的中点，求证：平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果.
【小问1详解】分别取中点，连接，

则为的中位线，，，又，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面
【小问2详解】以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，
设，则，，
令平面的法向量为，
则，令，则，，；
又平面的一个法向量，
，解得：或（舍），
，，即的长为.
21. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
（1）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球女生人数为X，求X的分布列与均值．
附：，其中，
【答案】（1）答案见解析； （2）认为喜爱打篮球与性别有关； （3）分布列见解析，1.
【解析】【分析】（1）求出喜欢打篮球的学生人数，完善2×2列联表.
（2）求出的观测值，再与临界值比对作答.
（3）求出的可能值，求出每个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
【小问1详解】依题意，喜欢打篮球的学生人数为，完善列联表如下：
【小问2详解】零假设：喜爱打篮球与性别无关，由（1）得，根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，所以认为喜爱打篮球与性别有关.
【小问3详解】喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2，
则，
所以的分布列为
的数学期望.
22. 已知函数.
（1）求的单调区间；（2）若有两个零点，记较小零点为，求证：.
【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解
【解析】【分析】（1）求出导函数，根据导函数的结构对分类讨论，利用导数与单调性的关系可求解；
（2）分析要证的，利用可得代换，即证，令函数，利用导数证明即可.
【小问1详解】解：的定义域为，，
当时，有，即在上单调递增；当时，令，可得，令，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】证明：函数有两个零点，由第一问可知，且较小的零点，
则要证，即证，即证，而可得（易检验），代换上式中，所以即证，即证，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，而，所以，即，得证.3
4
5
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
6
女生
10
合计
48
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
22
6
28
女生
10
10
20
合计
32
16
48
0
1
2