高考数学二轮复习核心专题讲练：函数与导数第5讲 素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺 (含解析）

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第5讲　素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：关注经济发展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：结合生产实践
角度5：渗透数学文化
角度6：强调五育并举
二、新考法
角度1：以高观点为背景
角度2：以给定定义、热点信息为背景
角度3：考查开放、探究精神
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度5：相近学科融合







一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过（    ）天（参考数据：）
A．113 B．116 C．119 D．120
【答案】B
【详解】设至少需要经过天，因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，
所以，
又因为，所以，
由题意知，，，
所以，整理得，解得，
所以至少需要经过116天.
故选：B
2．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））年月日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型（，，且）．已知第一个月该植物的生长面积为，第个月该植物的生长而积为，给出下列结论：
①第个月该植物的生长面积超过；
②若该植物的生长面积达到，则至少要经过个月；
③若，则成等差数列；
④若成等差数列，，，则．
其中正确结论的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得：，解得：，；
对于①，，①正确；
对于②，令，又，，即至少需要经过个月，②错误；
对于③，由得：，
，则成等差数列，③正确；
对于④，由得：，，
成等差数列，，④错误.
故选：B.
3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ）
（参考数据：，）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于，
令小时后，，则小时，
所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.
故选：B
4．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为（    ）

A．23 B．25 C．27 D．29
【答案】D
【详解】以滑道的最陡处为原点建立平面直角坐标系，由题意可知，为的中点，
设三次函数的解析式为，其中，
设点，则，，
在滑道最陡处，，则的对称轴为直线，则，可得0，
则，
在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为，则
，
所以，
由图可知可得，
因为，则.
故选：D.

5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（    ）
A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天
【答案】A
【详解】因为，，且，则，于是得
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为，则有
即，所以，
而，解得
所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天
故选：A．
角度2：关注经济发展
1．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）

【答案】9
【详解】解：因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，
因为当时，，所以，所以，
即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为．
对于芯片，因为函数的图象过点，，所以，解得，所以，
即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为．
设投入，千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，
则公司所获利润，，
所以当，即时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元．
故答案为：
2．（2022·山东枣庄·高二期末）某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．
【答案】
【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，，，于是，递减；，递增，是极小值点，于是在，只可能使得最大.
故答案为：
3．（2022·北京丰台·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论：
①    当时，；
②    在区间上单调递减；
③    在区间上存在极小值；
④    在区间上存在极小值.
其中所有正确结论的序号是_________.

【答案】①③④
【详解】由图可知：当时，，故，故①正确；
,当时，由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，故，因此 在区间上单调递增，② 错；
根据图象可知：图象先快后慢，而图象先慢后快，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，③正确；
，当趋近于时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，而当趋近于0时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，故④正确.
故答案为：①③④
4．（2022·全国·高一）端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，每个甜味粽的成本比每个肉馅粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的去计算每个成鸭蛋的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______元．
【答案】5360
【详解】∵A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．
∴A类礼盒的成本为元，
即4个甜味粽，4个肉馅粽的成本为40元，
∴1个甜味粽，1个肉馅粽的成本总和为10元，
设每个甜味粽的成本为x元，则每个肉馅粽的成本为元，
∵每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，
∴每个咸鸭蛋的成本为元，
∵B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，
∴B类礼盒的成本为元，
设卖出A类礼盒盒，则卖出B类礼盒盒，
，
整理得：，
当日实际卖出的两种礼盒的总成本为




（元）．
故答案为：5360.
角度3：聚焦科技前沿
1．（2022·北京朝阳·高二期末）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为．关于函数的以下结论
①函数是增函数；
②函数是奇函数；
③对于任意实数a，函数至少有一个零点；
④曲线不存在与直线垂直的切线．
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①②④
【详解】定义域为R，，
所以为奇函数，②正确；
恒成立，所以函数是增函数，①正确；
当时，恒成立，所以在上单调递减，
在上单调递增，且，
故当时，，此时无零点，③错误；
，且，
所以，故曲线不存在与直线垂直的切线．④正确.
故答案为：①②④
2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：______．
①Sigmoid函数是单调递增函数；
②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；
③对于任意正实数a，方程有且只有一个解；
④Sigmoid函数的导数满足：．
【答案】①②④
【详解】因为为单调递减函数，所以为单调递增函数，故①正确；
因为，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为，故②正确；
因为为单调递增函数，且，，
仅当时，方程有且只有一个解，故③错误；
，
，所以，故④正确．
故答案为：①②④.
3．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息：
（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________；
（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．
（所有结果保留整数，参考数据：）
【答案】     3129     68
【详解】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：
；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
要使火箭的最大速度至少增加，
则，
即 ，
即 ，
即 ，
所以，
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.
故答案为:3129；68.
角度4：结合生产实践
1．（2022·云南昆明·高一期末）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过企业年产值的15%．若函数，则m的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由题意为增函数，故，解得.
又根据题意可得对恒成立，
故且在恒成立.
解可得，又在区间上为增函数，
故.综上有，即m的取值范围为
故答案为：
2．（2022·河北·承德市双滦区实验中学高一期中）某公司生产防疫器材，生产固定成本为20000元，若每生产一台该器材需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：，当该公司月生产量为______________台，公司利润最大，最大利润是____________________元（总收入=总成本+利润）
【答案】     300     25000
【详解】等差数列的前项和为，
，
故答案为：.
3．（2022·河南·安阳37中高一期中）某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市．蔬菜仓库的设计容量为万吨，去年年底时该仓库的蔬菜存储量为万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜万吨，再按照需求量向两个超市调出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量为万吨，乙超市前个月的蔬菜总需求量为万吨，其中且，且前个月，乙超市的蔬菜总需求量为万吨．
(1)求第个月月底时，该仓库的蔬菜存储量（万吨）与的函数关系式；
(2)若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的蔬菜剩余量不超过设计容量，试确定的取值范围．
【答案】(1)（且）
(2)
【详解】（1）由题意知：，解得：；
（且）.
（2）由题意得：，即；
对任意且恒成立；
设，则，
当，即时，；当，即时，；
，则，的取值范围为.
4．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)求调整后企业对全部技术人员的年总投入和对全部研发人员的年总投入的表达式：
(2)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?
(3)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，且，
，且；
(2)125；
(3)存在，.
【详解】（1）由题意得，，且，
，且.
（2）由（1）得，，解得，又，则调整后研发人员的人数最少为.
（3）由条件①得：，整理得，则，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以；
由条件②得：，解得，因为，当时，取得最大值，所以；
综上所述，存在这样的满足以上两个条件，的范围为.
角度5：渗透数学文化
1．（2022·重庆市第十一中学校高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】显然，.
当时，
，
令，
当x>0时，，，
当且仅当，x=1时，等号成立；
当x