高考数学二轮复习核心专题讲练：解析几何第3讲 双曲线(含解析）

这是一份高考数学二轮复习核心专题讲练：解析几何第3讲 双曲线(含解析），共48页。试卷主要包含了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，等轴双曲线，直线与双曲线的位置关系，弦长公式，双曲线与渐近线的关系，双曲线中点弦的斜率公式等内容，欢迎下载使用。
第3讲　双曲线
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
突破二：求双曲线的轨迹方程
突破三：双曲线的渐近线
突破四：双曲线的离心率
突破五：双曲线中焦点三角形
突破六：双曲线中中点弦问题
突破七：双曲线弦长及面积
突破八：双曲线中定点，定值问题
突破九：双曲线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、双曲线的定义
（1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
（3）说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
2、双曲线的简单几何性质
标准方程
（）
（）
图形


性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线


离心率
，，
a，b，c间的关系

3、等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
4、直线与双曲线的位置关系
（1）代数法：设直线，双曲线联立解得：

①时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
②时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
5、弦长公式
（1）直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

为直线斜率
（2）通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
6、双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
7、双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（    ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【答案】D
【详解】因为双曲线，
所以，则，
因为点P到它的一个焦点的距离等于6，
设点P到另一个焦点的距离为，
所以，解得或
故选：D.
2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知，点满足方程，且有，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，点且满足，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
其中，可得，则，
可得双曲线的渐近线方程为，
又因为点满足方程，即，
结合双曲线的几何性质，可得，即的取值范围是.
故选：B.

3．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由椭圆方程知其焦点为；由双曲线方程知其焦点为；
椭圆与双曲线共焦点，设其右焦点为，
为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，
由椭圆和双曲线定义知：，解得：.
故选：A.
4．（2022·江西·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图所示，点到直线的距离为，

连接，由双曲线的定义可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，故，可得，
所以，，因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
5．（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】由题意可知：双曲线焦点在x轴上，a=4，b=3，c=5，
设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），
由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=丨PF2丨，
由PF与圆x2+y2=16相切于点N，则△ONF为直角三角形，
∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，
则丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，
由丨MF丨=丨PF丨，
∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，
∴|MN|﹣|MO|=1，
故选：B．

6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得 ，又，故 ，
所以 ，则双曲线方程为 ，

结合双曲线定义可得，
如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，
即Q在M位置时，取最小值，
此时直线方程为 ，联立，
解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)，
故，
故选：B
7．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（理））已知双曲线的离心率为，其左，右焦点分别为，过且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】把代入得，所以，又，，所以，
，，，
所以，当且仅当三点共线时等号成立，
，
所以的最小值为．
故选：C．

8．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为___________.
【答案】8
【详解】由双曲线的一条渐近线方程为，
可得，解得.
所以，双曲线的左焦点坐标，右焦点坐标为，
由双曲线的定义，知，即，
由圆可得圆心，半径为，
，
问题转化为求点到圆上的最小值，
即，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
9．（2022·河北邯郸·一模）已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________.
【答案】##
【详解】动点满足，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆,
设双曲线的左焦点为，由题知，
则，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，

所以的最大值为，
故答案为：
突破二：求双曲线的轨迹方程
1．（2022·湖南·长沙一中高二期中）已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，
所以有，
由，得，该圆的半径为，
因为点在圆上运动时，
所以有，于是有，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，
所以点的轨迹方程为，
故选：D
2．（2022·湖北省天门外国语学校高二阶段练习）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为直线和互相垂直，
所以，
又，
所以点在一，四象限或者二，三象限，
设，
因为为的中点，
所以，
所以
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
故选：B
3．（2022·云南省玉溪第一中学高三开学考试）方程－＝12的化简结果为（    ）
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0)
【答案】C
【详解】解：设A(−10,0)，B(10,0)，，
由于动点P(x,y)的轨迹方程为－＝12，
则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，
则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，
由于2a=12，c=10，则，
故P的轨迹的标准方程为－＝1(x＞0).
所以原方程可以化简为－＝1(x＞0).
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设动圆M的半径为r，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为动圆M与圆和圆均外切，所以，，所以，所以点M的轨迹是以点，为焦点的双曲线的右支．，，，所以.所以动圆圆心M的轨迹方程为．
故选：A．
5．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为___________.
【答案】
【详解】由题意知，
设直线为，，
由三点共线及三点共线，
得，
两式相乘化简，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为______．
【答案】
【详解】
设直线l的方程为，直线m的方程为，
所以，
不妨设点，，，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
即．
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程是________.
【答案】
【详解】根据椭圆定义知：，即，故，
故焦点的轨迹方程为双曲线的下支，，，故，
故轨迹方程为：.
故答案为：.
突破三：双曲线的渐近线
1．（2022·福建·莆田二中高二阶段练习）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知，，
则由得；
所以，渐近线方程为，即
故选：A.
2．（2022·山东省实验中学高二阶段练习）与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，
又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，
所以设所求双曲线为，即，
则，解得，
所以所求双曲线为.
故选：A.
3．（2022·贵州·高三阶段练习（理））点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，由对称性不妨考虑点到直线的距离：，
故选：B.
4．（2022·上海松江·一模）已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______
【答案】
【详解】因为是的角平分线，，
所以是等腰三角形，，为的中点，
又为的中点，所以是的中位线，
所以，因为，
当点在双曲线的右支上时，，
当点在双曲线的左支上时，，
所以，即，
所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
5．（2022·江苏连云港·高二期中）已知双曲线的左､右焦点分别为为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的渐近线方程为__________.
【答案】
【详解】由题意知,,,


故答案为：.
突破四：双曲线的离心率
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的值是（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】设，则①，
利用向量加法法则知，则
即，
故②，
设，
则，
③，
由②③得，即，
又，所以，即，即
所以双曲线离心率的值是3
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，
利用向量加法法则知，则
即，
故①，
设，
则，
②，
由①②得，即，
又，所以，即，即
所以双曲线离心率的值大于3，
故选：D
3．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，结合正弦定理得，
因为，所以，．
又，即，
则，所以．
设，则，
又，则，解得，
所以，，
所以是正三角形，从而．
在中，由，
得，得，所以．
故选：C．
4．（2022·上海宝山·一模）双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上.双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为______.
【答案】
【详解】
如图，交轴于.根据双曲线的对称性，知与轴平行，且.
设，则，，所以.
双曲线渐近线方程为.，由已知直线斜率为，
则直线的方程为，则，.
因为，所以有，即，
整理可得，，则，则，
所以有，所以.
故答案为：.
5．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知直线与双曲线相交于两个不同的点，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．
【答案】且
【详解】双曲线的渐近线为，取其中一条渐近线，取双曲线的右焦点为，故双曲线的一个焦点到它一条渐近线的距离为，
故，所以，双曲线变为，联立直线方程得到，整理得，，则，得到，所以，
，故，又因为直线不与渐近线平行，，得到，解得，故双曲线的离心率的取值范围是且.
故答案为：且
突破五：双曲线中焦点三角形
1．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，，则实数（    ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】如图所示：设，，即，

解得，，即，故．
，，，，，即．
故选：C
2．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）设，是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨设，由得，
又，∴的面积.
故选：A
3．（2022·辽宁沈阳·高二期中）是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设，则，，
，；
由双曲线定义可知：，，
，，
，，
，，则.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（    ）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为
【答案】D
【详解】由双曲线方程知，，
恰好为圆的直径，所以，如图所示：
由双曲线定义知，，

∴，
所以
∴，
故选：D.
5．（2022·全国·高二单元测试）双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（    ）
A． B． C．32 D．42
【答案】A
【详解】根据、为双曲线的两焦点可得，
又直线、倾斜角之差为，所以，
根据余弦定理可得，
整理得①，
根据点P在双曲线上可得，
则②，
①-②得，，
则面积为.
故选：A.
突破六：双曲线中中点弦问题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．该直线不存在
【答案】D
【详解】解：设，且，代入双曲线方程得，两式相减得：

若是线段的中点，则，所以，即直线的斜率为，
所以直线方程为：，即；
但联立，得，则，方程无解，所以直线不存在.
故选：D.
2．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】设点，，因为AB的中点，则有，
又点A，B在双曲线上，则，即，
则l的斜率，此时，直线l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，
所以l的斜率为2.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（    ）
A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在
【答案】D
【详解】设点，因点是的中点，则，
从而有，两式相减得：，
即，于是得直线l的斜率为，
直线l的方程为：，即，
由消去y并整理得：，此时，即方程组无解，
所以直线l不存在.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.
【答案】
【详解】设，，
则，，
两式相减可得：，
所以，
因为点是线段的中点，所以，，
所以，
因为，
所以，即，
因为，所以，，
所以双曲线方程是，
故答案为：.
5．（2022·全国·高二课时练习）点平分双曲线的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.
【答案】
【详解】设弦的两个端点分别为，，则，，
两式相减得，
因为线段的中点为，所以，，所以，
所以直线的方程为代入满足，即直线方程为.
故答案为：.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.
【答案】
【详解】设点、，
由题意可得，，，
直线的斜率为，
则，两式相减得，
所以，
由于双曲线的一个焦点为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
突破七：双曲线弦长及面积
1．（2022·四川·简阳市阳安中学高二阶段练习（理））已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，
代入点得，即，
所以双曲线方程为，即．
（2）由（1）得，则，，，
又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，
设，，
联立，消去，得，
则，，，
由弦长公式得，
又点到直线的距离，
所以．
2．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线在轴上截距为2，求；
(3)若的中点横坐标为1，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）由题意得直线的方程为，由得，，设，则，所以；
（3）当直线的斜率不存在时，中点横坐标为，显然不合题意，所以设直线的方程为，
由，得，
设，则，解得，
此时所联立方程可整理化简得：，满足，符合题意，
故直线的方程为．
3．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2，
，，
解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
（2）设,,
联立，，，
，．
，
，解得．
4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线的焦距长为8.
(1)求的方程；
(2)若，过点的直线交于两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)当时，的方程为；当时，的方程为
(2)或
【详解】（1）根据已知条件表示双曲线，
可知，解得或.
由双曲线的焦距长为8可知，即.
当时，有，则，此时双曲线的方程为；
当时，双曲线的方程为，有，则，此时双曲线的方程为.
综上所述，当时，的方程为；当时，的方程为；
（2）由（1）可知，当时，双曲线的方程为，其中，.
当直线的斜率为0时，直线为，代入得，则，不适合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线，联立，消去得.
则，
设，，则，.
，解得或，则或.
故直线的方程为或.
5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知双曲线的渐近线方程为，且经过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意：解得，故双曲线的方程为：．
（2）设，则，消去得：，
，
又点O到直线的距离，
．
6．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）已知双曲线中，，虚轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：由已知条件可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
（2）
解：由题意可知，直线的方程为，设点、，
联立，可得，解得，，
因此，.
7．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．
(1)证明：；
(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于 两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为，
所以，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
因为过点作双曲线切线与直线交于点，故切线的斜率存在，
所以，设，在点的切线方程为，
联立方程得
所以，，即①
因为，代入①式得，解得
所以，在点的切线方程为，
所以点的坐标为，即，
因为，
所以
所以，
（2）解：由题，设直线的方程为，
与双曲线方程联立得，
设，
所以
因为直线，的斜率互为相反数，所以，
所以，
整理得：②
将代入②整理得：③
结合可知时，③式恒成立，
所以，由（1）可知，，，
所以，
所以的面积.
突破八：双曲线中定点，定值问题
1．（2022·上海市朱家角中学高一期末）已知双曲线的一条渐近线方程，原点到过、点的直线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)过点能否作直线，使与已知双曲线交于两点、，且是线段的中点？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为直线过、两点，所以方程为，
因为原点到直线的距离为，所以，
因为双曲线的一条渐近线方程，
所以，解得，，
所以双曲线方程为；
（2）解：假设直线存在，设是线段的中点，且，，
则，，
因为、在双曲线上，
则，两式相减整理得，
所以，所以，
所以直线的方程为，即，
联立，消得，
因为，
所以直线与双曲线无交点，所以直线不存在．
2．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）已知双曲线，四点中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知点，两点关于原点对称，所以，一定在双曲线上，
而，因为，但，所以点不在双曲线上，
所以点，，在双曲线上，则，解得，，
所以双曲线方程为；
（2）证明：设直线的方程为，代入双曲线方程可得：，
设，，，，则，则，，
所以直线的方程为：，即，
令，则，
由，，得，
所以，
综上，直线过定点．
3．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线的平行线交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值2
【详解】（1）设，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，
所以，所以，
故动点C的轨迹方程为．
（2）易知直线的斜率存在且不为0．
设直线：，，，
联立方程组得，
则，
因为P，Q在y轴两侧，
所以，所以，
所以．
因为，所以的方程为．
设，则，
联立方程组，得．
所以，，
所以，
所以，即为定值2．
4．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）已知双曲线（，）的左焦点坐标为，直线与双曲线交于，两点，线段中点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)经过点且与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，，点，直线，与双曲线分别交于另一点，，若直线与直线的斜率都存在，并分别设为，.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）解：由题意知，直线的斜率为，设，，
由题意，两式相减得：，
整理得：，即，
又，所以，，即双曲线，经检验满足题意.
（2）解：因为的斜率存在且，直线的方程为，设，，
又，设直线，  
联立，整理得，
由韦达定理得，
又∵，∴，
于是，
故，同理可得，  
∴
∴，
∴为定值，所以的值.
5．（2022·河南商丘·高二期中（理））椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆和双曲线
(1)设AB是双曲线的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则为定值.类比双曲线的性质：若AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想的值，并证明；
(2)设椭圆交x轴于A，B两点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则为定值，类比椭圆的性质：若双曲线交x轴于A，B两点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，试猜想的值，并证明.
【答案】(1)猜想：，证明见解析
(2)猜想：，证明见解析
(1)
猜想：.
证明：设，，，则有
，，
则.
将A，B的坐标代入椭圆方程中得：①，②，
①-②得：，，即.
(2)
猜想：
证明：由题意得，，设，则，
所以直线PA方程为.
令，则，所以点M坐标为.
又，所以；同理可得：.
所以，又因为，
所以，得证.
突破九：双曲线中定直线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线方程上
（1）
设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：
双曲线的一个顶点是，
焦点在轴上，设双曲线方程为，

渐近线方程为，
，，
该双曲线的标准方程为 ．
故选：C
2．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为，
双曲线的渐近线方程为，点P到双曲线的渐近线的距离为．
Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．
故选：B．
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则a的值为（    ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【详解】由已知得：
双曲线的方程为，其渐近方程为 ，
∵直线与双曲线的渐近线垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为，
∴   ，
∴ ，
故选：B
4．（2022·河北·模拟预测（理））已知双曲线经过点，且右焦点到其渐近线的距离为4，双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点，其中一条渐近线为，
由右焦点到其渐近线的距离为4，即，即；
又双曲线经过点，故，解得，
则，．
故选：．
5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知是双曲线的左右焦点，直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则（    ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【详解】已知双曲线的左焦点，双曲线的渐近线方程为，
抛物线的焦点.
因为直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，
所以，又，解得：，所以.
故选：C
6．（2022·广西广西·模拟预测（理））双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（　　）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
【详解】设，
则，，所以，
将曲线方程代入得，
又由均值定理得，当且仅当，即时等号成立，
所以离心率，
故选：B
7．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））已知双曲线的左右焦点分别为，P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，三角形的内切圆在边上的切点为Q，双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】假设直线，与圆的切点分别为，，
由对称性可知，容易得，，，
因为点在双曲线的右支，由双曲线的定义得，
所以，
又因为双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，
设一条准线为：，则焦点到准线距离，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：A ．

8．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，且直线l的倾斜角为，则的值为（    ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】记的内切圆圆心为C，边上的切点分别为M，N，E，

则C，E横坐标相等，则，
由，即，得，即，记C的横坐标为，则，
于是，得，同理的内心D的横坐标也为a，
则有轴，由直线的倾斜角为，则，，
在中，，可得，
在中，，可得，
可得．
故选：B
二、多选题
9．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线经过点，则（    ）
A．的实轴长为 B．的焦距为
C．的离心率为 D．的渐近线方程是
【答案】BC
【详解】由题意得，得即双曲线方程为．
所以，双曲线的实轴长是，焦距是，离心率为，渐近线方程是
故BC正确，AD错误，
故选：BC
10．（2022·重庆八中模拟预测）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题意， ，双曲线的方程为，
“好直线”就是与双曲线有交点的直线，
对于A，联立方程 ，解得 无解，故A不是“好直线”；
对于B，联立方程 ，解得 ， ，故B是“好直线”；
对于C，联立方程 ，解得 ，无解，故C不是“好直线”；
对于D，联立方程 ，解得 ，  ，即直线 与双曲线有交点，
故D是“好直线”；
故选BD.
三、填空题
11．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为___________.
【答案】##
【详解】双曲线的渐近线方程为
圆的圆心为，半径为1，由直线和圆相切，
可得，解得，
则离心率.，
故答案为：
12．（2022·上海闵行·二模）已知双曲线的实轴为，对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得，则双曲线的两条渐近线夹角的最大值为___________；
【答案】
【详解】对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得，
当点位于原点时，则要，才能满足要求，
所以，设渐近线与x轴的夹角为，则，
因为，则双曲线的两条渐近线夹角为，
故答案为：
13．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则________.
【答案】9
【详解】由双曲线C的方程可得其渐近线方程为，
由已知可得，
所以，，所以，
由双曲线定义可知，则或，
又因为，故，
故答案为：9.
四、解答题
14．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在轴上的双曲线经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，求弦长．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）设双曲线的方程为．将代入，
得，解得．
所以，双曲线的方程为；
（2）由（1）得双曲线的方程为，设．
由，得，由韦达定理得．
所以，
故弦长为8．
15．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线的平行线交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值2
【详解】（1）设，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，
所以，所以，
故动点C的轨迹方程为．
（2）易知直线的斜率存在且不为0．
设直线：，，，
联立方程组得，
则，
因为P，Q在y轴两侧，
所以，所以，
所以．
因为，所以的方程为．
设，则，
联立方程组，得．
所以，，
所以，
所以，即为定值2．
16．（2022·福建漳州·三模）已知圆，圆，动圆P与圆，圆都外切．圆心P的轨迹为曲线C
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为2，且AB的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)存在；定圆E：
(1)
圆的圆心为（-2，0），半径为
圆的圆心为（2，0），半径为
设动圆P的半径为R，因为动圆P与圆，圆都外切
所以
所以
所以点P在以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支上，
设双曲线的方程为
所以，所以
注意圆与圆外切于点（1，0），P不可能为（1，0），
所以C的方程为
(2)
设，AB的中点为
因为A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为2．
所以
得
当存在时，
因为AB的中垂线为直线l，所以，即
所以 过定点T（8，0），．
当不存在时，A，B关于x轴对称，AB的中线l为x轴，此时l也过T（8，0），
所以存在定圆E：，使得l被圆E截得的弦长为定值2．