高考数学二轮复习核心专题讲练：立体几何第2讲 立体几何解答题 (含解析）

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第2讲　立体几何解答题
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
突破二：已知线线角求其它量
突破三：线面角的向量求法
突破四：已知线面角求其它量
突破五：面面角向量求法
突破六：已知面面角求其它量
突破七：点到平面距离
突破八：空间角的最值问题
第二部分：冲刺重难点特训

第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
1．（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图所示，三棱柱中，，，，，，，N是AB中点．

(1)若点M是棱所在直线上的点，设，，当时，求实数的值；
(2)求异面直线CB与所成角的余弦值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由，，
知，
由，得，
所以，
即，
因为，，，
所以，
解得．
（2）解：．
因为，，，
所以，，，
故，
，，
故，
所以异面直线CB与所成角的余弦值为．
2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）如图，正方体的棱长为2,分别是的中点.

(1)求证：点四点共面；
(2)求异面直线与所成的角.
【答案】(1)证明见详解；
(2)；
【详解】（1）
证明：以D为原点，分别以的方向为轴的正方向，如图建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，，，
所以，，所以，点四点共面.
（2）由（1）可得，，又，
则，，.
所以，异面直线与所成的角为.
3．（2022·上海·高二专题练习）如图，已知是底面为正方形的长方体，，，为的中点，

(1)求证：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连接交于点，连接，

四边形为长方形，为中点，又为中点，，
，又，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）方法一：取中点，连接，

分别为中点，，
即为异面直线与所成角，
平面，平面，又平面，；
，，，，，
，，，
，即异面直线与所成角的余弦值为.
方法二：，，，，；
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
4．（2022·福建泉州·高二期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，为与的交点.若，，.

(1)用，，表示；
(2)求对角线的长；
(3)求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）连接，，，如图所示，
∵，，.
在，根据向量减法法则可得：，
∵底面是平行四边形，∴，
∵且，∴，
又∵为线段中点，∴，
在中.
（2）∵顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是.
∴，，
由（1）可知，
∴平行四边形中，故：，


，
∴，故对角线的长为.
（3）∵，，

，
∴
.
所以异面直线与夹角的余弦值为.

5．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）如图，在四棱锥中，底面，底面四边形为菱形且，，为的中点，为的中点.

(1)证明：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：作于点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系．

则，，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，，
即，取，解得；
所以，平面，
平面；
（2）解：设与所成的角为，
，，
，
与所成角的余弦值为；
（3）解：设点到平面的距离为，
则为向量在向量上的投影的绝对值，
由，得，
所以点到平面的距离为．
突破二：已知线线角求其它量
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．

(1)证明：；
(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；M是A1B1中点
【详解】（1）证明：由直三棱柱ABC-A1B1C1可得平面，且，故以为原点，
，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，设，且，
则，，，由，
（2）可设，且，则，，，
由异面直线MF与AC所成的角为30°可得，
整理得，即或（舍），
所以存在点M，M是A1B1中点.

2．（2022·广东·广州市协和中学高二阶段练习）如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为．

(1)求m的值；
(2)若是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值；
(3)是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：由四棱锥是底面边长为的正方形，则，
则，
所以；
（2）解：因为平面OABC，
所以即为直线与平面所成角的平面角，
即，
因为点到平面OABC的距离为，
则点，
由是抛物线Q上的动点，则，即，
则，
令，设，对称轴为直线，
①当时，即当时，
函数在上单调递增，
则，此时；
②当时，即当时，
此时函数在取得最小值，
即，
此时，
综上；
（3）解：当时，此时点与原点重合，
则直线与为相交直线，不符；
当时，则当取最小值时，，
不妨设，则，
，
则，
当异面直线与垂直时，，
即，无解，
综上所述，不存在一个实数，使得异面直线与垂直.
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．

(1)求证：A1O⊥BD；
(2)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
(3)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【详解】（1），且D，E分别为AB，AC的中点，
所以，即，又O为DE的中点，
所以，
又平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE平面BCED，
所以平面BCED，而平面BCED，
所以A1O⊥BD.
（2）过点作交于点，
因为AB=AC=，BC=4，所以，
，，，
以点为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系如下图所示：

则，，，，
，，，
设平面A1BD的法向量为，
则有，即，
令，则，则，
设直线A1C和平面A1BD所成角为，
则,
所以直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为.
（3）设线段A1C上是否存在点F，且，
，，
则，
因为直线DF和BC所成角的余弦值为，
则，
即有，
解得：或（舍）
即点F与点重合时，直线DF和BC所成角的余弦值为，
此时：.
4．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）如图①，平面四边形由直角梯形和组成，，，，.如图②，沿着直线将直角梯形折起至点和点重合，点和点重合，使得二面角的大小为.

(1)求点到直线的距离；
(2)若点是线段上的动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由已知得，，则为二面角的平面角，
所以，
又，，平面，所以平面.
以点为坐标原点，过点在平面内作的垂线为轴，以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，
设，的夹角为，则，
所以，设点到直线的距离为d,则.
（2）由（1）得，设平面的一个法向量，
则 ，即 ，
令，则是平面的一个法向量，
设，则，
设平面的一个法向量为，则 ，
即 ，
令，则为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
即，解得 或（舍）.
所以存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，此时.
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.

(1)求证：平面；
(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.
【答案】(1)证明见解析
(2)点应在线段的中点处
（1）
设，连接，因为是正方形，所以是中点，
又因为是矩形，是线段的中点，所以,,
所以四边形为平行四边形，所以,
因为平面，平面，所以平面；
（2）
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
依题意设，
则，，
因为，，，
与所成角是，
所以，即，
化简得，解得或（不合题意舍去），
从而，因此点应在线段的中点处．

6．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，.

(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）平面，平面，
，
，，、平面，
平面，又平面，
；
（2）如图所示，过点作于，连接，
由（1）知，平面，
，
又，
平面，

即为平面与平面所成的角．
在中，，，
，，
在中，，
，故平面与平面夹角的余弦值为．

（3）以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
异面直线与所成的角为，
，解得或（舍），
．.

突破三：线面角的向量求法
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点．

(1)证明：EF平面PCD；
(2)求直线PA与平面CEF所成角的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）如图，取中点，连接，，
∵，，分别为，，的中点，
∴，，∴四边形为平行四边形，，
∵平面，平面，
∴∥平面.
（2）
如图，以原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，
，，，，，，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，
因为，所以.
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知正方形的边长为2，点分别是边的中点，沿着将，折起，使得点重合为一点，得到一个三棱锥，点分别是线段的中点，在折起后的图形中：

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为，，平面，
所以平面，又平面，
平面平面；
（2）如图所示建立空间直角坐标系，则有


，设平面的一个法向量为，则
令，则，所以，
设直线与平面所成的角为，则
，又，
所以.
3．（2022·湖北·咸丰春晖学校高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，PD=4，底面是边长为2的正方形，分别为的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
因为底面是正方形，
所以.
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）因为平面，所以.
因为底面是正方形，
所以.
如图建立空间直角坐标系.
因为，底面为边长为2的正方形，
所以，.

设平面法向量，
由可得
令，则，所以
设直线与平面所成角为，
则
，
所以直线与平面所成角的余弦值为.

4．（2022·江西·高二阶段练习）在斜三棱柱中，点在底面的射影为边的中点，为正三角形，侧面与底面所成角的正切值为2，

(1)证明: ；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
由题意知：面，面，则，，
又底面为正三角形，所以，故两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间坐标系：
设正三角形的边长为2，，过作于，连接，

由平面，所以，
又，，面，所以面，
又平面，所以，
综上，为侧面与底面所成角的平面角，
在中，，又，
所以，即，
所以，则，
则，，，，
所以，，
所以，即，故；
（2）解：因为，，
设平面的法向量为，
则有，所以，令，则，
设直线与面所成角为，则.
5．（2022·山东枣庄·高二期中）四棱锥底面为平行四边形，且，平面.

(1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)存在点，且，理由见解析；
(2).
【详解】（1）存在点，且时平面，理由如下：
连接相交于点，连接，则平面平面，
若平面，平面，平面，所以，
因为，，所以， ，
所以时平面；

（2）因为，，，
由余弦定理可得，
由可得， ，又平面，
以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则，
所以，
设直线与平面所成角的为，
所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.
突破四：已知线面角求其它量
1．（2022·新疆·伊宁县第二中学高二期中（理））已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．

(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求线段AM的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点O在EA的延长线上，且AO＝2，证明见解析
(2)存在；AM＝1或3
【详解】（1）证明：直线MF⊂平面ABFE，故点O在平面ABFE也在平面ADE内，
所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，如图所示，

因为AO∥BF，M为AB的中点，
所以，
所以OM＝MF，AO＝BF，
所以点O在EA的延长线上，且AO＝2，
连结DF交EC与点N，因为四边形CDEF为矩形，所以点N是EC的中点，
连结MN，因为MN为△DOF的中位线，所以MN∥OD，
又因为MN⊂平面EMC，平面EMC，所以直线OD∥平面EMC；
（2）由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，
所以EF⊥平面ADE，又EF⊂平面ABFE，所以平面ABFE⊥平面ADE，
取AE的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，
所以，
设，则，
设平面EMC的法向量为，
则，即，
令，则，故，
因为直线DE与平面EMC所成的角为60°，
所以，
所以，解得或，
故存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°，
当时，，又，所以；
当时，，又，所以．
所以或3．
2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1=，BC=1，AB=C1C=2，E是棱C1C的中点.

(1)求二面角A—EB1—A1的余弦值；
(2)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，或.
【详解】（1）因为，所以.
所以，所以.
因为侧面，所以.又因为平面，
所以直线平面，
以为原点，和的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则知点.
设平面的一个法向量为，
因为所以令，则，所以.
设平面的一个法向量为，
因为所以令，则，所以.
因为，
所以.
设二面角为，则，
所以二面角的余弦值为.
（2）假设存在点，因为，
所以，所以点坐标为，所以.
由（1）知平面的一个法向量为，
所以，得，即，
所以或，
所以或.

3．（2022·天津·塘沽二中高二期中）如图，在四棱柱中，侧棱⊥底面，，，，，为的中点．

(1)求平面与平面夹角的正弦值；
(2)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意得，四棱柱中，⊥底面，，，
∵面，
∴，，建立空间直角坐标系如下图所示：

，，为的中点
∴，，，，，，，，，
在面中，设法向量为，，
∴，解得，当时，
在面中，设法向量为，，
∴，解得，当时 ，
平面角与平面夹角为，
，
∴，
（2）由题意，（1）及几何知识得，
在四棱柱中，，，
设，
∴，
在面中，其中一个法向量为，
设直线与平面所成角为
∵直线与平面所成角的正弦值是
∴，解得，
∴，.
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二期中）已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点．

(1)求平面与平面所成角的大小；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）解：因为是正三角形，为的中点，所以，
因为平面，平面，，
平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，、、、、、、，
，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
易知平面的一个法向量为，
则，
即平面与平面所成的锐二面角得余弦值为，
因此平面与平面所成的锐二面角为；
（2）解：假设线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，
设，其中，
，
由题意可得，
整理可得，因为，解得，
因此在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，且.

5．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1.

(1)若点是的中点，证明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点为棱上靠近端点的三等分点
【详解】（1）证明：∵点在底面上的射影为点，∴平面，
∵四边形是边长为的正方形，∴，
∵，∴，即：，
∴，又∵，点是的中点，
∴，同理可得：，
又∵，且平面，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面.
（2）如图，连接，易知，，两两互相垂直，
分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
假设存在点使得直线与平面所成的角的正弦值为，
∵点在棱上，不妨设，，
又，
∴，∴，
∵，，
设平面的法向量为，则
令，则，∴，
又，设直线与平面所成的角为，则，
∴，
即，解得：或（不合题意，舍去），
∴存在点符合题意，点为棱上靠近端点的三等分点.
6．（2022·河南·高二阶段练习（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，点分别在上， 且．

(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或．
【详解】（1）依题意，BC，BA，BP两两垂直，以B为原点，BC，BA，BP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设，
则，，，，，，，，
，显然，即，
因此是平面ABP的一个法向量，而，
于是得，又平面ABP，
所以平面ABP.
（2）由（1）知，，，，，
设平面ADF的法向量为，则，令，得，
设直线PA与平面ADF所成角为，则，
整理得，而，解得或，
所以或．
7．（2022·北京市陈经纶中学高二期中）如图，在四棱锥中，，，，，平面，且，点在棱上，点为中点.

(1)证明：若，则直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在点，此时或
【详解】（1）
如图所示，在线段上取一点，使，连接，，
，
，
平面
平面
又，，
，四边形为平行四边形，
，
平面
平面
又，
所以平面平面，
平面，
平面；
（2）
如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又是中点，则，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，
（3）存在，或
假设存在点，设，即，，
由（2）得，，，且平面的法向量，
则，，
则，
，

解得或，
故存在点，此时或.
突破五：面面角向量求法
1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是菱形.， ，点E是棱PC的中点.

(1)证明：PC⊥BD.
(2)求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），四边形为菱形，
，又，为等边三角形，，
，，，
，，
，，，
平面，平面，平面.
过点作，则，，，
分别以，，所在直线为，，轴如图建立空间直角坐标系.

，，，，.
，，，，，
，，
，.
（2），，为中点，，
设平面的法向量为，
，，
，.
设平面的法向量为，
，，
，，
设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面所成角的余弦值为.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，是三棱锥的高，，，．

(1)求证：平面；
(2)若，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，

因为是三棱锥的高，所以平面，又，平面ABC，
所以，，又PA＝PB，所以，即，
所以，则
又，所以，则，
所以在中，
又，所以，又平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC．
（2）解：过点作，以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由于，，由（1）知，
又，则，

，，
又，则，所以
由正弦定理得，，所以
则
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设锐二面角的平面角为，则，
，即二面角正弦值为．
3．（2022·湖北·高二阶段练习）如图1，在梯形中，，于，且，将梯形沿折叠成如图2所示的几何体，，为直线上一点，且于，为线段的中点，连接，.

(1)证明：；
(2)若图1中，，求当四棱锥的体积最大时，平面与平面所成锐角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知得，，且，平面,
所以平面，因为平面，所以，
在梯形中，，
因为为线段的中点，所以，故，
又因为，且，平面, 所以平面，
因为平面，所以.
（2）过点作于点，又因为平面,平面 ,所以，
又，平面, 所以平面，
所以线段的长度为点到平面的距离.
设，则，
则四棱锥的体积，
令，，，
则时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减，
所以，即当时，四棱锥的体积最大，此时，，
以点为坐标原点，直线，分别为轴、轴，在平面内过点作与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，，，
设平面的法向量，则有，可取，
因为平面，所以即为平面的一个法向量，
则，故，
所以平面与平面所成锐角的正弦值为.
4．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，、分别是、的中点.

(1)证明：平面；
(2)求平面和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图所示：

取的中点，连接、.
因为是的中点，所以，且.
因为四边形是矩形，所以且，
所以，且.
因为是的中点，所以，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）解：因为，，所以.
因为，所以，
又，、平面，
所以平面，所以、、两两垂直.
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则令，得.
设平面的一个法向量为，
则令，得.
因为，则，
所以平面和平面所成角的正弦值为.
5．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，.

(1)证明：；
(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接、，
因为，为的中点，则，
因为四边形为菱形，则，，则为等边三角形，
因为为的中点，则，
因为，、平面，平面，
因为平面，.
（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，，
平面，又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、，
，，
因为，则，解得，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
，因此，平面和平面夹角的余弦值为.
6．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）如图，梯形中，，，，将沿对角线翻折，使点至点，且使平面平面，如图．

(1)求证：；
(2)连接，当四面体体积最大时，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取中点，连接，

，，四边形为平行四边形，，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，.
（2）取中点，连接，
，即，，
平面平面，平面平面，平面，
平面；
分别为中点，，平面，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，，，
则，，，，，，
，，，，
即，，
；
，即，，
令，则，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，即四面体体积取得最大值，
此时，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，；
二面角为锐二面角，二面角的大小为.
7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图，为三棱锥的高，，在棱上，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接OA，延长交于点，连接PE
由平面，得，

，
，又
则，又，则
设
由，可得
又平面平面平面.
（2）由（1）得平面，，过点A作平面，
以A为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图，


设，又
则，解之得，则
则
设平面和平面的一个法向量分别为
则，令则，则
，令则，则
设二面角平面角为，
则
又，则
突破六：已知面面角求其它量
1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）如图1，在等腰梯形中，分别是的中点，，，将沿着折起，使得点与点重合，平面平面，如图2.

(1)当时，证明：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，所以是的中点，
因为分别是中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面
因为分别是的中点，所，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以//平面.
因为平面，且，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）
取的中点，连接，
由条件可知，四边形和是平行四边形，且,
所以，，是等边三角形，
所以，，
因为平面平面，平面平面，
所以平面,
所以两两垂直，则以为原点，分别以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，所以，
因为，所以，所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，则，
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，解得.
2．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.

(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)总有平面平面，证明详见解析
(2)
(3)存在，是的中点，理由见解析.
【详解】（1）折叠前，因为四边形是菱形，所以，
由于分别是边，的中点，所以，
所以，
折叠过程中，平面，
所以平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）当平面平面时，四棱锥体积最大，
由于平面平面，平面，，
所以平面，由于平面，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
依题意可知，
设平面的法向量为，
则，故可设，
所以到平面的距离为.
（3）存在，理由如下：
，，
设，则，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
设平面与平面所成角为，
由于平面与平面所成角的余弦值为，
所以，
解得或（舍去），
所以当是的中点时，平面与平面所成角的余弦值为.

3．（2022·浙江·高二阶段练习）如图1，在四边形中，.将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.

(1)设平面与平面的交线为，证明：.
(2)若点在线段上（点不与端点重合），平面与平面夹角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：，且.
平面平面，且交线为，又平面，
平面，又是平面与平面的交线，
平面
.
（2）解：由（1）知，平面，平面平面，且交线为，又
平面，所以平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴､轴，过作，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，设，
则，
所以.
设是平面的法向量，
则，取.
由（1）知，平面
是平面的一个法向量.
平面与平面夹角的正弦值为
，
，整理得：，
解得，即.
4．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，．

(1)求证：平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为．
【答案】(1)证明见解析
(2)当点与点重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为
【详解】（1）因为四边形为梯形，，则，
又因为，所以，则，即.
又因为平面，，则，
因为、都在平面内，，所以面.
（2）如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

设，，，
则，、、.
，，
设为平面的法向量，则有
可得，取，则.
由题可知，是平面的一个法向量，所以，
因为，所以当时，，即.
所以当点与点重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为.
5．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，，E是的中点．

(1)求证：面；
(2)若，则棱PB上是否存在一点F，使得平面与平面EBD的夹角的余弦值为？若存在，请计算出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，的值为或0
【详解】（1）连结交于，连结.
为正方形，为中点，又为中点，
.
又平面EDB，平面EDB，
平面EDB.
（2），，
即，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，
且平面，平面ABCD.
以为基底建立空间直角坐标系，，
设，，设，
，，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
同理可求得平面的法向量为
由于平面与平面EBD的夹角的余弦值为，
则，
解得或.
答：存在，且的值为或0.

6．（2022·山西大同·高二期中）如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，.

(1)证明：平面平面；
(2)若 ，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面所成二面角的大小为 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在.M为靠近P三等分点
【详解】（1）证明：取 的中点，连接 ，
因为为等边三角形，所以，
在中，有，
又因为，所以 ，
所以，即，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面 ，所以平面平面.
（2）不妨设，在中，，所以，
在底面内作于点，则 两两垂直，
以点为原点，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，
所以，，，，
设，
则，
设平面的法向量为，
所以 ，
令，可得，，所以，
可取平面ABC的一个法向量为，
所以，
整理可得，即，解得或（舍去）.
所以，所以当时，二面角的大小为 .
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校高三阶段练习（理））如图，直角梯形中，，点为的中点，沿着翻折至，点为的中点，点在线段上.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，平面与平面所成的锐二面角为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意可得，，因为，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
以分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，设，
，
设平面的法向量为，
，令，
，
同理可求得平面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
，解得，
所以的值为.

突破七：点到平面距离
1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（文））在直棱柱中，点为棱的中点，底面为等腰直角三角形，且，.

(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为三棱柱为直棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，，
平面，
所以平面；
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，设，
则，，，，
所以，，
因为，所以，解得，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，所以，
设点到平面的距离为，
所以.

2．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，．

(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：平面，为正方形，以所在的直线为轴，以所在的直线为 轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．

由已知可得，，，，
为的中点， ，
所以 ， ， ，
所以 ，所以，
又点为中点，，所以，
，平面 ，平面，     
又因为平面,故平面平面．
（2）设平面的法向量为，则
令，则 ，，
，设点到平面的距离为d，
,点到平面的距离为．
3．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于．

(1)求证：；
(2)当为中点时，求点到平面的距离；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为矩形，所以，
平面，平面，
所以平面．
因为过的平面交平面于，
由线面平行性质定理，得；
（2）解：由平面平面其交线为，平面，
所以平面，
又四边形为矩形，所以以为原点，以为轴建立如图空间直角坐标系．

由，，得，，，
则，
设平面法向量，
则，取得．
因为，所以点到平面的距离.
4．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边的中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.

(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；
(2)求点P到平面MCN的距离.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为图1中，所以图2中，，又，
所以分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，.
因为，，，DE，平面BCDE，
所以平面BCDE，所以是平面BCDE的一个法向量，
设平面MCN的法向量，由得取，则，，所以平面MCN的一个法向量，
设平面MCN与平面BCDE的夹角为，则，
所以平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值为.
（2）由（1）知是平面MCN的一个法向量，
又，
所以点P到平面MCN的距离.
5．（2022·福建福州·高二期中）如图，菱形ABCD中，AB=2，，P为平面ABCD外一点，且平面PAD平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.

(1)求证：平面；
(2)若为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取PB的中点N，连结MN，AN，MO，

⸪M、N为PC、PB的中点  ⸫且
又⸪菱形ABCD，O为AD中点，⸫且
⸫且，⸫四边形为平行四边形
⸫，又平面，平面
⸫平面
（2）连结PO、OC，又⸪菱形 ，
又平面平面，平面平面，平面
⸫平面，⸪为正三角形，⸫且
如图建立以O为原点，OA、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P（0，0，），A（1，0，0），B（2，，0），M（0，，）
设平面PAB的法向量为，
则，取且
⸫M到平面的距离
即点M到平面PAB的距离为
6．（2022·福建南平·高二期中）如图，四边形为平行四边形，点在上，，且．以为折痕把折起，便点到达点的位置，且．

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，EB∩EF＝E
平面，平面，
∴DE⊥平面BEF，又∵平面BCD，
∴平面平面
（2）由（1）知平面，而平面，，
∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，∵∠FEB＝60°，
∴，
∴FB⊥EB ∵DE∩BE＝E，平面，平面，
∴BF⊥平面BCDE
，则直线与平面所成角的正切值为，解得，
如图所示建立空间直角坐标系，则，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令得，
点到平面的距离

突破八：空间角的最值问题
1．（2022·福建·高三阶段练习）四棱锥平面，底面是菱形，，平面平面.

(1)证明：；
(2)设为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，过点作，垂足为
.平面平面，平面平面，平面，
平面.
平面.
.
平面平面.

又，平面，
平面.

（2）由已知及（1）得四边形是正方形，从而两两垂直，
以为轴正方向如图建立空间直角坐标系.

设，则
设，则，
设平面的法向量，则即，
取，则.即.

当时，上式最大为，.
所有与平面所成角的正弦值的最大值为.
2．（2022·上海市进才中学高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，.

(1)证明：；
(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；
(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.
【答案】(1)证明见解析.
(2)存在，线段AM的长为.
(3)

【详解】（1）由题意，
在四棱锥中，
⊥面ABCD，,，
∴，
在直角梯形中，，
∵，
∴
∵
∴
（2）由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，
在四棱锥中，，
作出空间直角坐标系如下图所示：

由几何知识得，，，，，，
∴，，，
设，则,
∴
∴，
若AM⊥面PCD
解得：
∴

（3）由题意及（1）（2）得，
，，
设
∴，

设，，
∴
当且仅当即时，最大，为，
在中，上是减函数，
∴最大时，直线CQ与DP所成的角最小，
∵，
∴，
∴当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为.
3．（2022·山东潍坊·高二期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.

(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，；
又为中点，，

因为二面角为直二面角，
即平面平面，平面平面平面
平面，又平面；
又平面平面.
（2），
为等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面
平面，
则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，

设，则，
；
由（1）知：平面平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，则；
，
令，则；
，
即锐二面角的余弦值的取值范围为.
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点.

(1)若为线段的中点，求证：//平面；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）取中点为，连接,

在中，∵为的中点，为中点，
∴,
在正方形中，∵为的中点，
∴,
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）在正三角形中，为的中点，
∴，
当时，
∵平面，平面，
∴AM⊥平面，
又∵平面PCD，
∴AM⊥DC，
∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，
又平面，平面，
∴DC⊥平面PAD，
又∵平面PAD，
∴直线PO⊥直线CD，
显然PO⊥AD,AD⊥CD,
∴可以取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（为BC的中点），

设AD＝2，则，，，（），，，，
，，，，
设平面的法向量为，
，令，则，
设平面PBC的法向量为，
，令，则，
∴（）.
令，则，
∴,设，
,
∴在上单调递增，∴在上单调递增，
又∵，
∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值的取值范围是.
5．（2022·山西太原·高二期中）如图，在四棱椎中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且.

(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，则，即，
又因为平面，所以，
故建立如图所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
.
（2）设，则，故，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，故，
易得平面的一个法向量为，又，
设直线与平面所成角为，则，
即，解得，
设平面与平面的夹角为，则，
因为，所以，则，故，即.
所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为.
6．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二期中）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.

(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
【答案】(1)
(2)平面和平面夹角余弦值的最小值为
【详解】（1）解：取的中点，连接，

因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
此时平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为；
（2）解：连接，
因为，所以，
所以为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
过作于点，由题意得平面，
设,,，
所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设平面的法向量为，
因为，
则，
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
令，所以，则
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为.
7．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.

(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
【答案】(1)答案见解析.
(2)当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大.
（1）（i）设AC与BD的交点为O，连接PO与AN交于点G，

点O为AC中点，点N为PC中点，
PO与AN的交点G为的重心，
，
又PO为在BD边上的中线，
点G也为的重心，即重心点G在线段AN上.
（ii）
证明：连接DG并延长交PB于点H，连接，

点G为的重心，
，
又，
即，又MG在平面AMN内，BP不在平面AMN内，
所以PB∥平面AMN.
（2）
四边形ABCD是正方形，且平面ABCD，
AB、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，方向为x轴正方形建立空间直角坐标系，如图所示，

则点，，，，
则，，，
设则，
，
设平面AMN的法向量为，
则有，
化简得：，
取则，，
设直线PA与平面AMN所成角为，
则，
当时的值最大，
即当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大，最大值为.
8．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.

(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以
（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，
所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.
因为异面直线与所成角的正切值为，
所以，即
又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以
所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.

以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.
因为为正三角形所以，从而
由已知E，F分别是的中点，所以
则，所以，
所以，
因为，所以可设，平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，则.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的取值范围为.
第二部分：冲刺重难点特训
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））在四棱锥中，，，，， 平面，与平面所成角，又于，于.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过作，则四边形为矩形，

以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，因为与平面所成角，
所以，所以，所以,
，，
设，
所以，即,
因为，所以,解得，
所以，又因为，
所以，即，
又因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知平面，
则为平面的一个法向量.
,所以,即，
又因为平面，平面,所以，
又因为平面，
所以 平面，
则为平面的一个法向量.
则
所以二面角的余弦值为.
2．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，已知为圆锥底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，平分，D是上一点，且平面平面.

(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，且平分，所以，
又因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）取的中点M，连接，则两两垂直，
以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图空间直角坐标系则，
，，，，
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.
设平面的法向量，
因为，，
则
取，则，
因此，
所以二面角的正弦值为.

3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，连接EB交AD于点F，如图1.将沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2.

(1)证明：直线平面BFP；
(2)若∠BFP＝120°，求点F到平面BCP的距离．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【详解】（1）在平行四边形中，因为,
由题意可知：，所以，
在中，，所以，
则，且，
折叠后：因为，且，
所以平面.
（2）由（1）知：平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又因为平面平面，
在平面中过作，垂足为，则平面，
所以即为点到平面的距离.

在中，，，由余弦定理可得：
，则，
由面积相等可得：，
所以，也即点到平面的距离为.
4．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））如图，在长方体中，已知，E为BC中点，连接，F为线段上的一点，且．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接DE．依题意，可作图如下：

由为中点，则，则，∴，
即，∵平面ABCD，平面ABCD，∴．
又，∴平面，平面，平面．
∵平面，∴，
同理，可知，则，
∴，即，∴．∴．
∵平面，平面，且，∴平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
∴，，，，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面的法向量为，则
即，令，则，有，，，
∴，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
5．（2022·河南开封·一模（理））如图，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分别是，的中点，．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）解：取的中点，连接，，
∵M，N分别是，的中点，∴，，
又∵平面ABC，平面ABC，∴平面．
又，∴，同理可得，平面．
∵平面MND，平面MND，，
∴平面平面．∵平面MND，∴平面．

（2）取的中点，连接，．
由已知得，∴是平行四边形，∴．
∵是正三角形，∴，∵平面平面，
平面平面，∴平面，
又平面，∴．
设，．
在Rt中，由，解得，即，
取的中点，连接，则，
以为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图所示．
则，，，，，
，由已知易得，平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则即
取，则平面的一个法向量为
∴，
∵二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．

6．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如下图所示：

设的中点为，连接，，
由题意得，，；
在中，，的中点为，.
又在中，，，，
，；
又平面，平面；
平面，
又平面，
平面平面
（2）由（1）可知，，，
平面，即为直线与平面所成的角，
且，
所以，当最短时，即为的中点时，最大；
由图可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，；
设平面的法向量为，
则，
令，得，即；
易知，平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则
所以，二面角的余弦值为.
7．（2022·上海松江·一模）已知平面，

(1)求证：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值大小.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【详解】（1）∵平面，平面,∴ ，
又∵且平面 ，
∴平面，∵平面,
∴平面平面．
（2）∵平面, 平面，则 ,
∴即为直线与平面所成的角，
，，，∴ ﹐
又平面，平面,∴ ，
而 ，∴ ，
∴在 中， ，
又，
故线与平面所成角的正弦值为.
8．（2022·全国·模拟预测）如图，在直线三棱柱中，己知，，，D为棱AC的中点.

(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【详解】（1）
连接，交于点O，连接OD，则O为的中点，
∵D为AC的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）
由（1）知点到平面的距离与点C到平面的距离相等.
∵，D为AC的中点，∴，
连接，则，
∴.
如图，以D为坐标原点，以DA，BD所在直线分别为x，y轴，以过点D且垂直平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，.
设平面的法向量为，
则，故，取，则，故，
设平面的法向量为，
则，故，取，则，得.
∴，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
9．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且．

(1)若，求证：面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接，.

已知，不妨设，.
已知点在底面的投影落在中点，所以四棱锥为正四棱锥，
即，
底面为正方形，，得，同理得，
为的中点，，，得，
，，同理可得，
平面，平面，且，平面.
（2）如图，过点做底面垂线，垂足为中点.
以所在直线为轴，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴如图建立空间直角坐标系.

不妨假设底面正方形的边长为，.
因此得，，，，，.
，，，，
设平面的法向量为，
由，得，解得：，，，故；
设平面的法向量为，
由，得，解得：，，，故；
由平面与平面所成的锐二面角为，
得，解得或（舍）.
得，，设直线与平面所成角为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
10．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，，且，为的中点，点在棱上，，若是边长为1的等边三角形，且.

(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），为中点，，
又在中，，，，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）如图，在中，过点作的垂线交于点，

由（1）知，，，故以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，故，
所以，
故直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.
11．（2022·云南云南·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.

(1)求证：平面ABCD；
(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取CD的中点E，连接BE，
四边形ABCD为直角梯形，，且E为CD的中点，且，所以，四边形ABED为矩形，
，
，
，
，
，平面，平面，平面PAD，
平面PAD，，
，平面，平面，平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA､AB､AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB､AD､AP所在直线为x､y､z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，，
设平面PBD的法向量为，
由，得，
令，得.
，
设平面PAM的法向量为，
由，得，令，则，
，
由于平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为，
则，整理可得，
，解得.
12．（2022·北京西城·二模）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.

(1)求证：；
(2)若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面，
所以.
（2）选①②：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面，
故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选②③：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，故，且，又，.
所以，则.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选①③：取中点，连接，.
在中，因为，所以，且，.
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，，
所以，则.
由，面，则面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
13．（2022·天津二中模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，．

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点E在棱上，且平面，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：因为平面平面，
且平面平面，
因为，且平面
所以平面．因为平面，所以．
（2）解：在中，因为，
所以，所以．
所以，建立空间直角坐标系，如图所示．

所以，
易知平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则．
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：因为点E在棱，所以．
因为．
所以．
又因为平面，为平面的一个法向量，
所以，即，所以．
所以，所以．
14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
连接.

三棱柱中，，．
则，
则，则，∴，
又∵，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）
取AB的中点D，连接CD，∵ ，∴ ，

又由（1）知平面平面，平面平面
则平面，且．
则三棱锥的体积为，
则三棱柱的体积为6，
∵，∴在四边形中，，
又∵四棱锥的体积为，
∴三棱锥的体积为．
15．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.

(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以
（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，
所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.
因为异面直线与所成角的正切值为，
所以，即
又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以
所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.

以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.
因为为正三角形所以，从而
由已知E，F分别是的中点，所以
则，所以，
所以，
因为，所以可设，平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，则.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的取值范围为.
16．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，点，分别是，上的点，且，．

(1)证明：平面；
(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：如下图，取的中点，取上一点，使得，连接，，．

因为，分别为，的中点，所以，．
又，，所以，．
因为，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
（2）
如下图，作交于点．
又平面平面，且平面平面，
所以平面．因为，，
所以．又，所以四边形为矩形，
所以，取的中点，连接，

则，，
所以，所以，
所以．