北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定精品课后测评

2023年北师大版数学九年级上册

《矩形的性质与判定》同步练习

一              、选择题

1.矩形的对角线一定具有的性质是(　　)

A.互相垂直       B.互相垂直且相等      C.相等       D.互相垂直平分

2.如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处.若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为(　　)

A.15°      B.20°      C.25°      D.30°

3如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是(     )

A.△EBD是等腰三角形，EB＝ED

B.折叠后∠ABE和∠CBD一定相等

C.折叠后得到的图形是轴对称图形

D.△EBA和△EDC一定是全等三角形

4.下列三个命题中，是真命题的有(     )

①对角线相等的四边形是矩形；

②三个角是直角的四边形是矩形；

③有一个角是直角的平行四边形是矩形.

A.3个                         B.2个                        C.1个                           D.0个

5.如图，在矩形纸片ABCD中，将△BCD沿BD折叠，C点落在C′处，则图中共有全等三角形(  )

A.2对                            B.3对                          C.4对                       D.5对

6.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.根据图中数据，计算耕地的面积为(     )

A.600m2                                     B.551m2                          C.550m2                           D.500m2

7.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　)

A.对边相等      B.对角相等     C.对角线相等    D.对角线互相平分

8.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边中点D重合，若BC＝8，CD＝6，则CF长为(    )

A.1.5                       B.                          C.2                            D.1

9.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为(   )

A.5     B.      C.     D.﹣1

10.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　)

A.4≥x＞2.4      B.4≥x≥2.4    C.4＞x＞2.4     D.4＞x≥2.4

二              、填空题

11.如图所示，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明▱ABCD是矩形的有(填写序号)　　　　　　．

12.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．

13.如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为         ．

14.在矩形ABCD中，A(4，1)，B(0，1)，C(0，3)，则点D的坐标为        ．

15.如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝　   　．

16.如图，矩形△ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD中点，P为AB边上一动点(含端点)，F为CP中点，则△CEF的周长最小值为______．
 

三              、解答题

17.如图，AC是矩形ABCD的一条对角线．

(1)作AC的垂直平分线EF，分别交AB、DC于点E、F，垂足为O；(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)求证：OE＝OF

18.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF，

(1)求证：AE＝CF；

(2)若AB＝3，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．

19.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．

(1)求证：四边形ABCD是矩形．

(2)若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？

20.如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．

21.如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．

(1)求证：BF＝CF；

(2)若AB＝2，AD＝4，且∠AFC＝2∠D，求平行四边形ABCD的面积．

22.如图，四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD相交于O，点E，F分别为BD上两点，且BE＝DF，∠AEF＝∠CFB.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若AC＝2OE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

23.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF，

(1)求证：四边形ABCD为矩形；

(2)过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4，求CG．

答案

1.C.

2.B.

3.B

4.B.

5.C

6.B.

7.C.

8.B.

9.D

10.C.

11.答案为：①④.

12.答案为：75°.

13.答案为：3．

14.答案为：(4，3)．

15答案为：．

16.答案为：＋1.

17.解：(1)如图，EF为所作；

(2)证明：∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∵四边形ABCD为矩形，

∴OB＝OD，AB∥CD，

∴∠E＝∠F，

在△BOE和△DOF中

∴△BOE≌△DOF(AAS)，

∴OE＝OF．

18.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，

∵BE＝DF，

∴OE＝OF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF(SAS)，

∴AE＝CF；

(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝∠COD＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA＝AB＝3，

∴AC＝2OA＝6，

在Rt△ABC中，BC＝3，

∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝3×3＝9．

19.证明：(1)∵AO＝CO，BO＝DO

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠ADC，

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形；

(2)解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，

∴∠FDC＝36°，

∵DF⊥AC，

∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OC＝OD，

∴∠ODC＝54°

∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．

20.证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，

∴BD⊥AC，AD＝CD．

∵四边形ABED是平行四边形，

∴BE∥AD，BE＝AD，

∴BE＝CD，

∴四边形BECD是平行四边形．

∵BD⊥AC，

∴∠BDC＝90°，

∴▱BECD是矩形．

21.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，BC＝AD，

∵CE＝DC，

∴AB＝EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴BF＝CF；

(2)解：∵由(1)知，四边形ABEC是平行四边形，

∴FA＝FE，FB＝FC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D．

又∵∠AFC＝2∠D，

∴∠AFC＝2∠ABC．

∵∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，

∴∠ABC＝∠BAF，

∴FA＝FB，

∴FA＝FE＝FB＝FC，

∴AE＝BC，

∴四边形ABEC是矩形，

∴∠BAC＝90°，

∵BC＝AD＝4，

∴AC＝2，

∴平行四边形ABCD的面积＝AB•AC＝2×2＝4．

22.证明：(1)∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，

又∵∠AEF＝∠CFB，

∴∠AEB＝∠CFD，

又∵BE＝DF，

∴△ABE≌△CDF(ASA)，

∴AB＝CD，

又∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD OA＝OC＝AC

∵BE＝DF

∴OB﹣BE＝DO﹣DF

∴OE＝OF

又∵OA＝OC

∴四边形AECF是平行四边形

又∵AC＝2OE，EF＝2OE

∴AC＝EF

∴平行四边形AECF是矩形.

23.证明：(1)∵F为BE中点，AF＝BF，

∴AF＝BF＝EF，

∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF，

在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°，

∴∠BAF＋∠FAE＝90°，

又四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD为矩形.

(2)解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，

∵F为BE的中点，FG⊥BE，

∴BG＝GE，

∵S△BFG＝5，CD＝4，

∴S△BGE＝10＝0.5BGEH，

∴BG＝GE＝5，

在Rt△EGH中，GH＝3，

在Rt△BEH中，BE＝4＝BC，

∴CG＝BC﹣BG＝4﹣5．