高考数学二轮复习核心专题讲练：函数与导数第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值(含解析）

这是一份高考数学二轮复习核心专题讲练：函数与导数第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值(含解析），共45页。试卷主要包含了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值，函数的最大值，函数的最值与极值的关系等内容，欢迎下载使用。

第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值、最值
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
突破二：利用导数研究函数的单调性
角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参）
角度2：已知函数在区间上单调
角度3：已知函数在区间上存在单调区间
角度4：已知函数在区间上不单调
角度5：已知函数有三个单调区间
突破三：利用导数研究函数的极值与最值
角度1：求已知函数的极值（点）、最值
角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数
突破四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
第三部分：冲刺重难点特训



第一部分：知识强化
1、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即，相应的切线方程为.
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、利用导数研究函数的单调性
（1）求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
（2）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（3）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间，有解.
②已知在区间上存在单调减区间，有解.
（4）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
3、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
4、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
5、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：因为，所以，
设切点为，
所以在切点处的切线方程为，
又在切线上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以过点可作曲线的切线的条数为2.
故选：C．
2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【答案】C
【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，
即有，，
设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，
而点不在曲线上，则，整理得，
即，解得或，即符合条件的切点有3个，
所以过点向曲线可作的切线条数是3.
故选：C
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】设切点为，
由已知得，则切线斜率，切线方程为
直线过点，则，化简得
切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或
故选：C
4．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得：；
设切点坐标为，，
则切线方程为：，
切线过原点，，解得：，
即切点横坐标为.
故选：C.
5．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
【答案】1或
【详解】设与和的切点分别为；
由导数的几何意义可得，
即，
∴，
∴
∴
当时，，当时，
∴或.
故答案为：1或.
6．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知直线是曲线的切线，则___________.
【答案】
【详解】设切点为，由，可得，
，直线是切线，
，解得，
当时，，切点代入切线方程，可得，
当时，，切点代入切线方程，可得，
综上可知，.
故答案为：
7．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围__________．
【答案】
【详解】数形结合可得：当，存在一条直线同时与两函数图象相切；

当，若存在一条直线同时与两函数图象相切，
则时，有解，
所以，
令，因为，
则当时，，为单调递增函数；
当时，，为单调递减函数；
所以在处取得极大值，也是最大值，
最大值为，且在上恒成立，
所以，即．
故答案为：
8．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数，函数在处的切线方程为____________．若该切线与的图象有三个公共点，则的取值范围是____________．
【答案】     ##     ##
【详解】切点坐标为，，，
所以切线l方程为．
函数，即过点，
当切线l过点时，切线l与函数的图象有三个公共点，
将其代入切线l方程得；
当切线l与（）相切时直线与函数的图象只有两个公共点，
设切线l：与（）在处相切，，，
所以切点坐标为，代入切线方程解得，
因此直线与曲线有三个交点时，．

故答案为：；
突破二：利用导数研究函数的单调性
角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可得，
令，解得，
所以的单调递增区间是，
故选：B
2．（多选）（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）下列区间中能使函数单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由，得，解得或，
所以函数的定义域为.
令，则，
由，得，
令即，解得，或，
当或时，；
所以在和上单调递增；
所以在定义域内是单调递增函数,
所以函数在和上单调递增.
故选：BD.
3．（2022·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知函数，则的单调减区间为______.
【答案】
【详解】函数的定义域为，
，
令，即，解得：，
∴函数的单调递减区间为.
故答案为：.
4．（2022·全国·高二单元测试）已知函数的单调减区间为，若，则的最大值为______．
【答案】
【详解】由，得．
令即，解得，
所以函数的单调减区间为，
所以，解得，
所以m的最大值为．
故答案为：.
角度2：已知函数在区间上单调
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题知，，即；
由得
只需保证在上恒成立，则在上恒成立，即；
又函数在上单调递增，则需满足，
综上，实数的取值范围是.
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得，恒成立，
当时，显然满足题意，
当时，则根据二次函数的性质可得，，
解可得，，
综上可得，．
故选：．
3．（2022·全国·高二学业考试）函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，则，
因为函数在区间上单调递减，
可得在上恒成立，
即，
令，
不妨设，则，
即在上单调递增，
所以，所以.
故选：B
4．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.
【答案】
【详解】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,,故填.
5．（2022·江苏·常熟外国语学校高二阶段练习）若函数的单调减区间是,则实数的值为__________．
【答案】
【详解】 由题意得是方程 的根，
，解得：．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______
【答案】
【详解】函数的导数为：，
由于在上单调递增，则恒成立，
则，即有，
由于，则，则的取值范围是，
故答案为．
角度3：已知函数在区间上存在单调区间
1．（2022·河南信阳·高二期中（理））已知函数，在其定义域内的子区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在其定义域内的子区间上不单调，
函数在区间上有极值，
由得或（舍去）
，
解得：，
故选：．
2．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题,,
因为,则若函数在区间存在单调递减区间,
即在上有解,
即存在,使得成立,
设,则,
当时,,
所以,即,
故选:B
角度4：已知函数在区间上不单调
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为函数在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，且不是重解.
即可得，
令，，
则，
当时，，函数单调递增.
故的值域为.
故选：A.
2．（多选）（2022·全国·高二单元测试）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件有（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】，
若在上不单调，
令，
则函数与轴在上有交点，
当时，显然不成立；
当时，则，解得或，
结合选项易知在上不单调的一个充分不必要条件是
，，
故选：AC.
3．（2022·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）函数在上不单调，则实数a的取值范围是_____．
【答案】
【详解】，令得，
由于，
分离常数得.
构造函数，，所以在上递减，在上递增，.
下证：
构造函数，，当时，①，
而，即，所以，所以由①可得.所以当时，单调递增.
由于，所以当时，，故，也即.
由于，所以.
所以的取值范围是
故答案为：
角度5：已知函数有三个单调区间
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，函数，可得，
因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根，
则满足，解得或，
即实数的取值范围是.
故选：C.
2．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，
所以其导函数在定义域上有两个不同的零点，
由可得，即，
所以只需，方程在上有两个不同的实数根.
故选：A.
突破三：利用导数研究函数的极值与最值
角度1：求已知函数的极值（点）、最值
1．（2022·广西河池·模拟预测（理））已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，
，所以有两个不同的实数解，
且由根与系数的关系得，，
由题意可得，
解得，
此时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，取得极大值．
故选：B．
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设函数，则下列不是函数极大值点的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可得，
令，得或，，
则当时，，
当时，，
所以函数在，，上单调递增，在，，上单调递减，
故不是函数极大值点的是.
故选：D.
3．（2022·江西南昌·一模（理））已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的极大值为（    ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【详解】为三次函数，其图象可能情况有如下5种：


不等式的解集为，且，故其具体图象为图1类，如下图：

，由于为的二重根，故可设，
，
令，解得：，或，且当或上，，当，，故是的极大值点，故极大值为.
故选：B
4．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知函数的零点为，零点为，则的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，可得，所以
则，所以.
，得，
则，
对于函数，，
所以在区间上，函数单调递增，所以，
所以，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
故选：B
5．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知函数，方程恰有两个不同的实数根、，则的最小值与最大值的和（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点、，
，则，可得，则，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，
，，显然，.
因此，的最大值和最小值之和为.
故选：C.
6．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知函数存在两个极值点.
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知：定义域为，；
令，则有两个不等正根，
，解得：，实数的取值范围为.
（2）由（1）知：，是的两根，则；
；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
，
即的最小值为.
7．（2022·四川成都·模拟预测（理））(且)．
(1)当时，求经过且与曲线相切的直线；
(2)记的极小值为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)1
（1）
函数的定义域为，，
当时，，设切点为，则，解得，故，切线方程为．
（2）
由有极小值，故存在零点，令得的极值点，故，
当时，，递减，当时，，递增，因此的极小值，
令，则，，
，令，则，
当时，，递增，当时，，递减，故在处取极大值，同时也是最大值，，所以的最大值为1．
8．（2022·湖南省临澧县第一中学二模）已知函数.
(1)当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；
(2)讨论极值点的个数.
【答案】(1)；
(2)当时，函数有一个极值点；当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
(1)
因为，
所以，
因为函数的定义域为：，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，
因此要想在上存在最大值，只需，
所以m的取值范围为；
(2)
，
方程的判别式为.
（1）当时，即，此时方程没有实数根，
所以，函数单调递减，故函数没有极值点；
（2）当时，即，
此时，（当时取等号），所以函数单调递减，故函数没有极值点；
（3）当时，即，此时方程有两个不相等的实数根，
设两个实数根为，设，则，
函数的定义域为：，显然
当时，此时方程有两个不相等的正实数根，
此时当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此当时，函数有极小值点，当时，函数有极大值点，
所以当时，函数有两个极值点，
当时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数有极大值点，
因此当时，函数有一个极值点，
综上所述：当时，函数有一个极值点；
当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
9．（2022·全国·模拟预测）设函数，.
(1)当时，证明：在上无极值；
(2)设，，证明：在上只有一个极大值点.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
（1）
由已知得，当时，，
，
当时，，，因为，
所以，.
所以在上单调递减，故在上无极值；
（2）
，
，
其中，.
因为，所以是第一象限角，不妨设.
因为，所以.
由得，，由得，
所以在上单调递增.由得，
所以在上单调递减.可得在处取极大值，
所以在上只有一个极大值点.

角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数
1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数有三个极值点，则
有三个零点，即方程有三个根，
不妨令,则，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
，且当时，恒成立．
当趋近于负无穷时，趋近于正无穷；趋近于正无穷时，趋近于，
故当时，满足题意，则
故选：B．
2．（2022·江西赣州·高三期中（理））已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为的定义域为且存在唯一的极值点，所以存在唯一的变号正实根．
因为，所以只有唯一变号正实根．
当时，恒成立，方程只有唯一变号正实根，符合题意；
当时，要使存在唯一极值点，则需恒成立，即在上恒成立，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上所述，．
故选：A.
3．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））等比数列中的项，是函数的极值点，则（    ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，所以，
当或时，当时，
所以、为函数的极值点，
即或，又，
所以且；
故选：D
4．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，在单调递减，
且最小值为，满足条件，故可排除A，B；
当时，，，
时，，在单调递减，
所以最小值为，满足条件，故可排除C；
故选：D
5．（2022·天津市瑞景中学高三期中）当时，函数取得最大值，则（    ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】由可得，
因为当时，函数取得最大值，
所以，解得，
所以，
因此当，，单调递增；当，，单调递减，
故当时取最大值，满足题意，
所以
故选：B
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数，．
(1)求在上的极小值点；
(2)若的最大值大于的最大值，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
，
令，得或，
因为，所以或或．
易知为锐角，为钝角，当时，；当时，；
当时，；当时，．
所以在上的极小值点为．
（2）
令，
则，，
则，．
当时，；当时，；
当时，；当时，．
因为，，，，
所以，，
所以，即．
7．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2).
（1）
当时，，故其定义域为，且，
令，即，解得，即的单调递增区间为；
令，即，解得，即的单调递减区间为.
（2）
因为，
所以，
令，则，
令，得；令，得；又，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，.
若在上存在极值点，则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
8．（2022·北京海淀·高三期中）已知函数．
①当时，的极值点个数为__________；
②若恰有两个极值点，则的取值范围是__________．
【答案】         
【详解】①当时，；
，为连续函数；
在上单调递增，在上单调递减，
和是的极值点，即的极值点个数为；
②，为连续函数，
为单调函数，在上无极值点；
又在上至多有一个极值点，
和必为的两个极值点，，解得：，
又在上单调递减，在上单调递增，；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
突破四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知函数
(1)请讨论函数的单调性
【答案】(1)答案见解析
(1)
当时，在上递增
当时，在，单调递减
在上，单调递增
2．（2022·河南河南·一模（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1），
若，，即，此时在R上单调递减．
若，解得，
解得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
3．（2022·吉林·长春市实验中学二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
（1）解：由题意得函数的定义域为，
当时，令，得，
所以在上单调递增；
令，得，
所以在上单调递减；
当时，因为恒成立，
所以在上单调递增；
4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校模拟预测（文））已知函数
(1)若，求的极小值
(2)讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，的定义域为，
，
所以在区间递减；在区间递增.
所以当时，取得极小值.
（2）的定义域为，
.
令，
当时，恒成立，所以即在上递增.
当时，在区间即递减；
在区间即递增.
角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2022·四川绵阳·一模（理））已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
【详解】（1）由题意得．   
当时，由，函数在上单调递增．
当时，令,令或
故函数在上单调递减，在和上单调递增．  
当时，令，令或
函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增．
2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，为函数的导函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)详见解析；
（1）由题可得，
①当时，时，，单调递减；
时，，单调递增；
②当时，时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增；
③当时，时，，单调递增；
④当时，时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
3．（2022·天津·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)当时，    

，
故切线方程为：
(2)
，
① 当时， ，仅有单调递增区间，其为：
② 当时，，当时，；当时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当时，，当时；当时
的单调递增区间为：，单调递减区间为：
综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：
角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)当时，在上单调递增；
当或时，在上单调递减，
在和上单调递增.
【详解】（1）由，
求导得，
易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，
①当时，即，，则在上单调递增；
②当时，即或，
令时，解得或，
当时，，
则在上单调递减；
当或，，
则在和上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当或时，在上单调递减，
在和上单调递增.
2．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数，
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
(1)函数的定义域为，
当时，恒成立，即在上为增函数；
当时，由得，
此时恒成立，即在上为增函数，
由得，由得或
由得，又，
∴在，上为增函数，
在上为减函数.
当时，恒成立，
由得，
由得
∴在上为增函数，在上为减函数.
综上所述：
当时，在上为增函数，在上为减函数；
当时，在上为增函数：
当时，∴在，上为增函数，
在上为减函数.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·全国·高二专题练习），在处切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由已知，，令，
∴＝，解，
∴在处切线方程为，即．
故选：B．
2．（2022·福建·高三阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【详解】解：设直线与曲线的切点为，
因为，所以，
切线方程为，
所以，，
所以，又，，
所以，当且仅当时，等号成立，
故的最小值是4.
故选：D.
3．（2022·河南·濮阳油田实验学校高三阶段练习（文））“过点可以作两条与曲线相切的直线”的充要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设切点为，因为，所以，
所以切线方程为，又过点，
所以，即，
因为过点可以作两条切线，所以方程有两个解.
设，则有两个零点.
,
令，则，解得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
当时，取得极大值，也是最大值为，
要使有两个零点.需满足，解得，
所以过点可以作两条与曲线相切的直线”的充要条件是.
故选：C.
4．（2022·上海市行知中学高三阶段练习）“”是“函数在上是严格增函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：，
令得，
所以，①当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则，即；
②当时， 恒成立，在上单调递增，故满足函数在上是严格增函数；
③当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则满足，即；，
综上，要使“函数在上是严格增函数”，则.
因为是的真子集，
所以，“”是“函数在上是严格增函数”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
因为
（当且仅当，即时等号成立），
所以．
故选：B.
6．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的a的范围是（      ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意得在上恒成立，则，
设，，
又在上为单调递减函数，，
即.
故选：A.
7．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数在处有极值，则的最小值为（    ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【详解】由，得，
所以，即，
由题意，得，
当且仅当，即，时，取等号.
故选：B.
8．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））函数，的极值点为，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，
的极值点为，，，
，
故选：A
9．（2022·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（文））已知函数，若对任意的，都有，则实数a的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：令
根据题意，不妨设且，
则不等式等价于，即，
所以， 函数在上单调递减，
所以，在上恒成立，
因为，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，
所以，即.
所以，实数a的最小值为.
故选：A
10．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】因为是定义域为的奇函数，且当时，．
当时，，则，
所以当时，，此时
当时，在，上恒成立，函数在，上单调递增，当时，函数取得最小值，解得（舍，
当时，，，函数单调递减；，，函数单调递增，时，函数取得最小值，解得，
综上，．
故选：D．
二、多选题
11．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数有两个极值点与，且，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】函数有两个极值点，只需有两个变号零点，
即方程有两个根.
构造函数，则，
当且时，，当时，
所以在和上递减，在上递增，
所以函数的极小值为，且当时，，
所以，当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个极值点，错；

对于选项，为直线与函数图象两个交点的横坐标，因为函数在上递减，在上递增，且，故B正确；
对于选项，由，从而代入得，令，则，故在上递减，故对；
对于选项，因为，由可得对.
故选：BCD.
12．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数，则下列判断正确的是（    ）
A．直线与曲线相切
B．函数只有极大值，无极小值
C．若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数
D．若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数
【答案】AC
【详解】， ，
因为，，所以曲线在点 处的切线方程为，故A正确；
令，得 ，所以 ，当 时，存在 使，且当时，；
当时，，即有极小值，无极大值，故B错误；
设 为的极值点，则 ，且，
所以 ，，当 时，
；当时，，
故C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题
13．（2022·上海·上外附中高三阶段练习），若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______
【答案】
【详解】因为，则，
有已知条件可得：，使得，即，
当，所以.
故答案为：.
14．（2022·四川省高县中学校高三阶段练习（文））已知函数，若函数在区间上不单调，则的取值范围为_____________.
【答案】
【详解】易得.
由，得或.
当，即时，，不符合题意，故，
此时应该满足或，即且.
故答案为：.
15．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】试题分析：∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a，
∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a＞0，即a＜2x﹣ex有解，
令g′（x）=2﹣ex，g′（x）=2﹣ex=0，x=ln2，g′（x）=2﹣ex＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣ex＜0，x＞ln2
∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．
四、解答题
16．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数在及时取得极值．
(1)求的值；
(2)若对于任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1），由题意，
的两根分别为和，
由韦达定理得，，解得

经检验，符合题意
所以
（2）对于任意的，都有成立，
只需当时，，
由（1）知，，
或，当时，或，
当时，，
所以在和上是增函数，在上是减函数，
所以函数的极大值为，
又，
所以函数在上的最大值为.
所以，即的取值范围为.
17．（2022·山东·潍坊瀚声学校高三期中）已知函数
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为；时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；时，函数单调递增区间为和，则单调递减区间为

【详解】（1）当时，，则，
则函数在点处的切线方程为.
故切线方程为：.
（2）函数，其中定义域为.
.
令，得或.
当，即时，令，解得，即函数单调递增区间为和，则单调递减区间为.
当，即时, ,则函数在上单调递增.
当，即时，令，解得，即函数单调递增区间为和，则单调递减区间为.
综上：时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为；时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；时，函数单调递增区间为和，则单调递减区间为..
18．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（文））．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上为单调递减，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，得，
所以，
又，
所以切线方程为，即；
（2）由，得，
又在上为单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
设，，
又，当即时取最大值为，
所以.
19．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））已知函数​.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求​.
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【详解】（1）因为​，
所以​.
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，在区间上，，递增；
在区间上，，递减.
（2）由（1）可知：
①当时，在上单调递增，；
②当，即时，在上单调递减，；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
，
故当时，​；
当时，​；
综上可得:​.
20．（2022·四川·石室中学高三阶段练习（文））已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，，的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
由已知可得，，
，则，
所以在处的切线方程为．
（2）

若，则时，在上单调递减，所以，符合题意；
若，由，得或
若，有，则时，在上单调递减，所以，符合题意；
若，有，则时，在上单调递减，所以，符合题意；
若，有，则时，在上单调递增，所以，不符合题意．
若，有，则时，在上单调递增，所以，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．