高考数学二轮复习提升培优专题02复数小题综合（解析版）

 专题02 复数小题综合 （新高考通用）

一、单选题

1．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先将复数z化简为复数的标准形式，然后判断其在复平面内的所在象限即可.

【详解】已知，得，所以，所以其在复平面内对应的点为，在第四象限；

故选:D

2．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）记是虚数单位，复数满足，则（    ）

A．－2或 B．或 C．或2 D．或2

【答案】D

【分析】设，根据复数的运算得出.

【详解】设且a、b∈R，则，

因为，所以

即，解得或.

即或2.

故选：D

3．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若复数满足，则（    ）

A．的实部为 B．的虚部为

C．在复平面对应的点在第四象限 D．的模长为

【答案】C

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念与几何意义逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】因为复数满足，则，

所以，的实部为，虚部为，在复平面对应的点在第四象限，.

ABD错，C对.

故选：C.

4．（2023·湖南邵阳·统考二模）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】先化简复数为代数形式，再判断对应的点所在的象限即可.

【详解】依题意，对应的点为在第三象限.

故选：C．

5．（2023·山东威海·统考一模）若是纯虚数，则a＝（    ）

A．－1 B．1 C．－9 D．9

【答案】A

【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可.

【详解】,

因为是纯虚数，故，得，

故选：A.

6．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）设复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由复数乘除法法则、共轭复数及复数的模计算公式可得结果.

【详解】由题意知，所以，所以.

故选：C.

7．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.

【详解】设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：B.

8．（2023·江苏泰州·统考一模）在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长.

【详解】对应的点为，其中关于的对称点为，

故，

故.

故选：C

9．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知复数，满足：在复平面中对应的点为，且，则不可能是下列的（    ）

A．1 B． C．i D．

【答案】B

【分析】设，根据题意，得到关于的方程，再结合选项判断即可.

【详解】设，由题意，可知，

所以，又，

所以，所以，

根据选项，可知不可能是.

故选：.

10．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）“”是“复数为纯虚数”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】，时是纯虚数，是纯虚数，则，得到答案．

【详解】，

时是纯虚数，充分；是纯虚数，则，不必要．

故选：A

11．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知（，i为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据（，i为虚数单位），利用复数相等求得，代入求解.

【详解】解：因为（，i为虚数单位），

所以，

所以，

所以，

故选：B

12．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果.

【详解】因为，则

故选:B

13．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据复数的运算得出，根据共轭复数的概念求出共轭复数，进而求解.

【详解】因为复数满足，则，

所以复数的共轭复数为，则，

故选：.

14．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，根据复数运算化简后，由复数相等求解即可.

【详解】设，则，

由，可得，即，

所以，且，解得，

所以.

故选：C.

15．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）设复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由共轭复数的概念求，再根据复数的运算求解.

【详解】∵，则，

∴.

故选：C.

16．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】先根据条件求出复数的代数形式，进而直接求模即可.

【详解】，

，

.

故选：A.

17．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算即可得答案.

【详解】，

则虚部为．

故选：C．

18．（2023·湖南·模拟预测）设是虚数单位，已知复数满足，且复数是纯虚数，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的四则运算及纯虚数的定义可求．

【详解】由，得

，

又因为为纯虚数，所以，

故选：D．

19．（2023·湖北·统考模拟预测）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数除法法则求得，再由复数模的定义计算．

【详解】由，得，

所以．

故选：A．

20．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）若（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用复数的四则运算求出复数，然后利用复数求模的公式即可计算.

【详解】由可得，

所以，

故选：.

21．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知复数，其中i是虚数单位，则在复平面内所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数运算求复数的代数形式，再求其共轭复数及其对应的点所在象限.

【详解】因为，所以，

所以，

故在复平面内所对应的点的坐标为，在第三象限.

故选：C.

22．（2023·山东淄博·统考一模）设复数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】求出复数的代数形式，进而可求模.

【详解】，

.

故选：D.

23．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知复数在复平面内的对应点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知，再根据复数四则运算求解即可.

【详解】解：因为复数在复平面内的对应点为，

所以，

所以

故选：D

24．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）复数是虚数单位，则（    ）

A．5 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据虚数单位的性质得，再结合复数的乘法运算及复数模的概念即可得到答案.

【详解】复数，

故选：B.

25．（2023·江苏南通·统考模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则（    ）

A．2 B． C．2 D．4

【答案】D

【分析】由，已知条件中解出即可计算结果.

【详解】复数z满足，则，，

，可得.

故选：D.

26．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（   ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】由题知关于的方程有实数根，进而得，再解不等式即可得答案.

【详解】解：由题知，，

因为存在实数，使得为实数，

所以关于的方程有实数根，

所以，有实数根，

所以，即

所以，的取值范围是

故选：C

27．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）复数，复数满足，则下列关于的说法错误的是（    ）

A． B．

C．的虚部为 D．在复平面内对应的点在第二象限

【答案】C

【分析】由已知求出，根据复数的概念，即可判断各项.

【详解】对于A，由已知可得，

，故A正确.

对于B，因为，所以，故B正确；

对于C，根据复数的概念可知的虚部为，故C错误；

对于D，根据复数的概念可知在复平面内对应的点为，故D正确.

故选：C.

二、多选题

28．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知复数，则下列选项正确的是（    ）

A．z的虚部为1

B．

C．为纯虚数

D．在复平面内对应的点位于第一象限

【答案】AC

【分析】根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可.

【详解】，

则z的虚部为1，选项A正确；

，选项B错误；

为纯虚数，选项C正确；

在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；

故选：AC．

29．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知，且，则（    ）

A．当时，必有

B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆

C．

D．

【答案】BD

【分析】利用复数的模的定义以及其复数的几何意义，逐个选项进行计算，即可判断答案.

【详解】A项：，故错误；

B项：因为，故正确；

C项：，当与i对应向量同向时取等，故错误；

D项：，当与对应向量反向时取等，故正确.

故选：BD.

30．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）在复平面内，复数，正确的是（    ）

A．复数的模长为1

B．复数在复平面内对应的点在第二象限

C．复数是方程的解

D．复数满足

【答案】AC

【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得，进而可判断AB,将代入方程中即可验证C，根据复数的几何意义即可判断D.

【详解】由得，则

对于A,，故A正确，

对于B, 复数在复平面内对应的点为，故该点位于第四象限，故B错误，

对于C, ,故是的复数根，故C正确，

对于D，设复数对应的向量为到,复数对应的向量为,由得的距离为1，故复数对应点的在以为圆心，半径为1的圆上，故的最大值为，故D错误，

故选：AC