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2024永州高三上学期第一次模拟考试数学试卷含解析
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这是一份2024永州高三上学期第一次模拟考试数学试卷含解析，共5页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡等内容，欢迎下载使用。
命题人：郭志成（永州四中） 眭小军（永州一中）
李卫青（祁阳一中） 罗辉友（新田一中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1．全卷满分150分，时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，且，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
4. “函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B. 设随机变量，若，则
C. 在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好
D. 某人解答10个问题，答对题数为，则
10. 对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（ ）
A. 在区间内
B. 是15位数
C 若，则
D. 若是一个35位正整数，则
11. 菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 球的表面积为
C. 球被三棱锥表面截得的截面周长为
D. 过点与直线所成角均为的直线可作4条
12. 已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A. 4为一个周期B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．
14. 在平行六面体中，为的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则________（用表示）．
15. 若函数，当时，，则实数的取值范围________．
16. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
18. 在中，设所对的边分别为，且满足．
（1）求角；
（2）若的内切圆半径，求的面积．
19. 如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
20. 某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．
（1）设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；
（2）已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．
参考数据：
21. 已知点A为圆上任意一点，点坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．
22. 已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）若时，，求实数的取值范围．
真数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（近似值）
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954
1.000
真数
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（近似值）
1.041
1.079
1.114
1.146
1.176
1.204
1.230
1255
1.279
命题人：郭志成（永州四中） 眭小军（永州一中）
李卫青（祁阳一中） 罗辉友（新田一中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1．全卷满分150分，时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，且，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
4. “函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B. 设随机变量，若，则
C. 在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好
D. 某人解答10个问题，答对题数为，则
10. 对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（ ）
A. 在区间内
B. 是15位数
C 若，则
D. 若是一个35位正整数，则
11. 菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 球的表面积为
C. 球被三棱锥表面截得的截面周长为
D. 过点与直线所成角均为的直线可作4条
12. 已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A. 4为一个周期B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．
14. 在平行六面体中，为的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则________（用表示）．
15. 若函数，当时，，则实数的取值范围________．
16. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
18. 在中，设所对的边分别为，且满足．
（1）求角；
（2）若的内切圆半径，求的面积．
19. 如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
20. 某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．
（1）设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；
（2）已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．
参考数据：
21. 已知点A为圆上任意一点，点坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．
22. 已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）若时，，求实数的取值范围．
真数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（近似值）
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954
1.000
真数
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（近似值）
1.041
1.079
1.114
1.146
1.176
1.204
1.230
1255
1.279
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