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2023-2024学年江苏省南京市栖霞区伯乐中学九年级（上）期初数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省南京市栖霞区伯乐中学九年级（上）期初数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省南京市栖霞区伯乐中学九年级第一学期期初数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．以下调查中，最适合采用普查的是（ ）
A．了解全市中学生的睡眠时间
B．了解某班同学的身高情况
C．了解一批灯泡的使用寿命
D．了解长江的水质情况
2．当x＝1时，下列分式无意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是矩形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
4．无理数在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
6．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．今年我市有5万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是 ．
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．一个不透明的口袋中装有1个红球，2个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最小．
10．计算：的结果是 ．
11．若反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的值可以是 .（写出一个满足条件的即可）
12．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE．若AD∥BC，则∠BDE的度数为 °．
14．已知反比例函数的图象经过点（3，﹣1），若x＜﹣2，则y的取值范围为 ．
15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．
16．若关于x的方程＝3无解，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共68分）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．解分式方程：﹣＝1．
19．目前，我国的空气质量得到了大幅度的提高．现随机调查了某城市1个月的空气质量情况，并将监测的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查中，一共调查的天数为 天．
（2）将条形图补充完整；
（3）估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量达到优的天数．
20．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下的统计表：
摸球的次数n
40
50
60
70
80
90
100
200
摸到白球的频数
22
26
30
36
40
46
50
100
摸到白球的频率
0.55
0.52
0.50
0.51
0.50
0.51
0.50
0.50
（1）请估计：当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （结果精确到0.01）；
（2）估算盒子里有白球 个；
（3）若要使摸到白球的概率为0.6，求需往盒子里再放入多少个白球？
21．如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
22．如图，在▱ABCD中，利用直尺和圆规在边AD上作点P，使点P分别满足以下要求（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）在图①中作出点P，使得BP＝CP；
（2）在图②中作出点P，使得BP＝AP+BC．
23．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）求V与t的函数表达式；
（2）若每小时排水量不超过2000m3，则排完水池中的水至少需要 h；
（3）由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
24．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝ 时，有最小值 ；
（2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
25．如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP＝CD，∠PCD为锐角，连接PB，PD．
（1）如图①，若PD＝PC，求∠BPD的度数；
（2）如图②，作CE平分∠PCD交PB于E．
①∠BEC的度数是 °；
②探究PD，BE，CE之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．以下调查中，最适合采用普查的是（ ）
A．了解全市中学生的睡眠时间
B．了解某班同学的身高情况
C．了解一批灯泡的使用寿命
D．了解长江的水质情况
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A．了解全市中学生的睡眠时间，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
B．了解某班同学的身高情况，适合普查，故本选项符合题意；
C．了解一批灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
D．了解长江的水质情况，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．当x＝1时，下列分式无意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
解：A、当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
B，当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
C、当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，符合题意；
D、当x＝1时，x+1≠0，分式有意义，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是矩形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵AC⊥BD，∴AB2＝BO2+AO2，AD2＝DO2+AO2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
4．无理数在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】由＜＜可以得到答案．
解：∵3＜＜4，
∴无理数在3和4之间．
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．
5．已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由x1＜0＜x2，可判断y1＞0＞y2，进而得出答案．
解：∵反比例函数的图象在二、四象限，而x1＜0＜x2，
∴点A（x1，y1）在第二象限反比例函数的图象上，B（x2，y2） 在第四象限反比例函数的图象上，
∴y1＞0＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
6．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．
解：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EFC＝∠AEF，
由折叠得，∠EFC＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF＝5，
由折叠得，
FC＝AF，OA＝OC，
∴BC＝3+5＝8，
在Rt△ABF中，AB＝＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴OA＝OC＝2，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形，求出线段的长是得出答案的前提．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．今年我市有5万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是 1000 ．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：今年我市有5万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是1000．
故答案为：1000．
【点评】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解样本容量的定义是正确判断的关键．
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
解：若在实数范围内有意义，
则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
9．一个不透明的口袋中装有1个红球，2个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 红 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最小．
【分析】分别求出摸到红球、摸到黄球、摸到白球的可能性大小，再比较即可确定摸到什么颜色球的可能性最小．
解：摸到红球的可能性为：，
摸到黄球的可能性为：，
摸到白球的可能性为：，
∵，
∴摸到红球的可能性最小，
故答案为：红．
【点评】本题考查可能性大小，理解可能性大小的意义是解题的关键．
10．计算：的结果是 ．
【分析】先化简二次根式，再利用二次根式的加减法则计算即可．
解：原式＝2﹣＝．
故答案为：．
【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握计算公式和计算方法是解决问题的关键．
11．若反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的值可以是 1（答案不唯一） .（写出一个满足条件的即可）
【分析】先根据反比例函数的增减性得出k﹣2＜0，进而可得出结论．
解：∵反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
∴k可以等于1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质和图象，先根据题意求出k的取值范围是解题的关键．
12．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 （2，﹣1） ．
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
解：方法一：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，
∴▱ABCD的A点和C点关于点O中心对称，
∵A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
方法二：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点A和C关于对角线的交点O对称，
又∵O为原点，
∴点A和C关于原点对称，
∵点A（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的性质解答．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE．若AD∥BC，则∠BDE的度数为 15 °．
【分析】根据旋转的性质得出∠ADE＝∠ABC＝50°，AB＝AD，再根据平行线的性质得出∠ABC＝∠DAB＝50°，再由三角形内角和定理即可求解．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝∠DAB＝50°，
∴∠ADB＝＝65°，
∴∠BDE＝∠BDA﹣∠ADE＝65°﹣50°＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．已知反比例函数的图象经过点（3，﹣1），若x＜﹣2，则y的取值范围为 0＜y＜ ．
【分析】依据题意先求出k，再根据若x＜﹣2，即可判断可以得解．
解：由题意，∵y＝的图象经过点（3，﹣1），
∴k＝3×（﹣1）＝﹣3．
∴函数解析式y＝﹣．
∴当x＝﹣2时，y＝．
又x＜﹣2，
∴0＜y＜．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．
15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，
∴CD＝2，BC＝3，
∴BF＝BC+CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，
∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝3，
∴CG＝CH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．若关于x的方程＝3无解，则m的值为 1或3 ．
【分析】先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解．
解：分式方程去分母得：mx﹣1＝3x﹣3，
解得x＝，
∵该方程无解，
∴x＝是增根或m﹣3＝0，
∵x＝1是该方程的增根，
∴＝1，
∴m＝1或3．
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．
三、解答题（本大题共9小题，共68分）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）利用乘法公式计算即可；
（2）先计算括号，再计算乘除．
解：（1）原式＝（）2﹣22+5﹣4+4
＝10﹣4；
（2）原式＝×
＝×
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分式的混合运算等知识，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式．
18．解分式方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：方程﹣＝1，
去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．目前，我国的空气质量得到了大幅度的提高．现随机调查了某城市1个月的空气质量情况，并将监测的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查中，一共调查的天数为 30 天．
（2）将条形图补充完整；
（3）估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量达到优的天数．
【分析】（1）用“良”的天数除以其所占百分比可得总天数；
（2）总天数减去良和轻度污染的天数求得优的天数，据此补全图形即可得；
（3）用365天乘以空气质量未达到优的天数所占的百分比即可得出答案．
解：（1）调查的总天数为：15÷50%＝30（天），
故答案为：30；
（2）空气质量为“优”的天数为：30﹣15﹣3＝12（天），
补全图形如下：
（3）根据题意得：
×365＝146（天），
答：估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量达到优的天数为146天．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下的统计表：
摸球的次数n
40
50
60
70
80
90
100
200
摸到白球的频数
22
26
30
36
40
46
50
100
摸到白球的频率
0.55
0.52
0.50
0.51
0.50
0.51
0.50
0.50
（1）请估计：当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 0.51 （结果精确到0.01）；
（2）估算盒子里有白球 20 个；
（3）若要使摸到白球的概率为0.6，求需往盒子里再放入多少个白球？
【分析】（1）由表格信息计算出摸到白球频率的平均值，即可得到当n很大时，摸到白球的概率；
（2）根据摸到白球的频率为0.51，黑、白两种球共40个，即可求出答案；
（3）根设需往盒子里再放入x个白球，根据摸到白球的频率为0.6，黑、白两种球共40个，即可求出答案．
解：（1）∵摸到白球的频率为0.51，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.51．
故答案为：0.51；
（2）∵摸到白球的频率为0.51，黑、白两种球共40个，
∴估算盒子里有白球40×0.51≈20（个）．
故答案为：20；
（3）设需往盒子里再放入x个白球，
根据题意得＝0.6，
解得x＝4，
答：需往盒子里再放入4个白球．
【点评】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
21．如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质，可得BD⊥AC，OA＝OB＝OC＝OD，根据AE＝CF，可得OE＝OF，即可得证；
（2）根据已知条件，可得OE＝2，OB＝4，根据勾股定理可得BE的值，即可求出菱形BDEF的周长．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，如图所示：
在正方形ABCD中，AC⊥BD，且OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵OD＝OB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵AC＝8，
∴OA＝OB＝4，
∵AE＝2，
∴OE＝4﹣2＝2，
在△EOB中，根据勾股定理，得BE＝，
∵四边形BEDF是菱形，
∴四边形BEDF的周长为×4＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，涉及菱形的判定，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
22．如图，在▱ABCD中，利用直尺和圆规在边AD上作点P，使点P分别满足以下要求（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）在图①中作出点P，使得BP＝CP；
（2）在图②中作出点P，使得BP＝AP+BC．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AD于点P即可；
（2）延长DA到E，使得AE＝AD，连接BE，作线段BE的垂直平分线交AD于点P，连接BP即可．
解：（1）如图①，点P即为所求；
（2）如图②，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
23．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）求V与t的函数表达式；
（2）若每小时排水量不超过2000m3，则排完水池中的水至少需要 t≥9 h；
（3）由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，把V＝2000代入V＝，得t＝9，由V随t的增大而减小，即可求出t的范围；
（2）设原计划每小时的排水量为xm3，则实际每小时的排水量为（1+25%）xm3，根据题意列方程即可求出答案．
解：（1）根据题意得每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间成反比例函数关系，
设函数表达式为V＝，把（6，3000）代入V＝，
得3000＝．
解得：k＝18000，所以V与t之间的函数表达式为：V＝；
把V＝2000代入V＝，得t＝9，
∵V随t的增大而减小，
∴每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间t（h）满足的条件是t≥9．
故答案为：t≥9；
（2）设原计划每小时的排水量为xm3，则实际每小时的排水量为（1+25%）xm3，
﹣＝2，
解得x＝1800，
经检验得：x＝1800是原方程的根，
答：原计划每小时的排水量是1800m3．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键．
24．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝ 2 时，有最小值 4 ；
（2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
【分析】（1）根据阅材料可得，当时，取得最大值，据此即可求解；
（2）连接PQ，设，根据四边形AQBP的面积＝△AQP的面积+△QBP的面积，从而利用x表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解．
解：（1）根据题意得当时，m＝2，此时．
故答案为：2，4；
（2）连接PQ，
∵点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上的点，
∴k＝﹣4×（﹣5）＝20，即，
设，
∴
＝．
∴四边形AQBP的面积最小值为40．
【点评】本题考查了反比例函数的性质以及不等式的性质，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键．
25．如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP＝CD，∠PCD为锐角，连接PB，PD．
（1）如图①，若PD＝PC，求∠BPD的度数；
（2）如图②，作CE平分∠PCD交PB于E．
①∠BEC的度数是 45 °；
②探究PD，BE，CE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意可证△PCD是等边三角形，可得∠PCD＝60°＝∠DPC，由正方形的性质可得BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，由等腰三角形的性质可求解；
（2）①由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得∠BPC＝45°﹣，∠PCE＝，由外角的性质可求解；
②如图2，连接DE，过点C作CF⊥CE交BP于点F，由“SAS”可证△BCF≌△DCE，△DCE≌△PCE，可得BF＝DE，∠BFC＝∠DEC＝135°，DE＝EP，由线段的和差关系可求解．
解：（1）∵CP＝CD＝PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°＝∠DPC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，
∴∠BCP＝150°，
∴∠CPB＝15°，
∴∠BPD＝45°；
（2）①设∠DCP＝x，
∴∠BCP＝90°+x，
∵BC＝CD＝CP，
∴∠BPC＝＝45°﹣，
∵CE平分∠DCP，
∴∠PCE＝，
∴∠CEB＝∠BPC+∠PCE＝45°；
故答案为：45；
②BE﹣DP＝CE，理由如下：
如图，连接DE，过点C作CF⊥CE交BP于点F，
∴∠FCE＝∠BCD＝90°，
∴∠BCF＝∠DCE，∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴CE＝CF，EF＝CE，
又∵BC＝CD，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE，∠BFC＝∠DEC＝135°，
∴∠DEF＝90°，BE﹣BF＝EF＝CE，
∴BE﹣DE＝CE，
∵DC＝CP，∠DCE＝∠PCE，CE＝CE，
∴△DCE≌△PCE（SAS），
∴DE＝EP，
∴DP＝DE，
∴DE＝DP，
∴BE﹣DP＝CE．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2023-2024学年江苏省南京市栖霞区伯乐中学九年级第一学期期初数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．以下调查中，最适合采用普查的是（ ）
A．了解全市中学生的睡眠时间
B．了解某班同学的身高情况
C．了解一批灯泡的使用寿命
D．了解长江的水质情况
2．当x＝1时，下列分式无意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是矩形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
4．无理数在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
6．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．今年我市有5万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是 ．
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．一个不透明的口袋中装有1个红球，2个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最小．
10．计算：的结果是 ．
11．若反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的值可以是 .（写出一个满足条件的即可）
12．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE．若AD∥BC，则∠BDE的度数为 °．
14．已知反比例函数的图象经过点（3，﹣1），若x＜﹣2，则y的取值范围为 ．
15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．
16．若关于x的方程＝3无解，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共68分）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．解分式方程：﹣＝1．
19．目前，我国的空气质量得到了大幅度的提高．现随机调查了某城市1个月的空气质量情况，并将监测的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查中，一共调查的天数为 天．
（2）将条形图补充完整；
（3）估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量达到优的天数．
20．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下的统计表：
摸球的次数n
40
50
60
70
80
90
100
200
摸到白球的频数
22
26
30
36
40
46
50
100
摸到白球的频率
0.55
0.52
0.50
0.51
0.50
0.51
0.50
0.50
（1）请估计：当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （结果精确到0.01）；
（2）估算盒子里有白球 个；
（3）若要使摸到白球的概率为0.6，求需往盒子里再放入多少个白球？
21．如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
22．如图，在▱ABCD中，利用直尺和圆规在边AD上作点P，使点P分别满足以下要求（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）在图①中作出点P，使得BP＝CP；
（2）在图②中作出点P，使得BP＝AP+BC．
23．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）求V与t的函数表达式；
（2）若每小时排水量不超过2000m3，则排完水池中的水至少需要 h；
（3）由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
24．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝ 时，有最小值 ；
（2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
25．如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP＝CD，∠PCD为锐角，连接PB，PD．
（1）如图①，若PD＝PC，求∠BPD的度数；
（2）如图②，作CE平分∠PCD交PB于E．
①∠BEC的度数是 °；
②探究PD，BE，CE之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．以下调查中，最适合采用普查的是（ ）
A．了解全市中学生的睡眠时间
B．了解某班同学的身高情况
C．了解一批灯泡的使用寿命
D．了解长江的水质情况
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A．了解全市中学生的睡眠时间，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
B．了解某班同学的身高情况，适合普查，故本选项符合题意；
C．了解一批灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
D．了解长江的水质情况，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．当x＝1时，下列分式无意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
解：A、当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
B，当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
C、当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，符合题意；
D、当x＝1时，x+1≠0，分式有意义，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是矩形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵AC⊥BD，∴AB2＝BO2+AO2，AD2＝DO2+AO2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
4．无理数在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】由＜＜可以得到答案．
解：∵3＜＜4，
∴无理数在3和4之间．
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．
5．已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由x1＜0＜x2，可判断y1＞0＞y2，进而得出答案．
解：∵反比例函数的图象在二、四象限，而x1＜0＜x2，
∴点A（x1，y1）在第二象限反比例函数的图象上，B（x2，y2） 在第四象限反比例函数的图象上，
∴y1＞0＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
6．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．
解：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EFC＝∠AEF，
由折叠得，∠EFC＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF＝5，
由折叠得，
FC＝AF，OA＝OC，
∴BC＝3+5＝8，
在Rt△ABF中，AB＝＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴OA＝OC＝2，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形，求出线段的长是得出答案的前提．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．今年我市有5万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是 1000 ．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：今年我市有5万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是1000．
故答案为：1000．
【点评】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解样本容量的定义是正确判断的关键．
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
解：若在实数范围内有意义，
则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
9．一个不透明的口袋中装有1个红球，2个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 红 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最小．
【分析】分别求出摸到红球、摸到黄球、摸到白球的可能性大小，再比较即可确定摸到什么颜色球的可能性最小．
解：摸到红球的可能性为：，
摸到黄球的可能性为：，
摸到白球的可能性为：，
∵，
∴摸到红球的可能性最小，
故答案为：红．
【点评】本题考查可能性大小，理解可能性大小的意义是解题的关键．
10．计算：的结果是 ．
【分析】先化简二次根式，再利用二次根式的加减法则计算即可．
解：原式＝2﹣＝．
故答案为：．
【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握计算公式和计算方法是解决问题的关键．
11．若反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的值可以是 1（答案不唯一） .（写出一个满足条件的即可）
【分析】先根据反比例函数的增减性得出k﹣2＜0，进而可得出结论．
解：∵反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
∴k可以等于1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质和图象，先根据题意求出k的取值范围是解题的关键．
12．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 （2，﹣1） ．
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
解：方法一：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，
∴▱ABCD的A点和C点关于点O中心对称，
∵A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
方法二：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点A和C关于对角线的交点O对称，
又∵O为原点，
∴点A和C关于原点对称，
∵点A（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的性质解答．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE．若AD∥BC，则∠BDE的度数为 15 °．
【分析】根据旋转的性质得出∠ADE＝∠ABC＝50°，AB＝AD，再根据平行线的性质得出∠ABC＝∠DAB＝50°，再由三角形内角和定理即可求解．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝∠DAB＝50°，
∴∠ADB＝＝65°，
∴∠BDE＝∠BDA﹣∠ADE＝65°﹣50°＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．已知反比例函数的图象经过点（3，﹣1），若x＜﹣2，则y的取值范围为 0＜y＜ ．
【分析】依据题意先求出k，再根据若x＜﹣2，即可判断可以得解．
解：由题意，∵y＝的图象经过点（3，﹣1），
∴k＝3×（﹣1）＝﹣3．
∴函数解析式y＝﹣．
∴当x＝﹣2时，y＝．
又x＜﹣2，
∴0＜y＜．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．
15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，
∴CD＝2，BC＝3，
∴BF＝BC+CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，
∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝3，
∴CG＝CH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．若关于x的方程＝3无解，则m的值为 1或3 ．
【分析】先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解．
解：分式方程去分母得：mx﹣1＝3x﹣3，
解得x＝，
∵该方程无解，
∴x＝是增根或m﹣3＝0，
∵x＝1是该方程的增根，
∴＝1，
∴m＝1或3．
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．
三、解答题（本大题共9小题，共68分）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）利用乘法公式计算即可；
（2）先计算括号，再计算乘除．
解：（1）原式＝（）2﹣22+5﹣4+4
＝10﹣4；
（2）原式＝×
＝×
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分式的混合运算等知识，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式．
18．解分式方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：方程﹣＝1，
去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．目前，我国的空气质量得到了大幅度的提高．现随机调查了某城市1个月的空气质量情况，并将监测的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查中，一共调查的天数为 30 天．
（2）将条形图补充完整；
（3）估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量达到优的天数．
【分析】（1）用“良”的天数除以其所占百分比可得总天数；
（2）总天数减去良和轻度污染的天数求得优的天数，据此补全图形即可得；
（3）用365天乘以空气质量未达到优的天数所占的百分比即可得出答案．
解：（1）调查的总天数为：15÷50%＝30（天），
故答案为：30；
（2）空气质量为“优”的天数为：30﹣15﹣3＝12（天），
补全图形如下：
（3）根据题意得：
×365＝146（天），
答：估计该城市一年（以365天计算）中，空气质量达到优的天数为146天．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下的统计表：
摸球的次数n
40
50
60
70
80
90
100
200
摸到白球的频数
22
26
30
36
40
46
50
100
摸到白球的频率
0.55
0.52
0.50
0.51
0.50
0.51
0.50
0.50
（1）请估计：当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 0.51 （结果精确到0.01）；
（2）估算盒子里有白球 20 个；
（3）若要使摸到白球的概率为0.6，求需往盒子里再放入多少个白球？
【分析】（1）由表格信息计算出摸到白球频率的平均值，即可得到当n很大时，摸到白球的概率；
（2）根据摸到白球的频率为0.51，黑、白两种球共40个，即可求出答案；
（3）根设需往盒子里再放入x个白球，根据摸到白球的频率为0.6，黑、白两种球共40个，即可求出答案．
解：（1）∵摸到白球的频率为0.51，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.51．
故答案为：0.51；
（2）∵摸到白球的频率为0.51，黑、白两种球共40个，
∴估算盒子里有白球40×0.51≈20（个）．
故答案为：20；
（3）设需往盒子里再放入x个白球，
根据题意得＝0.6，
解得x＝4，
答：需往盒子里再放入4个白球．
【点评】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
21．如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质，可得BD⊥AC，OA＝OB＝OC＝OD，根据AE＝CF，可得OE＝OF，即可得证；
（2）根据已知条件，可得OE＝2，OB＝4，根据勾股定理可得BE的值，即可求出菱形BDEF的周长．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，如图所示：
在正方形ABCD中，AC⊥BD，且OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵OD＝OB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵AC＝8，
∴OA＝OB＝4，
∵AE＝2，
∴OE＝4﹣2＝2，
在△EOB中，根据勾股定理，得BE＝，
∵四边形BEDF是菱形，
∴四边形BEDF的周长为×4＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，涉及菱形的判定，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
22．如图，在▱ABCD中，利用直尺和圆规在边AD上作点P，使点P分别满足以下要求（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）在图①中作出点P，使得BP＝CP；
（2）在图②中作出点P，使得BP＝AP+BC．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AD于点P即可；
（2）延长DA到E，使得AE＝AD，连接BE，作线段BE的垂直平分线交AD于点P，连接BP即可．
解：（1）如图①，点P即为所求；
（2）如图②，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
23．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）求V与t的函数表达式；
（2）若每小时排水量不超过2000m3，则排完水池中的水至少需要 t≥9 h；
（3）由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，把V＝2000代入V＝，得t＝9，由V随t的增大而减小，即可求出t的范围；
（2）设原计划每小时的排水量为xm3，则实际每小时的排水量为（1+25%）xm3，根据题意列方程即可求出答案．
解：（1）根据题意得每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间成反比例函数关系，
设函数表达式为V＝，把（6，3000）代入V＝，
得3000＝．
解得：k＝18000，所以V与t之间的函数表达式为：V＝；
把V＝2000代入V＝，得t＝9，
∵V随t的增大而减小，
∴每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间t（h）满足的条件是t≥9．
故答案为：t≥9；
（2）设原计划每小时的排水量为xm3，则实际每小时的排水量为（1+25%）xm3，
﹣＝2，
解得x＝1800，
经检验得：x＝1800是原方程的根，
答：原计划每小时的排水量是1800m3．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键．
24．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝ 2 时，有最小值 4 ；
（2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
【分析】（1）根据阅材料可得，当时，取得最大值，据此即可求解；
（2）连接PQ，设，根据四边形AQBP的面积＝△AQP的面积+△QBP的面积，从而利用x表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解．
解：（1）根据题意得当时，m＝2，此时．
故答案为：2，4；
（2）连接PQ，
∵点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上的点，
∴k＝﹣4×（﹣5）＝20，即，
设，
∴
＝．
∴四边形AQBP的面积最小值为40．
【点评】本题考查了反比例函数的性质以及不等式的性质，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键．
25．如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP＝CD，∠PCD为锐角，连接PB，PD．
（1）如图①，若PD＝PC，求∠BPD的度数；
（2）如图②，作CE平分∠PCD交PB于E．
①∠BEC的度数是 45 °；
②探究PD，BE，CE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意可证△PCD是等边三角形，可得∠PCD＝60°＝∠DPC，由正方形的性质可得BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，由等腰三角形的性质可求解；
（2）①由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得∠BPC＝45°﹣，∠PCE＝，由外角的性质可求解；
②如图2，连接DE，过点C作CF⊥CE交BP于点F，由“SAS”可证△BCF≌△DCE，△DCE≌△PCE，可得BF＝DE，∠BFC＝∠DEC＝135°，DE＝EP，由线段的和差关系可求解．
解：（1）∵CP＝CD＝PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°＝∠DPC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，
∴∠BCP＝150°，
∴∠CPB＝15°，
∴∠BPD＝45°；
（2）①设∠DCP＝x，
∴∠BCP＝90°+x，
∵BC＝CD＝CP，
∴∠BPC＝＝45°﹣，
∵CE平分∠DCP，
∴∠PCE＝，
∴∠CEB＝∠BPC+∠PCE＝45°；
故答案为：45；
②BE﹣DP＝CE，理由如下：
如图，连接DE，过点C作CF⊥CE交BP于点F，
∴∠FCE＝∠BCD＝90°，
∴∠BCF＝∠DCE，∠CEF＝∠CFE＝45°，
∴CE＝CF，EF＝CE，
又∵BC＝CD，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE，∠BFC＝∠DEC＝135°，
∴∠DEF＝90°，BE﹣BF＝EF＝CE，
∴BE﹣DE＝CE，
∵DC＝CP，∠DCE＝∠PCE，CE＝CE，
∴△DCE≌△PCE（SAS），
∴DE＝EP，
∴DP＝DE，
∴DE＝DP，
∴BE﹣DP＝CE．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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