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高考数学一轮总复习课件第2章函数导数及其应用第十讲变化率与导数导数的运算（含解析）
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这是一份高考数学一轮总复习课件第2章函数导数及其应用第十讲变化率与导数导数的运算（含解析），共46页。PPT课件主要包含了函数导数的定义，导数的运算法则，复合函数的导数，题组一走出误区，答案ABC，B－3D15，题组三真题展现，答案1，考点一导数的运算，答案BC等内容，欢迎下载使用。
2.导数的几何意义和物理意义
(1)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). (2)导数的物理意义：①在物理学中，如果物体运动的路程随时间变化的规律是s＝s(t)，那么该物体在t0时刻的瞬时速度为v＝s′(t0)；②如果物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在t0时刻的瞬时加速度为a＝v′(t0).
3.基本初等函数的导数公式
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
1.(多选题)下列结论错误的是(
A.在曲线 y＝f(x)上某点处的切线与曲线 y＝f(x)过某点的切线意义相同B.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线
题组二 走进教材2.(教材改编题)曲线 y＝x3＋11 在点 P(1,12)处的切线与
y 轴交点的纵坐标是(A.－9C.9答案：C
3.(教材改编题)(一题两空)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度 v＝_____m/s，加速度 a＝_____m/s2.
答案：－9.8t＋6.5 －9.8
答案：5x－y＋2＝0
1.(多选题)(2021 年襄城月考)下列各式正确的是(
2.设 f(x)在 x0 处可导，下列式子与 f′(x0)相等的是
所以①③正确.故选 B.答案：B
【题后反思】导数的运算
(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.
(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.
考点二 导数的几何意义考向 1 求切线方程[例 1]设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，
则曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(
A.y＝－2xC.y＝2x
B.y＝－xD.y＝x
解析：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 a－1＝0，则 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.
考向 2 求切点坐标
考向 3 求参数的值或取值范围[例 3](1)函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y
＝0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是(A.(－∞，2]C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)
解析：由题意知 f′(x)＝2 在(0，＋∞)上有解.
当直线 2x－y＝0 就是 f(x)＝ln x＋ax 的切线时，设切点坐标为(m，ln m＋am)，
(1)求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
C.a＝e－1，b＝1
D.a＝e－1，b＝－1
【考法全练】1.(考向 1,3)(2019 年全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在
点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则(A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1
解析：y ′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，
∴a＝e－1.将(1,1)代入y＝2x＋b得2＋b＝1，b＝－1.D正确.
2.(考向 1)(2020 年全国Ⅰ)曲线 y＝ln x＋x＋1 的一条切
线的斜率为 2，则该切线的方程为___________.
⊙两曲线的公共切线问题[例 4]若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2 的切线，也
是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝(
A.1C.1－ln 2
1B.2D.1－2ln 2
2.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋
12 和直线 m：y＝kx＋9，且 f′(－1)＝0.
(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝f(x)的切线，又是曲线 y＝g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由.
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
2.导数的几何意义和物理意义
(1)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). (2)导数的物理意义：①在物理学中，如果物体运动的路程随时间变化的规律是s＝s(t)，那么该物体在t0时刻的瞬时速度为v＝s′(t0)；②如果物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在t0时刻的瞬时加速度为a＝v′(t0).
3.基本初等函数的导数公式
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
1.(多选题)下列结论错误的是(
A.在曲线 y＝f(x)上某点处的切线与曲线 y＝f(x)过某点的切线意义相同B.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线
题组二 走进教材2.(教材改编题)曲线 y＝x3＋11 在点 P(1,12)处的切线与
y 轴交点的纵坐标是(A.－9C.9答案：C
3.(教材改编题)(一题两空)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度 v＝_____m/s，加速度 a＝_____m/s2.
答案：－9.8t＋6.5 －9.8
答案：5x－y＋2＝0
1.(多选题)(2021 年襄城月考)下列各式正确的是(
2.设 f(x)在 x0 处可导，下列式子与 f′(x0)相等的是
所以①③正确.故选 B.答案：B
【题后反思】导数的运算
(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.
(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.
考点二 导数的几何意义考向 1 求切线方程[例 1]设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，
则曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(
A.y＝－2xC.y＝2x
B.y＝－xD.y＝x
解析：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 a－1＝0，则 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.
考向 2 求切点坐标
考向 3 求参数的值或取值范围[例 3](1)函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y
＝0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是(A.(－∞，2]C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)
解析：由题意知 f′(x)＝2 在(0，＋∞)上有解.
当直线 2x－y＝0 就是 f(x)＝ln x＋ax 的切线时，设切点坐标为(m，ln m＋am)，
(1)求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
C.a＝e－1，b＝1
D.a＝e－1，b＝－1
【考法全练】1.(考向 1,3)(2019 年全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在
点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则(A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1
解析：y ′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，
∴a＝e－1.将(1,1)代入y＝2x＋b得2＋b＝1，b＝－1.D正确.
2.(考向 1)(2020 年全国Ⅰ)曲线 y＝ln x＋x＋1 的一条切
线的斜率为 2，则该切线的方程为___________.
⊙两曲线的公共切线问题[例 4]若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2 的切线，也
是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝(
A.1C.1－ln 2
1B.2D.1－2ln 2
2.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋
12 和直线 m：y＝kx＋9，且 f′(－1)＝0.
(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝f(x)的切线，又是曲线 y＝g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由.
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2. 在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
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