新高考数学一轮复习课时过关练习第02章 函数与基本初等函数第1节 函数的概念及其表示 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时过关练习第02章 函数与基本初等函数第1节 函数的概念及其表示 (含解析)，共18页。试卷主要包含了同一个函数，函数的表示法，分段函数等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
1.函数的概念
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域可以为B的子集.
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
2.(易错题)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
答案 C
解析 A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确.
3.(2020·北京卷)函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)＋ln x的定义域是__________.
答案 (0，＋∞)
解析 要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,x＞0，))
即x＞0且x≠－1，所以函数的定义域为(0，＋∞).
4.(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4，x>2，,|x－3|＋a，x≤2.))若f(f(eq \r(6)))＝3，则a＝________.
答案 2
解析 因为eq \r(6)>2，所以f(eq \r(6))＝6－4＝2，
所以f(f(eq \r(6)))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.
5.(易错题)已知f(eq \r(x))＝x－1，则f(x)＝________.
答案 x2－1(x≥0)
解析 令t＝eq \r(x)，则t≥0，故x＝t2，
则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0).
6.函数f(x)＝x－eq \f(1,x)在区间[2，4]上的值域为________.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(15,4)))
解析 f(x)＝x－eq \f(1,x)在区间[2，4]上单调递增，
又f(2)＝eq \f(3,2)，f(4)＝eq \f(15,4)，
故f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(15,4))).
考点一 函数的概念
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
答案 C
解析 根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.
2.(多选)下列各组函数是同一函数的为( )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C.f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x＜0))
D.f(x)＝eq \r(－x3)，g(x)＝xeq \r(－x)
答案 AC
解析 同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)
①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；
③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x).
答案 ③
解析 ③中，f：x→y＝eq \f(2,3)x，x∈[0，4]时，y＝eq \f(2,3)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,3)))Q,故不满足函数的定义.
感悟提升 （1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同
考点二 求函数的定义域
1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋eq \f(1,x－2)的定义域为( )
A.(0，4)
B.[0，2)∪(2，4]
C.(0，2)∪(2，4)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 C
解析 要使函数有意义，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－x2＞0，,x－2≠0，))
解得0＜x＜4且x≠2.
2.函数f(x)＝eq \r(ln x) ·lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2,2－x)))的定义域是( )
A.[1，2] B.[2，＋∞)
C.[1，2) D.(1，2]
答案 C
解析 根据函数f(x)的解析式，
有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋2）（2－x）＞0，,x＞0，,ln x≥0，))解得1≤x＜2，
所以函数f(x)的定义域为[1，2).
3.已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定义域是( )
A.[0，1] B.(0，1)
C.[0，1) D.(0，1]
答案 B
解析 由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1).
4.已知函数f(x)＝eq \f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) B.(－12，0]
C.(－12，0) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
答案 B
解析 因为函数f(x)＝eq \f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a