新高考数学一轮复习课时过关练习第02章 函数与基本初等函数第7节 函数的图象 (含解析)

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第7节　函数的图象
考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.


1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换

(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.

1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.
(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.
(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.
2.(多选)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(　　)
A.a＞1 B.0＜a＜1
C.b＞0 D.b＜0
答案　AD
解析　因为函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增函数，所以a＞1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0，故选AD.
3.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)等于(　　)
A.ex＋1 B.ex－1 C.e－x＋1 D.e－x－1
答案　D
解析　依题意f(x)的图象可由y＝ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度得到.
∴y＝ex
y＝e－xy＝e－(x＋1)＝e－x－1，
∴f(x)＝e－x－1.
4.在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

答案　D
解析　若a>1，则y＝单调递减，A，B，D不符合，且y＝loga过定点，C不符合，因此00，当x∈时，g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)g(x)在上单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，排除C.故选D.
(3)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)

答案　D
解析　法一　先画出函数f(x)＝的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D.
法二　由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.
感悟提升　1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
角度2　借助动点探究函数图象
例3 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为(　　)

答案　C
解析　(排除法)由题图可知：当x＝时，OP⊥OA，
此时f(x)＝0，排除A，D；
当x∈时，OM＝cos x，
设点M到直线OP的距离为d，
则＝sin x，即d＝OMsin x＝sin x·cos x，
∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x≤，排除B，故选C.
感悟提升　根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.
注意　求解的过程中注意实际问题中的定义域问题.
训练2 (1)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]上的图象大致为(　　)

答案　D
解析　因为f(x)＝y＝2x2－e|x|，
所以f(－x)＝2(－x)2－e|－x|＝2x2－e|x|，
故函数为偶函数.
当x＝±2时，y＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B.
当x∈[0，2]时，f(x)＝2x2－ex，
所以f′(x)＝4x－ex＝0有解.
故y＝2x2－e|x|在[0，2]上不是单调的，故排除C.
(2)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)


答案　B
解析　由题易知f(0)＝2，f＝1＋，f＝2＜f，可排除C，D；
当点P在边BC上时，f(x)＝BP＋AP＝tan x＋，不难发现f(x)的图象是非线性的，排除A，选B.
　考点三　函数图象的应用
角度1　研究函数的性质
例4 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案　C
解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，
得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，
故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.
角度2　确定零点个数、解不等式
例5 (1)设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________________.
答案　{x|x≤0或1＜x≤2}
解析　画出f(x)的大致图象如图所示.

不等式(x－1)f(x)≤0可化为或
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1＜x≤2}.
(2)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________.
答案　5
解析　方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.
作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
角度3　求参数的取值范围
例6 (1)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________.
答案　(2，2 023)
解析　函数f(x)＝的图象如图所示，

不妨令a＜b＜c，
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，
而1＜c＜2 022，所以2＜a＋b＋c＜2 023.
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________.
答案　(0，1)∪(9，＋∞)
解析　设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，
y2＝a|x－1|的图象如图所示.

由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，
①(－32，故排除A，C，当x→＋∞时，y→1＋x，故排除B，满足条件的只有D，故选D.
8.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，0] B.(－∞，1]
C.[－2，1] D.[－2，0]
答案　D
解析　由y＝|f(x)|的图象(如图所示)知，①当x＞0时，只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax.
②当x≤0时，y＝|f(x)|
＝|－x2＋2x|＝x2－2x.
故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立；
当x＜0时，不等式等价为x－2≤a.
∵x－2＜－2，∴a≥－2.
综上可知，a∈[－2，0].
9.已知函数y＝f(－x)的图象过点(4，2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________.
答案　(－4，2)
解析　y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
故y＝f(x)的图象一定过点(－4，2).
10.若函数f(x)＝的图象关于点(1，1)对称，则实数a＝________.
答案　1
解析　f(x)＝＝a＋，
关于点(1，a)对称，故a＝1.
11.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)