新高考数学一轮复习课时过关练习第08章 平面解析几何第5节 椭圆 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时过关练习第08章 平面解析几何第5节 椭圆 (含解析)，共21页。试卷主要包含了椭圆的标准方程和几何性质，焦点弦等内容，欢迎下载使用。
第5节　椭　圆
考试要求　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单几何性质.


1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形



性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
2.(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
答案　D
解析　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
答案　C
解析　由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.
4.(2022·广东六校联考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①.
因为直线AB经过点(1，－1)，F(3，0)，所以kAB＝＝.
设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，
得＋＝0.
因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
且kAB＝＝，所以＝，即a2＝2b2②.
由①②，得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.
5.(易错题)已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________.
答案　3或
解析　若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.
综上，m＝3或.
6.若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是___________________.
答案　
解析　由方程＋＝1表示椭圆，
知解得m＞且m≠1.

　考点一　椭圆的定义及应用
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)
A.椭圆 　　　 B.双曲线
C.抛物线 　　　 D.圆
答案　A
解析　连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
2.设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为________.
答案　60°
解析　由椭圆＋＝1，可得2a＝8，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
可得
化简可得cos∠F1PF2＝，
∴∠F1PF2＝60°.
3.设点P为椭圆C：＋＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.
答案　
解析　由题意知，c＝.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，
∴S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝.
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
答案　6＋　6－
解析　椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
感悟提升　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
　考点二　椭圆的标准方程
例1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－).
解　(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得a＝3，
∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1，
若焦点在y轴上，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得b＝3，
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由已知，有
解得b2＝9，
∴所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(3)设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则有解得
则所求椭圆方程为＋＝1.
(4)椭圆＋＝1的离心率是e＝，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)，
∴解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∴
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
故所求椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1.
感悟提升　(1)利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1与＋＝λ(λ＞0)有相同的离心率.
②与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.
训练1 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　BD
解析　因为椭圆的长轴长为10，
其焦点到中心的距离为4，
所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.
所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
答案　＋＝1
解析　设所求椭圆方程为＋＝1(kb>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足·＝0.则椭圆离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　法一　设点M的坐标为(x0，y0)，
∵·＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋y＝0，即x＋y＝c2.①
又知点M在椭圆G上，∴＋＝1，②
由①②联立结合a2－b2＝c2解得x＝，由椭圆的性质可得0≤x≤a2，即即所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥，又知00)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程.
解　(1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，
且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
11.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解　(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).

12.已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图.
不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，
得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
13.(2022·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0＜e＜1，故≤e＜1.
14.(2022·青岛调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.

解　(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＋＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
⇒(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝，
x1x2＝.
又x1＋x2＝2，∴k＝，∴x1x2＝，
则|AB|＝
＝＝2，
∴b2＝，则a2＝10，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.