新高考数学二轮复习培优讲义24 高考排列组合的技巧( 含解析）

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解密24 高考排列组合的技巧
【考点解密】
有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等．求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解．

【核心题型】
题型一：捆绑法
1．（2023·安徽·统考一模）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（   ）种．
A．40 B．24 C．20 D．12
【答案】B
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
故选：．
2．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】个元素圆桌环形排列的所有情况为，将需要相邻的元素捆绑，环形排列，还要注意捆绑的两个元素内部也有顺序.
【详解】由题意可知，所有的情况数是种，同一班级的两名同学恰好排在一起相邻而坐的情况数为：首先三个班的两名同学捆绑，形成新的三个元素，环排共有种，又每个班两名同学可以排序，则有种，同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（    ）种
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】A
【分析】根据D、F在一二位或四五位、五六位先安排D、F两个节目，C是固定的，然后其他三个节目任意排列，由此可得．
【详解】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为．
故选：A．

题型二、插空法
4．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…．小利是个数学迷，她在设置手机的数字密码时，打算将斐波那契数列的前5个数字1，1，2，3，5进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小利可以设置的不同密码有（    ）
A．24个 B．36个 C．72个 D．60个
【答案】B
【分析】根据要求，现将数字2，3，5进行全排列，然后将两个1进行插空即可求解.
【详解】由题意可知：排列时要求两个1不相邻，
则现将数字2，3，5进行全排列，有种；
再将两个1进行插空，则有种，
所以小利可以设置的不同密码有种，
故选：.
5．（2023·陕西西安·统考一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（    ）
A．240 B．360 C．480 D．720
【答案】A
【分析】直接利用插空法分两步完成计算得到答案.
【详解】先把数字3，4，5，9四个数排列，共有种排列方法，四个数排列产生5个空，把两个1插到5个空里，共有种方法，根据乘法分步原理得共有种.
故选：A
6．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）泰山、华山、衡山、恒山、嵩山是中国的五大名山，并称为“五岳”，它们以象征中华民族的高大形象而名闻天下，段誉同学决定利用今年寒假时间，游览以下六座名山：泰山、华山、井冈山、黄山、云台山、五台山．若段誉同学首先游览云台山，且属于“五岳”的名山游览顺序不相邻，则段誉同学针对这六座名山的不同游览顺序共有（    ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．120种
【答案】C
【分析】根据题意，采用插空法：先将除去泰山，华山和云台山的三座山进行全排，然后在这三座山的4个空格中选择两个空格，将泰山和华山插进去即可.
【详解】根据题意，分两步完成：
因为段誉同学首先游览云台山，所以第一步先将井冈山、黄山、五台山这三座山进行全排列，则有种排列方法，
第二步从这三座山的4个空格中选择两个空格，将泰山和华山插进去，则有种，
由分步计数原理可得：段誉同学针对这六座名山的不同游览顺序共有种，
故选：.

题型三、特殊元素法
7．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则：参赛学生从《红楼梦》《论语》《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（    ）种．
A．128 B．132 C．156 D．180
【答案】B
【分析】根据分类加法计数原理，对甲进行分类即可，
【详解】根据题意，学校从5名优秀学生中选出4人去参加3本书籍的知识竞赛，且每本书的知识竞赛都要有该校学生参加，则必会有两人去参加同一书籍的知识竞赛．①若选出的4名学生中不含甲同学，在这4名学生中任意取2人进行捆绑，则不同的安排方法共有种；②若选出的4名学生中含有甲同学，则在剩余的4名优秀学生中再抽取3人，共有种方法；若甲同学和其中1名学生去参加同一书籍的知识竞赛，则共有种方法；若甲同学单独一人去参加某本书的知识竞赛，则共有种方法．根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得，不同的安排方法共有种．综上所述，不同的安排方法共有种．
故选：B．
8．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育“乐”主要指美育“射”和“御”就是体育和劳动“书”指各种历史文化知识“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（     ）种
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意“礼”的次序一定，因此分类考虑“射”的次序排法，再考虑“数”以及“御”的次序牌法，根据分类加法计算原理可求得答案.
【详解】由题意，“礼”排第一，当“射”排第二或六时，“数”只有一种次序，其余全排列，有种次序，
当“射”排第三、四、五时，“数”有两种次序可选，“御”也有两种次序可选，其余全排列，
此时有种次序，
故“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种，
故选：A．
9．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ）
A．288 B．144 C．72 D．36
【答案】C
【分析】方法1：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队2位母亲排队3个小孩“捆绑”内部排队在父亲母亲产生的3个空中选一个空将3个小孩放进去.
方法2：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队3个小孩“捆绑”与2位母亲排队3个小孩“捆绑”内部排队.
【详解】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.
方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为.
故选：C.

题型四、间接法
10．（2023·全国·高三专题练习）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（    ）
A．60种 B．64种 C．72种 D．80种
【答案】A
【分析】按照间接法，先计算3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况，然后减去3名校长选的3家企业完全相同的安排方法数，即可求得所需安排情况种数.
【详解】解：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：种
又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，
因为3名校长选的3家企业完全相同有种，
则不同的安排方法共有：种.
故选：A.
11．（2022秋·新疆·高三八一中学校考开学考试）2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.该届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区，甲、乙、丙、丁四名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者且乙不被安排到延庆赛区做志愿者的方法数为（       ）
A．17 B．29 C．56 D．13
【答案】A
【分析】先求出所有可能安排的方法数，再应用间接法求甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数.
【详解】由题意，任意安排的方法数有种，
甲被安排到张家口有种，同理乙被安排到延庆有种，
甲被安排到张家口，同时乙被安排到延庆有种，
所以甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数为种.
故选：A
12．（2022·全国·高三专题练习）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【分析】考虑乙和丙相邻，以及乙和丙相邻且甲排第一天的情况，结合捆绑法与间接法可求得结果.
【详解】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，
由间接法可知，满足条件的排法种数为种.
故选：D.

题型五、隔板法
13．（2021·北京·高三强基计划）如果一个十位数F的各位数字之和为81，则称F是一个“好数”，则“好数”的个数为（    ）
A．48618个 B．48619个
C．48620个 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】利用隔板法可求“好数”的个数.
【详解】设好数，则，
设，则，且，
考虑的非负整数解的个数，去掉对应的一组解，所求个数为个．
故选：B.
14．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）近日，上海疫情形势严峻，市疾控中心在我市四家三甲医院选派多名医护人员支援上海，抗击疫情．其中，需要医生8名，现要求每所医院至少抽调一名医生，则不同的名额分配方法种数为（    ）
A．36 B．35 C．32 D．30
【答案】B
【分析】相同元素的分组，用“隔板法”.
【详解】将8个元素站成一排，一共产生了9个空，去掉两端的空，现在7个空中插入3个挡板，共有放置方法为．
故选：B．
15．（2021·浙江·模拟预测）已知两个实数集与，若从到的映射，使得集合中的每个元素都有原象（如果A中元素a与B中元素b对应，a即为b的原象），且 ，则这样的映射共有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意将中元素分为非空的组即可.
【详解】不妨设，将中元素按顺序分为非空的组，
定义映射，使第组的元素在之下的象都是)，易知这样的满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，
于是满足题设要求的映射的个数与按号码顺序分为组的分法数相等，即在的个空中插入个隔板，
故的分法数为，则这样的映射共有.
故选：D.


题型六、倍缩法解决部分定序问题
16．（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（    ）
A．24种 B．40种 C．60种 D．84种
【答案】B
【分析】先求出五个节目的全排列有种情况，要求甲、乙、丙有两种固定的出场顺序，则除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的顺序种类即可得到结果.
【详解】五个元素的全排列数为，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法，所以满足条件的排法有.
故选：B．
17．（2022·河南郑州·统考模拟预测）某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（    ）
A．240种 B．480种 C．540种 D．720种
【答案】A
【分析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解.
【详解】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，
有，总共有种.
故选：A.
18．（2020·河北张家口·统考二模）今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号定在正中间，两边是四个元素的定序排列，6号与9号分左右两边相邻，与6在同一边的另外3个元素(从1，2，3，4，5种任选3个)定序排列，另一边的四个元素定序排列， 最后根据古典概型的概率公式可得答案.
身高最高
【详解】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，
则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有种，
当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有种，同理当当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，
所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，
所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为.
故选：A.
【点睛】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.


题型七、不平均分组问题
19．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（    ）
A．36 B．81 C．120 D．180
【答案】D
【分析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，再将4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，最后根据分步乘法原理求解即可.
【详解】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有种不同的选派方案，
再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，
有种不同的选派方案，
所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.
故选：.
20．（2022秋·云南·高三云南师大附中校联考阶段练习）中国空间站(China Space Station)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ）
A．9种 B．24种 C．26种 D．30种
【答案】B
【分析】先利用分组与分配的求法求得5名航天员共有种不同的安排方案，再利用分类加法计数原理求得甲、乙两人在同一个舱内有种不同的安排方案，从而利用间接法即可得解.
【详解】依题意，先从5名航天员中安排1人到“梦天实验舱”，则有种安排方案，
再将剩下的4人分成两组，每组2人，则有种安排方案，
接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱”，有种安排方案，
所以这5名航天员的安排方案共有种，
其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有种，同在“问天实验舱”内的安排方案有种，
即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有种，
所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有种.
故选：B.
21．（2023·全国·高三专题练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（    ）
A．60种 B．120种 C．180种 D．360种
【答案】D
【分析】先按名额1:2:3分成三组，再全排列到各小区．
【详解】若分配3个小区的志愿者人数均不相同，则1个小区1人，1个小区2人，1个小区3人，则不同的分配方案共有种．
故选：D．


题型八、平均分组问题
22．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（    ）种安排方法
A．335 B．100 C．360 D．340
【答案】C
【分析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；每种分组再分同学1安排的几位老师辅导解答.
【详解】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；
①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有
在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：，
根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：
如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：
所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为
②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：
若1同学只安排了一位辅导老师则
若1同学安排了四位辅导老师则
所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，
甲老师不安排去辅导同学1的方法数为
③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；
若1同学只安排了一位辅导老师则
若1同学只安排了两位辅导老师则
若1同学只安排了三位辅导老师则
所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，
甲老师不安排去辅导同学1的方法数为
综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为
故选：C
23．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（    ）
A．1918 B．11508 C．12708 D．18
【答案】B
【分析】利用分组分配问题的计算方法求解.
【详解】分组方法共有，，三种情况，
所以分配方法共有.
故选:B.
24．（2023·全国·高三专题练习）第19届亚运会即将在美丽的西子湖畔杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会招募了一批大学生志愿者.现安排某大学含甲、乙的6名志愿者到游泳馆、射击馆和田径馆参加迎宾工作，每个场馆安排2人，每人只能在一个场馆工作，则甲、乙两人被安排在不同的场馆的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分组分配问题结合古典概型求解.
【详解】6人分成3组并安排到三个场馆工作，共有种不同的安排方法，
其中甲、乙被安排到不同场馆有种不同的安排方法，
所以甲、乙两人被安排在不同的场馆的概率为，
故选:A.


题型九、部分平均分组问题
25．（2023·重庆·统考二模）在张奖券中有一等奖张，二、三等奖各张，其余张无奖，将这张奖券分配给个人，每人张，则不同的获奖情况数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】1.若中奖人数为四人，则不同的获奖情况有种；
2.若中奖人数为三人，则必有一人的张奖券（设为）均中奖，可得：
①若均为一等奖，不同的获奖情况有种；
②若为二、三等奖，不同的获奖情况有种；
③若为一、二或一、三等奖，不同的获奖情况有种；
故中奖人数为三人，则不同的获奖情况有种；
3.若中奖人数为两人，则有：
①若张一等奖的奖券为同一人获得，不同的获奖情况有种；
②若张一等奖的奖券为不同人获得，不同的获奖情况有种；
故中奖人数为两人，则不同的获奖情况有种；
综上所述：不同的获奖情况数为.
故选：A.
26．（2023·河北石家庄·统考一模）为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（    ）
A．96 B．120 C．144 D．240
【答案】D
【分析】根据排列组合中的分组分配方法分析即可求得答案.
【详解】由题意可知，将甲乙捆绑在一起，当成一个元素，则是5个不同的教练分配到4个不同的中学指导体育教学，
由于每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，
则分4组的情况有种方法数，再将4组人分配到4所学校有种方法数，
则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为.
故选：D.
27．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的穊率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出安排人的方案总数，以及甲、乙两人安排在同一个舱内的方案种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，共有种不同的方案，
甲、乙两人安排在同一个舱内共有种不同的方案，
故甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为.
故选：A.


题型十、特殊位置法
28．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）2022中国（南昌）国际大健康产业大会暨博览会将于11月25日-27日正式举办，此次博览会将围绕医疗器械、生物医药、中医中药、国际医养、医疗美容、健康生活六大板块，搭建政、商、学、医、研，产的高端对话与合作平台，推动健康产业资源要素相互赋能．博览会某日将举办六大板块为主旨的六场报告会，其中上午四场，下午两场，要求中医中药排在上午前两场中任意一场，医疗美容和健康生活排在下午，则不同安排种数是（    ）
A．24 B．96 C．144 D．192
【答案】A
【分析】根据排列的知识求得正确答案.
【详解】依题意可知，不同安排种数是种.
故选：A
29．（2023·河南信阳·高三统考期末）源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（    ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
【答案】B
【分析】先排两道程序有种放法，再排剩余的3道程序有种放法，再由分步计数原理即可得出答案.
【详解】先排两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放，共有种放法；再排剩余的3道程序，共有种放法；
则共有种放法.
故选：B.
30．（2022·全国·高三专题练习）《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务B必须排在前三位，且任务A、D必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有(    )
A．240种 B．188种 C．156种 D．120种
【答案】D
【分析】分任务B排在首位、第2位、第3位三种情况讨论即可．
【详解】若任务B排在首位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体和剩下的3个任务全排列即可，此时共有种方案；
若任务B排在第2位，则第1位可排除A、D外的3项任务中的任意一项，有3种排法；将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体和剩下的2个任务全排列即可，此时共有种方案；
若任务B排在第3位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体有3个位置可排，再将剩下的3个任务全排列安排在剩下的3个位置即可，此时共有种方案；
故总共有48+36+36=120种方案．
故选：D

题型十一、涂色问题
31．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ）

A．72 B．56 C．48 D．36
【答案】C
【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.
【详解】将四个区域标记为，如下图所示：
第一步涂：种涂法，
第二步涂：种涂法，
第三步涂：种涂法，
第四步涂：种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，

故选：.
32．（2023·全国·高三专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ）

A．12 B．24 C．48 D．84
【答案】D
【分析】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四种鲜花，然后相加即可求解.
【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；
当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为种，
故选：.
33．（2022秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）如图，用种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ）种

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依次对区域、、、涂色，结合分类加法与分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先对区域涂色，有种选择，其次再对区域涂色，有种选择，
然后再与区域、涂色，有两种情况：
（1）若区域、同色，有种情况；
（2）若区域、不同色，有种情况.
综上所述，不同的涂法种数为种.
故选：C.



【高考必刷】

一、单选题
34．（2023·广东广州·统考一模）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（    ）
A．100个 B．125个 C．225个 D．250个
【答案】C
【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答.
【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，
求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：
最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，
不同“回文数”的个数是个，
最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种，
不同“回文数”的个数是个，
由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.
故选：C
35．（2023·全国·模拟预测）某县扶贫办积极响应党的号召，准备对A乡镇的三个脱贫村进一步实施产业帮扶，现有“特色种养”､“庭院经济”､“农产品加工”三类帮扶产业，每类产业中都有两个不同的帮扶项目，若要求每个村庄任意选取一个帮扶项目（不同村庄可选取同一个项目），那么这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算出三个村庄总的方案的种数和这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的种数，然后代入古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】设“特色种养”中的两个帮扶项目为，“庭院经济”中的两个帮扶项目为，“农产品加工”中的两个帮扶项目为，
所以三个村庄总的方案为种，
这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业，则共有种，
所以这三个村庄所选项目分别属于三类不同帮扶产业的概率为，

故选：.
36．（2023·广东江门·统考一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．
【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，
又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
故选：D．
37．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若一个三位数的各个数位上的数字之和为8，则我们称是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（    ）
A．34个 B．35个 C．36个 D．37个
【答案】C
【分析】利用列举法求出所有组合，再计算能排列出多少个“叔同数”.
【详解】三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，
其中三个数不同且都不为0可排出个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出个“叔同数”， 008只能排出一个“叔同数”，
所以它们排出的“叔同数”的个数共有，
故选：C
38．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）如图所示，有一个“九宫格”形状的糖果盒子，现有三种不同的糖果(同种糖果不加区分)，每种3颗，若把每种糖果都随机地放到其中的三个格子，每个格子只放一颗糖果，那么每一列、每一行的糖果都是三种不同糖果的概率是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用组合数求出样本空间的样本点的个数，再求事件每一列、每一行的糖果都是三种不同糖果所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】若随意摆放，先从九个格子中任取三个格子放第一种糖果有种方法，
再从余下的六个格子中任取三个放第二种糖果有种方法，
再将第三种糖果放入余下的三个格子有种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有种方法，
第一列放3种不同的糖果有6种方法， 第二列相应的只有 2 种方法，
第三列相应的只有1种方法，
所以每行、每列的糖果种类各不相同的放法共种，
所以每行、每列的糖果种类各不相同的概率为.
故选 ：A.
39．（2023·全国·高三专题练习）某项活动安排了4个节目，每位观众都有6张相同的票，活动结束后将票全部投给喜欢的节目，一位观众最喜欢节目A，准备给该节目至少投3张，剩下的票则随机投给其余的节目，但必须要A节目的得票数是最多的，则4个节目获得该观众的票数情况有（    ）种.
A．150 B．72 C．20 D．17
【答案】D
【分析】对的得票分类讨论，分别求出投票方案数，再根据分类加法计数原理计算可得.
【详解】解：依题意，当得票，则只有种，
当得票，则有种，
当得票，剩下的票可能投给个节目或个节目，则有种，
当得票，剩下的票可能投给个节目或个节目，则有种，
综上可得一共有种情况.
故选：D
40．（2023·全国·模拟预测）某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（    ）
A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种
【答案】D
【分析】根据每天考试科目的数量进行分类讨论，由此求得不同的考试安排方法数.
【详解】若三天考试科目数量为，则安排方法数为：
.
若三天考试科目数量为，则安排方法数为：
，
若三天考试科目数量为，则安排方法数为：
，
所以不同的考试安排方案共有种.
故选：D
41．（2023·山东潍坊·统考一模）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（    ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
【答案】B
【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.
【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，
此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；
②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法，
此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；
③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法；
故选拔测试的安排方案有种.
故选：B.

二、填空题
42．（2023·河南焦作·统考模拟预测）现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为___________.
【答案】
【分析】分只有一个班分到名额、恰有两个班分到名额和三个班都分到了名额三种情况求出总的情况，然后利用古典概型求概率的方法求概率即可.
【详解】将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型：第一种是只有一个班分到名额，有3种情况；第二种是恰有两个班分到名额，有种情况；第三种是三个班都分到了名额，有种情况.故恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为.
故答案为：.
43．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．
【答案】
【分析】利用古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】由题意可得：在2名女性相航天员和2名男性航天员中选择2名航天员，共有种选法；
则选出的2名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的选法为种，
所以概率，
故答案为：.
44．（2023·河南·统考模拟预测）安排，，，，五名志愿者到甲，乙两个福利院做服务工作，每个福利院至少安排一名志愿者，则，被安排在不同的福利院的概率为______．
【答案】
【分析】分1人,4人和2人，3人两种情况安排到两个福利院，再分析在4人组，3人组，2人组三种情况得到在同一福利院的分法，利用对立事件的概率求解即可.
【详解】5人分配到2个福利院有1,4和3,2两种分组方法，共有种分法，
其中，被安排在同一组在同一福利院有种，
所以，被安排在不同的福利院的概率为.
故答案为：
45．（2023·湖南邵阳·统考二模）在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
【答案】36
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，
两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，
那么小明可以设置的不同密码共有．
故答案为：36.