高考数学三轮冲刺卷：空间几何量（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：空间几何量（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 用一平面去截体积为 的球，所得截面的面积为 ，则球心到截面的距离为
A. B. C. D.

2. 如图，正方体 的棱长为 ， 是 的中点，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.

3. 在棱长为 的正方体 中，， 分别为棱 ， 的中点， 为棱 上的一点，且 ．则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.

4. 在正三棱柱 中，若 ，，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.

5. 用与球心距离为 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为
A. B. C. D.

6. 已知正四棱柱 中，，， 为 的中点，则直线 到平面 的距离为
A. B. C. D.

7. 如图，在长方体 中，，，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.

8. 设正方体 的棱长为 ，则点 到平面 的距离是
A. B. C. D.

9. 如图，在三棱柱 中，，，，侧棱 的长为 ，则该三棱柱的高等于
A. B. C. D.

10. 已知球 的半径为 ， 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心 到平面 的距离为
A. B. C. D.

11. 长、宽、高分别为 ，， 的长方体的外接球的表面积为
A. B. C. D.

12. 已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥的外接球的球心到平面 的距离是
A. B. C. D.

13. 如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 的中点，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.

14. 如图，在长方体 中，，，点 在侧面 上．满足到直线 和 的距离相等的点
A. 不存在B. 恰有 个C. 恰有 个D. 有无数个

15. 在长方体 中，，，则点 到平面 的距离等于
A. B. C. D.

16. 如图，底面 为正方形，，，设点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ， 到平面 的距离为 ，则有
A. B. C. D.

17. 正方体 的棱上到异面直线 ， 的距离相等的点的个数为
A. B. C. D.

18. 空间四点 ，每两点的连线长都等于 ，动点 在线段 上，动点 在线段 上，则点 与 的最小距离为
A. B. C. D.

19. 在正三棱柱 中，若 ，，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.

20. 在正四面体 的面上，到棱 以及 ， 两点的距离都相等的点共有
A. 个B. 个C. 个D. 个

二、填空题（共5小题；）
21. ， 两点到平面 的距离分别是 ，，点 是 的中点，则 点到平面 的距离是 ．

22. 已知长方体 中，棱 ，，那么直线 到平面 的距离是 ．

23. 在正方形 中，点 为对角线 的一个三等分点，则点 到各顶点的距离的不同取值有 个．

24. 已知正方体 的棱长为 ，异面直线 与 的距离为 ．

25. 正方体 的棱长为 ， 是底面 的中心，则 到平面 的距离为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. （1）如图所示，已知梯形 中，，，画出平面 与平面 的交线．
（2）在图中，点 是 的中点，画出平面 与平面 的交线．

27. 如图所示，已知圆 的直径长度为 ，点 为线段 上一点，且 ，点 为圆 上一点，且 ．点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，．
（1）求证：；
（2）求点 到平面 的距离．

28. 如图，正方体 的边长为 ， 是 的中点，经过点 ，， 的平面交 于点 ．
（1）证明： 是 的中点．
（2）求直线 到平面 的距离 ．

29. 在 中，两直角边 ， 的长分别为 ，， 垂直于平面 ，，求点 到斜边 的距离．

30. 如图，正三棱柱 的所有棱长均为 ，， 分别是 和 的中点．
（1）证明：；
（2）求点 到平面 的距离．
答案
1. C【解析】设球半径为 ，截面圆半径为 ，则 ，， ．
2. B【解析】提示：因为在正方体 中， 平面 ．所以点 到平面 距离转化为点 到平面 距离，即 ．
3. D【解析】因为 ， 在 上，所以 到平面 的距离即是 到面 的距离，即是 到 的距离，，由三角形面积可得所求距离为 ．
4. B【解析】利用等体积代换法：由 ，可求点 到平面 的距离．
5. B
【解析】用平面去截球所得截面的面积为 ，
所以截面圆的半径为 ，
已知球心到该截面的距离为 ，
所以球的半径为 ，
所以球的体积为 ．
6. D【解析】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图），
则 ，，，，，，易知 ．
设 是平面 的法向量，
则
取 ，则 为平面 的一个法向量，
又 ，
所以点 到平面 的距离是 ．
故直线 到平面 的距离为 ．
7. C【解析】如图，以 为坐标原点，以 ，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，，，．连接 ，所以 ，，．设平面 的法向量为 ，则 即 所以 令 ，则 ．所以点 到平面 的距离为 ．
8. D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，，，，
所以 ，，．
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，则 ．
所以点 到平面 的距离 ．
9. A【解析】过点 作 于点 ，在过点 在面 内作 于点 ， 于点 ，
由题可知，在 中，，，，则 ；
在 中，，，则 ；
由题可知，四边形 为矩形，则 ，因此，在 中，．
10. B
11. B【解析】长方体的体对角线即为外接球的直径 ，
因为长方体的长、宽、高分别为 ，，，
所以 ，，
所以外接球的表面积为 ．
12. A【解析】由题意 在平面 内的射影为 的中点 ，
所以 ，
因为 ，，
在面 内作 的垂直平分线 ，则 为 的外接球球心．
因为 ，
所以 ，，
所以 ，，即为 到平面 的距离．
13. C
14. D
15. B
16. D
17. C【解析】如图所示， 四个点满足题意．
18. C
19. B
20. B
【解析】
取 的中点 ，连接 、 ，因为 ，，所以 、 两点关于平面 对称，
则平面 上的任意一点到 、 两点的距离都相等．
分别取棱 、 、 、 的中点 、 、 、 ，连接 、 、 、 ，则四边形 是矩形，此矩形满足到棱 、 的距离相等．设 ，．由于 ，，则点 、 满足到棱 以及 、 两点的距离都相等．
只有 、 两点满足条件．
21. 或
22.
【解析】直线 到平面 的距离即点 到平面 的距离，也即点 到直线 的距离．
23.
24.
【解析】因为 ，，
所以 ，
又 ，
所以异面直线 与 之间距离为 ．
25.
26. （1） 如图延长 ， 交于点 ，连接 ， 即是平面 与平面 的交线．
（2） 如图所示，延长 ， 交于点 ，延长 ， 交于点 ，连接 ， 即是平面 与平面 的交线．
27. （1） 连接 ，由 知，点 为 的中点．
又因为 为圆 的直径，
所以 ，
由 知，，
所以 为等边三角形，从而 ．
因为点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
（2） 由（1）可知 ，．
过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
再过点 作 ，垂足为 ．
因为 ，
又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
则 为点 到平面 的距离．
在 中，，，
在 中，，
即点 到平面 的距离为 ．
28. （1） 连接 交 延长线于 ，
在 中，点 是 的中点，则 ，，易知： 是 的中点，
所以 ，
连接 ，易知点 ，， 共面，
即此时点 ，，，， 共面，
则 与 的交点为 点，
又因为： 是 的中点，，
所以 ，，则点 是 的中点，
得证．
（2） 以 为原点 ，， 为坐标轴建系，
，，，，
，，，
设面 一个法向量 ，

令 ，，，
所以 ，
．
29. ．
30. （1） 以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，，，，，，，，
因为 ，，
所以 ，，
因为 ，
所以 ．
（2） ，，
因为 ，
所以平面 的法向量 ，
所以点 到平面 的距离 ．