高考数学一轮总复习课件第6章立体几何第6讲空间坐标系与空间向量（含解析）

这是一份高考数学一轮总复习课件第6章立体几何第6讲空间坐标系与空间向量（含解析），共60页。PPT课件主要包含了空间向量的概念，空间向量的运算，空间向量的运算律，a·c，名师点睛，a∥α，有一个零向量，答案D，A1个，B2个等内容，欢迎下载使用。

在空间，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，记
(3)数乘向量：λa(λ∈R)仍是一个向量，且λa 与 a 共线，
|λa|＝|λ||a|.
(4)数量积：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉，a·b 是一个实数.
(1)交换律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈
R)[注意：(a·b)c＝a(b·c)一般不成立].
(3)分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋
4.空间向量的坐标运算
(3)向量的数量积满足交换律、分配律，即 a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c 成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
(4)用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
题组一 走出误区1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.(
(2)若直线 a 的方向向量和平面α的法向量平行，则
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多
(4)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角.(
(5)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(答案：(1)×　 (2)×　 (3)×　 (4)×　 (5)×
题组二 走进教材2.(教材改编题)若直线 l 的一个方向向量为 a＝(2,5,7)，
平面α的一个法向量为 u＝(1,1，－1)，则(
B.l⊥αD.l 与α斜交
A.l∥α或 l⊂αC.l⊂α答案：A
3.(教材改编题)已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且
ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 值是(
题组三 真题展现4.(2019 年上海)已知向量 a＝(1,0,2)，b＝(2,1,0)，则 a与 b 的夹角为________.
考点一 空间向量的线性运算
考点二 共线定理、共面定理的应用
[例 1]如图 6-6-2，已知 E，F，G，H 分别是空间四边
形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点.
(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD∥平面 EFGH.
由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面.
所以 EH∥BD.又 EH⊂平面 EFGH，BD所以 BD∥平面 EFGH.
【题后反思】证明三点共线和空间四点共面的方法
考点三 空间向量数量积及其应用[例 2]如图 6-6-5 所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD的中点.(1)求证：EG⊥AB；(2)求 EG 的长；(3)求异面直线 AG 和 CE 所
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以
(3)可以通过|a|＝ 　，将向量的长度问题转化为向量数
考点四 向量法证明平行、垂直
[例 3]如图 6-6-7 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，PC＝2，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点 M 在 PB 上，PB＝4PM，PB 与平面ABCD 成 30°的角.求证：
(1)CM∥平面 PAD；
(2)平面 PAB⊥平面 PAD.
证明：以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，CP为 z 轴建立如图 6-6-8 所示的空间直角坐标系 Cxyz.
∵PC⊥平面 ABCD，
∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，
(1)用向量证明平行的方法
①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量；②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量.
(2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直；②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是
③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直.
以 A 为坐标原点，AC，AB，AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 D52 所示的空间直角坐标系 Axyz.
设 AB＝2，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，
C1(1,1,2)，B1(0,2,2).
⊙用空间向量解决有关位置关系的探索性问题
[例 4]如图 6-6-10，正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直，已知 BC＝4，AB＝AD＝2.
面 BCEF？若存在，求出
(1)求证：AC⊥BF；(2)在线段 BE 上是否存在一点 P，使得平面 PAC ⊥平
的值；若不存在，请说明理由.
假设在线段 BE 上存在一点 P 满足题意，则易知点 P不与点 B，E 重合，
【题后反思】解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后
在这个前提下进行逻辑推理.
(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为 0，如 xOy 面上的点为(x，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为 0，如 z 轴上
【高分训练】1.(2021 年泰安一模)如图 6-6-12，在三棱锥 P-ABC 中，
PB⊥平面 ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2
G 分别为 PC，PA 的中点.(1)求证：平面 BCG⊥平面 PAC；(2)在线段 AC 上是否存在一点 N，使PN⊥BE？证明你的结论.
(1)证明：∵PB⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴BC⊥PB，
又 AB⊥BC，AB∩BP＝B，∴BC⊥平面 PAB，PA ⊂平
面 PAB，∴BC⊥PA .
又 AB＝PB＝2，△PAB 为等腰直角三角形，G 为斜边
∴BG⊥PA ，又 BG∩BC＝B，∴PA ⊥平面 BCG，
又 PA ⊂平面 PAC，∴平面 BCG⊥平面 PAC.
(2)解：如图 D53，以点 B 为坐标原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，BP 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A(2，0,0)，
2.(2021 年桂林模拟)如图6­6­13，棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于 2，∠ABC 和∠A1AC 均为 60° ，平面AA1C1C⊥平面 ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线 CC1 上是否存在点 P，使 BP∥平面 DA1C1，若存在，求出点 P 的位置，若不存在，请说明理由.