江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期数学 第一次（月考）月测试卷

江苏省南京市九年级数学第一学期第一次月测试卷（解答卷）

           （苏科版九年级上册：第一章、第二章）

一、选择题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1．已知是一元二次方程的一个根，则a的值为（   ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（   ）

A．50° B．80° C．100° D．130°

【答案】D

3．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

4．如图，是的直径，弦交于点，连接．

若，则的度数是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

5．下列一元二次方程，没有实数根的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

6．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

7.关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）

A．k＜   B．k＞     C．k＜且k≠0    D．k＞且k≠0    

【答案】C

8.如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，

P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（   ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

二、填空题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

9．关于x的一元二次方程的其中一个根是0，则     ．

【答案】

10．如图，在⊙O中，∠BOC=54°，则∠BAC的度数为 ______

【答案】27° 

11．的根为            ．

【答案】，

12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 _____    .

【答案】2

13．已知当时，的值为3，则当时，的值为_______

【答案】6

14．如图，四边形是⊙O的内接四边形，若，则    ．

【答案】60°

15.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，

商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，

如果每天要盈利800元，每件应降价________元．

【答案】10

16, 如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，

点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是___________ ．

【答案】

三、解答题：（本大题共10小题，共102分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

17．解方程：

（1）x2＋4x－2＝0；    

（2）3y（y－1）＝2（y－1）．

解：（1）x2+4x＝2

x2+4x+4＝6

（x+2）2＝6

x+2＝±，

所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；

（2）3y（y﹣1）﹣2（y﹣1）＝0，

（y﹣1）（3y﹣2）＝0，

y﹣1＝0或3y﹣2＝0，

所以y1＝1，y2＝．

18．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，，求的度数．

解：∵∠DCB＝30°，

∴∠A＝30°，

∵AB为⊙O直径，

∴∠ADB＝90°，

在Rt△ABD中，

∠ABD＝90°﹣30°＝60°．

19已知关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，

求m的值及方程的另一个根．

解：设方程的另一根为x2，

∵关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，

∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0，

∴（﹣1）2﹣6×（﹣1）＋m2﹣3m﹣5＝0，即m2﹣3m＋2＝0，

∴（m﹣1）（m﹣2）＝0，

解得，m＝1或m＝2；

又由韦达定理知﹣1＋x2＝6，

解得，x2＝7．即方程的另一根是7．

20 .如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．

求证：∠A=∠AEB．

证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠BCD=180°，

∵∠BCD+∠DCE=180°，

∴∠A=∠DCE，

∵DC=DE

∴∠E=∠DCE，

∴∠A=∠AEB．

21．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，

求此时m的值．

解：（1）△=（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）

=4k2﹣12k+9﹣4k2+4

=﹣12k+13，

∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，∴﹣12k+13＞0，

解得：k＜，又k﹣1≠0，∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；

（2）∵k是符合条件的最大整数，∴k=0，

x2﹣4x=0，

解得：x=0或4，

①当x=0时，x2+mx﹣1=0无意义；

②当x=4时，42+4m﹣1=0，解得：m=．

22.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，

过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．

（1）求证：EF是⊙O的切线．

（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长．

解：（1）连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴AD∥OC，

∵∠AEC＝90°，

∴∠OCF＝∠AEC＝90°，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠CAO＝30°，BC＝2，

∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，

∴OB＝AB＝2，

∴的长为：＝．

23.一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，

如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元，

(1)    则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；

(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？

(3)求其最大利润.

解：（1）每件服装降价x元，则每天销售量增加件，每件服装盈利元；

（2）依题意得：，

解得：，．

又∵需要让利于顾客，

∴．

答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且平均每天能赢利1200元．

24 .如图，在中，弦弦，于点，且，，

连结，，．

求证：．

若，求的长．

证明：∵，

∴，即，

∴，

∵、所对的圆周角分别为，，

∴，

∴；

解：∵，

∴，

∴．

∵，

∴的长．

25.一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，

如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元，

(2)    则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；

(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？

(3)求其最大利润.

解：（1）每件服装降价x元，则每天销售量增加件，每件服装盈利元；

（2）依题意得：，

解得：，．

又∵需要让利于顾客，

∴．

答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且平均每天能赢利1200元．

26.如图，已知是的外接圆，是的直径，是的延长线上的点，

弦交于点．，．

（1）求证：；

（2）求证：是的切线；

（3）若，，求的半径．

证明：（1）如图所示，连接，

则，

∵．

在和中，

∴（SAS），

∴，

（2）由（1）得，

又，

∵，

∴，

．

∵

即，

是的切线

解：（3），，

垂直平分，

∴．

又，

，

为等边三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

即的半径为．