高考数学一轮复习基础知识复习课件第17讲复数（含解析）

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1.复数的定义及相关概念(1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位, a叫作复数的实部, b叫作复数的虚部.(2)复数的分类:已知复数z=a+bi(a,b∈R),①当b=0时,复数z为实数;②当b≠0时,复数z为虚数;③当 时,复数z为纯虚数.
(4)共轭复数:当两个复数实部相同,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数,即z=a+bi的共轭复数 =a-bi.(5)两个复数相等:若两个复数的实部和虚部分别对应相等,则称这两个复数相等,即a+bi=c+di⇔ .
2.复数的几何意义及其应用复平面:我们知道实数与数轴上的点一一对应,推广到复数,每一个复数a+bi(a,b∈R)都与平面直角坐标系上的点(a,b)一一对应,将这个平面称为复平面.点的横坐标代表复数的实部,纵坐标代表复数的虚部,横轴称为实轴,纵轴称为虚轴.
复数的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应 平面向量 .
3.复数代数形式的四则运算设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)(1)加法:z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;注:乘法运算可以把i理解为字母,进行分配律的运算.
注:除法不要死记公式而要理解方法:由于复数的标准形式为z=a+bi(a,b∈R),所以不允许分母带有i,那么利用平方差公式及i2=-1的特点,分子分母同时乘以z2的共轭复数即可.
复数的概念◆角度1.复数的分类例1(1)(2020浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=(　　)A.1B.-1C.2D.-2(2)(2020嘉兴高二期末)已知a∈R,复数z=a2-2a+(a2-1)i(i是虚数单位),则“a=0”是“z为纯虚数”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 (1)C　(2)A　
解析 (1)因为(a-1)+(a-2)i为实数,所以a-2=0,所以a=2.故选C.
(2)z为纯虚数⇔ ⇔a=0或a=2,所以a=0是z为纯虚数的充分不必要条件.故选A.
本题主要考查复数的分类,当复数a+bi为实数时,则b=0;为虚数时,则b≠0;为纯虚数时,则a=0且b≠0.
◆角度2.复数的模例2(2019浙江高考)复数z= (i为虚数单位),则|z|=　　　　　　　. 
本题主要考查复数的模的定义,若复数z=a+bi,则|z|=
◆角度3.共轭复数例3(2018浙江高考)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是(　　)A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i
本题主要考查共轭复数的定义,若两个复数为共轭复数,则它们的实部相等,虚部互为相反数,即复数z=a+bi的共轭复数 =a-bi.
◆角度4.复数相等的条件例4(2017浙江高考)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　,ab=　　　　　　　. 
本题主要考查复数的运算及复数相等,在处理复数相等问题时,通常把等号两边复数整理成代数形式,即a+bi=c+di,从而得到
复数的几何意义例5(1)设复数z满足i·z=2+i,其中i为虚数单位,则在复平面内复数z对应的点位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案 (1)D　(2)C
解析 (1)z= =1-2i,该复数在复平面内对应的点为(1,-2),在第四象限中.故选D.(2)∵z1=2-i,复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称,∴z2=-2-i,
本题主要考查复数的几何意义,通常方法是转化成复数的代数形式z=a+bi,从而得到该复数在复平面内对应的点(a,b).
复数的运算例6设复数z满足z·(2+i)=-1+2i(i为虚数单位,则z=(　　)A.-iB.iC.-1D.1
解析 方法一:z·(2+i)=-1+2i,
故选B.方法二:设z=a+bi,则z·(2+i)=(a+bi)·(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i=-1+2i,
本题主要考查复数的代数运算.可以直接运算或者把复数设成代数形式a+bi,再进行运算,最后得到a,b的值.
例7设i是虚数单位,且i2 014= ,则实数k等于(　　)A.2B.0C.1D.-1