新高考数学二轮复习培优讲义25 二项式定理（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优讲义25 二项式定理（含解析），共20页。
解密25 二项式定理
【考点解密】
知识点一　二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

知识点二　二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
【方法技巧】

二项式系数的性质
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值
增减性：当k时，二项式系数是逐渐减小的．
最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项
式系数
的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
2：一般地，若.
（1）；
（2）展开式各项系数和为；
（3）奇数项系数之和为；
（4）偶数项系数之和为.






【核心题型】
题型一：利用项的系数求参数
1．（2023·重庆·统考二模）已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据第项与第项的二项式系数相等列出等式，解出，再用赋值法即可得出结果.
【详解】解：因为，且第项与第项的二项式系数相等，
所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：.
故选：C
2．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（    ）
A． B．60 C．120 D．240
【答案】B
【分析】利用题意找出该组数据的上四分位数为，然后利用二项式展开式的公式找出常数项即可.
【详解】因为，
所以，
所以展开式的通项为：
，
令得：，
所以展开式的常数项为，
故选：B．
3．（2023·安徽宿州·统考一模）设，若，则（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据二项展开式分别求出的表达式，解方程即可求得结果.
【详解】由题可知，，所以；
同理可得；
由可得，即，
所以，即，
解得.
故选：D


题型二：赋值法在二项式定理的应用
4．（2023·江西赣州·统考一模）已知，则（    ）
A．40 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】设，根据二项式展开式可得、，即可求解.
【详解】设，
则，

，
所以，
所以.
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用组合数的性质可求得的值，再利用赋值法可求得和的值，作差可得出所求代数式的值.
【详解】因为，所以由组合数的性质得，
所以，
令，得，即.
令，得，
所以，
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）设，，则（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将 运用二项式定理按照 和 展开，求出各项的系数，并用赋值法求出 和 的值，令 ，逐项验证即可求解.
【详解】由二项式定理知：
，
，令 ，则有 ；
，
，令 ，则有 ；
故有 ，A正确；
令 ，则有 ，
分别代入B，C，D选项：
，B错误；
，C错误；
，D错误；
故选：A.


题型三：利用二项式定理证明整除问题
7．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，常数项为，则被8除的余数为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用二项式展开式的通项公式结合常数项，可求得a的值，将利用二项式定理展开，即变为，整理为即可求得答案.
【详解】由题意，，
的通项公式为，
令，不合题意；
的通项公式为，
令，则，所以的常数项为，
解得，
所以
，
则被8除的余数为4，
故选： B
8．（2022·全国·高三专题练习）设，且，若能被13整除，则（    ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D
【分析】转化为，利用二项式定理求解.
【详解】

因为能被13整除，所以能被13整除
因为，且，所以，
故选：D
9．（2022·全国·高三专题练习）除以78的余数是（    ）
A． B．1 C． D．87
【答案】B
【分析】根据二项式定理将已知合并得原式等于，再结合展开整理即可得答案.
【详解】因为
所以，除了第一项之外，其余每一项都含有的倍数，所以原式除以的余数为1.
故选:B．



题型四：不等式求系数的最值问题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
【答案】
【分析】利用赋值法，令，则的展开式各项系数之和为，即可求得n，确定二项展开式的系数最大项在奇数项，建立不等式求解即可.
【详解】令，则的展开式各项系数之和为，则；
由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，
设二项展开式中第项的系数最大，
则，化简可得：
经验证可得，
则该展开式中系数最大的项为.
故答案为: .
11．（2022·浙江·高三专题练习）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________．
【答案】
【分析】由第4项与第8项的二项式系数相等，得的值；通过赋值，得的值．经过化简，本题的系数与二项式系数相同，把系数的最值转化为二项式系数的最值求解．
【详解】解：因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，,所以展开式共11项，
令，得，，所以；
所以通项公式为；
,故当时，最大，所以最大项为．
故答案为：．
12．（2023·上海·高三专题练习）已知，若数列是个单调递增数列，则的最大值为_____
【答案】17
【分析】利用二项式定理展开项的通项得出数列的通项，由，解关于的不等式，即可得出结论.
【详解】因为，
所以,由，
得，即，
解得的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查二项式定理的展开式，考查数列的单调性问题，难度一般，二项式展开项的通项公式运用是关键.


题型五：多项式展开式问题
13．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式，则（    ）
A．－960 B．960 C．－480 D．480
【答案】A
【分析】将写为，是第8项的系数，计算即可.
【详解】解：因为，所以第8项为，
所以.
故选：A
14．（2021·全国·高三专题练习）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】将展开，利用题中信息可求得结果.
【详解】
，
所以，的展开式中各项的指数之和为，
展开式中各项系数乘以各项指数之和为，
因此，所求结果为.
故选：C.
【点睛】求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利用二项式定理来求解.
15．（2020·全国·高三专题练习）将多项式分解因式得，则（    ）
A．16 B．14 C． D．
【答案】C
【分析】将展开，观察 的系数，对应的展开相乘，相加得到答案.
【详解】解析：由题意，，，所以，
故选：C.


题型六：二项式定理的综合问题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）.（2）
【分析】（1）利用赋值法进行求解，令得，；令得，.从而可求结果.
（2）根据二项式系数与关系及组合数性质得到，然后累加可求的值.
【详解】（1）令得，；令得，.
于是.
（2），
首先考虑
，
则，
因此.
故

.
【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质，二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解，组合数的性质利用公式进行转化是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.
17．（2020·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（1）已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为，求的值.
（2）记，，
①求；
②设，求和：.
【答案】（1）；（2）①；②.
【分析】（1）根据的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，得到求解.
（2）①由题意可得，再令求解；②由题意知，根据，解得，结合组合数性质，然后求和即可.
【详解】（1）∵的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，
∴，即，解得.
（2）①由题意，
令，得；
②由题意，又，
∴，
∴
，
∴


.
【点睛】本题主要考查二项式系数，项的系数以及组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．（2020·江苏·统考模拟预测）已知数列满足，且，.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先由，得到，将所证明结论转化为，再由数学归纳法证明，即可得出结论；
（2）先由组合数的运算性质，得到，则，再由二项式定理，计算，即可得出结论成立.
【详解】（1）因为，即.
要证，只需证.
用数学归纳法证明：
当时，，命题成立；
假设当(，)时命题成立，即，
则当时，有，
由于，所以，显然有，
所以当时，命题也成立.
所以对任意，都有成立，即得证.
（2）因为，
所以，
因此



.
由（1）知，，所以，
即原命题得证.








【高考必刷】

一、单选题
19．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的常数项为（    ）
A．－20 B．30 C．－10 D．10
【答案】D
【分析】先将展开写为,写出的通项,求出及的系数,代入中即可.
【详解】解:因为
的展开式的通项公式为,
令,得;
令,得,
所以的展开式中的常数项为:
.
故选:D
20．（2023·全国·哈尔滨三中校联考一模）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.

我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；

若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（    ）
A． B．
C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为
【答案】A
【分析】确定，计算，得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案.
【详解】.
对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：当时，，错误；
对选项D：当时，，错误；
故选：A
21．（2023·全国·模拟预测）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将中含有的项都写成的形式，即可得解.
【详解】
，
所以，
所以.
故选：D.
22．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）的展开式中的系数为（    ）
A． B． C．64 D．160
【答案】C
【分析】在二项展开式的通项公式中令x的幂指数为3，求出r的值，即可求得的系数.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，则，故展开式中的系数为.
故选：C.
23．（2023·陕西安康·统考二模）已知，则的值为（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】记，对函数求导，根据题干给出的二项式系数的特征，利用赋值法即可求解.
【详解】记，
∴
则，∴，
∴，
∴，
故选：D．
24．（2023·上海静安·统考一模）在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（    ）
A．若，则二项展开式中系数最大的项是．
B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C．若，则二项展开式中的常数项是．
D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
【答案】D
【分析】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分和两种情况解不等式即可；C选项：令，解方程即可；D选项：令，解不等式即可.
【详解】A选项：令，解得，所以，所以A正确；
B选项：，整理可得，当时，不等式恒成立；当时，解得，所以，故B正确；
C选项：令，解得，所以常数项为，故C正确；
D选项：令，解得，所以可取，共11项，故D错.
故选：D.
25．（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（    ）
A．120 B．135 C．140 D．100
【答案】B
【分析】利用二项式定理得到的展开式通项公式，求出，，，进而与对应的系数相乘，求出展开式中的系数.
【详解】的展开式通项公式为，
其中，，，
故二项式中的四次方项为，
即展开式中的系数为.
故选：B
26．（2023·全国·高三专题练习）展开式中常数项为（    ）
A． B． C．1 D．481
【答案】C
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
【详解】解：根据二项式定理，表示个相乘，
所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：
①个中全部选项展开；
②个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开；
③个中有2个选择项，4个选择项展开.
所以，其常数项为：.
故选：C.
27．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的常数项是（    ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【分析】求出的通项公式，令和，求解对应常数项即可.
【详解】展开式的通项为，令，得，令，得，故展开式的常数项是.
故选：B．

二、多选题
28．（2023·山西晋中·统考二模），若，则下列结论正确的有（    ）
A． B．
C． D．的展开式中第1012项的系数最大
【答案】BC
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x项的系数，从而求解a，即可判断选项A，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B、C，利用展开式系数符合规律判断选项D
【详解】对于A，，可得，故A错误；
对于B，因为，
令，则，故B正确；
对于C，令，则，
令，则，故C正确；
对于D，由展开式知，，，故第1012项的系数，不会是展开式中系数最大的项，故D错误.
故选：BC
29．（2023·湖南·模拟预测）已知，则下列结论成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案.
【详解】，
展开式的通项为，
对选项A：令，可得，正确；
对选项B：，所以，正确；
对选项C：令，可得，错误；
对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．
故选：ABD
30．（2023·云南·统考模拟预测）在的展开式中，下列说法正确的是（    ）
A．不存在常数项 B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128
【答案】AC
【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.
【详解】因为展开式的通项公式为，
对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；
对B，二项式系数和为，故B错误；
对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；
对D，令，得所有项的系数和为，故D错误；
故选：AC.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对AB，根据二项式公式求解对应项的系数求解即可；对CD，利用赋值法分别求与和判断即可.
【详解】对A，为展开式中最高次项系数，只能由展开式的最高次项相乘，故为，即，故A正确；
对B，，故，故B错误；
对C，令，则，即，令，则，即.
故，故C正确；
对D，令，则，结合C，，故...①
又...②，①+②可得，故，，故，故D错误.
故选：AC

三、填空题
32．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为___________.
【答案】
【分析】求出展开式有几项，并写出的展开式的通项，即可得到展开式中的常数项.
【详解】由题意，
在中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，
∴，解得：，
因此的展开式的通项为：，
故的展开式中的常数项为.
故答案为：.
33．（2023·广东·校联考模拟预测）在展开式中，的系数是________．（用数字作答）
【答案】
【分析】根据题意可得，然后由的展开式通项即可得到结果.
【详解】因为，
且的展开式通项为，
所以的系数是与展开式中的项的乘积的和，
所以有，
故答案为:
34．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）若，则___________.
【答案】0
【分析】先令，求出，再令，得，进一步计算得出结果.
【详解】令，得.
令，得，
则.
故答案为：0.
35．（2023·福建泉州·统考三模）已知，且则____________．
【答案】0
【分析】利用二项式定理求特定项的系数即可.
【详解】由题意，可得，.
， .
故答案为：0.