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新高考数学一轮复习课时过关练习第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布第8节 二项分布与超几何分布、正态分布 (含解析)
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这是一份新高考数学一轮复习课时过关练习第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布第8节 二项分布与超几何分布、正态分布 (含解析),共20页。试卷主要包含了两点分布与二项分布的均值、方差,超几何分布,正态分布,682 7;,9,10,52),某人射击一次击中目标的概率为0等内容,欢迎下载使用。
第8节 二项分布与超几何分布、正态分布
考试要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.
1.伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
3.超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
4.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=·e,x∈R,其中,μ∈R,σ>0为参数,则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
②曲线在x=μ处达到峰值.
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
1.二项分布当n=1时就是两点分布.
2.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.
3.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布.( )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.( )
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.( )
(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.(2022·济南模拟)从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为P==.
3.(易错题)甲、乙两羽毛球运动员之间的训练,要进行三场比赛,且这三场比赛可看做三次伯努利试验,若甲至少取胜一次的概率为,则甲恰好取胜一次的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 假设甲取胜事件为A,设每次甲胜的概率为p,由题意得,事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,则事件A恰好发生一次的概率为C××=.
4.(2022·石家庄模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,5局3胜制,每局甲赢的概率是,乙赢的概率是,则甲以3∶1获胜的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负,第4局比赛甲胜,∴甲以3∶1获胜的概率是P=C×××=.
5.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是( )
A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B.σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.σ越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
答案 D
解析 对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.
6.(易错题)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(X2c-1)=P(X
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