高考数学三轮冲刺卷：空间几何体的结构特征（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：空间几何体的结构特征（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；）
1. 底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥
A. 一定是正三棱锥
B. 一定是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）
C. 一定不是正三棱锥
D. 不一定是正三棱锥

2. 若正方体的一条体对角线的长度为 ，那么此正方体的棱长等于
A. B. C. D.

3. 下列关于圆柱的命题正确的是
A. 圆柱的轴是经过圆柱上、下底面圆的圆心的直线
B. 圆柱的母线是连接圆柱上底面和下底面上一点的直线
C. 矩形较长的一条边所在的直线才可以作为旋转轴从而形成圆柱
D. 矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱

4. 用一平面去截体积为 的球，所得截面的面积为 ，则球心到截面的距离为
A. B. C. D.

5. 如图所示的简单组合体的结构特征是
A. 由两个四棱锥组合成的
B. 由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C. 由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的
D. 由一个四棱锥和一个四棱台组合成的

6. 在正三棱锥 中， 分别是 的中点，有下列三个论断：
① ；② ；③ ．
其中正确论断的个数为
A. 个B. 个C. 个D. 个

7. 若圆柱的母线长为 ，则其高等于
A. B. C. D. 不确定

8. 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有
A. B. C. D.

9. 正方体的棱长为 ，在正方体内放八个半径为 的球，再在这八个球中间放一个小球，则小球的半径为
A. B. C. D.

10. 已知正三角形 三个顶点都在半径为 的球面上，球心 到平面 的距离为 ， 是线段 的中点，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值是
A. B. C. D.

11. 某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 的等腰直角三角形和边长为 的正方形，则该几何体中最长的棱长为
A. B. C. D.

12. 有下面五个命题：①各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③底面是正方形的棱锥是正四棱锥；④正四面体就是正四棱锥；⑤顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是
A. 个B. 个C. 个D. 个

13. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 五棱锥D. 六棱锥

14. 正三棱锥 的底面边长为 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，则四边形 面积的取值范围是
A. B. C. D.

15. 在棱长为 的正方体 中，， 分别为 ， 的中点，点 在正方体的表面上运动，且满足 ，则下列说法正确的是
A. 点 可以是棱 的中点B. 线段 的最大值为
C. 点 的轨迹是正方形D. 点 轨迹的长度为

16. 在正三棱柱 中，若 ，，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.

17. 如图所示是正方体分割后的一部分，它的另一部分为下列图形中的
A. B.
C. D.

18. 已知平面 截一球面得圆 ，过圆心 且与 成 二面角的平面 截该球面得圆 ．若该球面的半径为 ，圆 的面积为 ，则圆 的面积为
A. B. C. D.

19. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 ，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过 ，则该塔形中正方体的个数至少是
A. B. C. D.

20. 如图，模块 均由 个棱长为 的小正方体构成，模块 由 个棱长为 的小正方体构成．现从模块 中选出三个放到模块 上，使得模块 成为一个棱长为 的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为
A. 模块 B. 模块 C. 模块 D. 模块

二、填空题（共5小题；）
21. 一个棱柱至少有 个面；面数最少的一个棱锥有 个顶点；顶点最少的一个棱台有 条侧棱．

22. 已知 是同一个球面上的四点，且每两点之间的距离都等于 ，则该球的半径是 ，球心到平面 的距离是

23. 下列说法中，正确说法的序号是 ．
① 棱柱的各个侧面都是平行四边形；
② 底面是矩形的四棱柱是长方体；
③ 有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
④ 直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥．

24. 如果三棱锥 的底面 是正三角形，顶点 在底面 上的射影是 的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：
①正三棱锥所有棱长都相等；
②正三棱锥至少有一组对棱（如棱 与 ）不垂直；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④若正三棱锥所有棱长均为 ，则该棱锥外接球的表面积等于 ；
⑤若正三棱锥 的侧棱长均为 ，一个侧面的顶角为 ，过点 的平面分别交侧棱 ， 于 ，，则 周长的最小值等于 ．
以上结论正确的是 （写出所有正确命题的序号）．

25. 在三棱锥 中，侧棱 两两垂直， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则三棱锥 外接球的表面积为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 判断下列说法是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请举一个反例．
（1）有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱．
（2）正四棱柱是正方体．
（3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥．

27. 如图所示是一个三棱台 ，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥?

28. 如图，以直角梯形的一条边为轴旋转一周所形成的几何体是圆台吗?

29. 已知正六棱锥底面边长为 ，高为 ，求底面面积、侧棱长和斜高．

30. 一个圆台的母线长为 ，两底面面积分别为 和 ，求：
（1）圆台的高；
（2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
答案
1. D【解析】题中描述的三棱锥可能是正三棱锥，也可能不是，比如下图中的三棱锥 .
2. C
3. A【解析】由圆柱的定义和有关概念可知，A 正确；
矩形的任意一条边所在的直线都可以作为旋转轴形成圆柱，C 错误；
圆柱的母线必须在侧面上且垂直于底面，所以 B 不正确；
矩形绕任意直线旋转不一定形成圆柱，因此 D 错误．
4. C【解析】设球半径为 ，截面圆半径为 ，则 ，， ．
5. A
6. C【解析】提示：找 的中点 ，联结 、 ，
容易得 ，，所以 ，所以①成立；
显然 ，所以②成立；
三角形 是等边三角形，显然 和 不垂直，所以③不成立．
7. B
8. D【解析】正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有 条．
9. D【解析】因为在正方体内放八个半径为 的球，所以，这 个球的球心组成一个新的正方体，连接棱长是 的正方体的对角线，则在对角线上有 个小球中的两个还有最后放入的小球三个球依次相切，所以，最后放入的小球的直径等于新形成的棱长为 的小正方体的对角线减去两个球的半径，所以，小球的直径是 ． 所以，小球的半径是 ．
10. C
11. B【解析】由题意可知，此几何体如图所示，底面为一个直角三角形，高为 ，最长的棱为正方体的主对角线，长为 ．
12. A【解析】命题①中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，
故不是正棱锥，如图（1）中的三棱锥 ，可令 ，，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；
命题②中的“侧棱都相等”并不能保证底面是正多边形，如图（2）中的三棱锥 ，可令 ，，，三条侧棱都相等，但它不是正三棱锥；
命题③中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如图（3），从正方体中截取一个四棱锥 ，底面是正方形，但它不是正四棱锥；
命题④中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有 个面，所以三棱锥也叫四面体．四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；
命题⑤中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义．
13. D
14. B【解析】提示：找 的中点 ，联结 、 ，容易得知 ，，所以 ，从而 ，所以 ，，，而 ，所以四边形 的面积 ．
15. D
【解析】A选项：若 为 中点，， 为 中点，
而 ，
，
所以 ．
所以此时 与 不垂直，即 与 不垂直，故A选项错误．
B选项：作出与 垂直面 ，， 为 中位线，
此时 ，，
所以 ．
故 ．
此时 最大值于 或 取到，为 （），
又点 在正方体表面而非顶点，故B选项错．
C选项：，故不是正方形，故C选项错.
D选项：长度为 ，故D选项正确．
16. B【解析】利用等体积代换法：由 ，可求点 到平面 的距离．
17. B
18. D【解析】如图所示，设球的半径为 ，由圆 的面积为 知，
球心 到圆 的距离
在 中，，所以
故圆 的半径
所以圆 的面积为
19. C【解析】底层正方体边长为 ，每个面的面积为 ；
第二层正方体边长为 ，每个面的面积为 ；
第三层正方体的边长为 ，每个面的面积为 ；

第 层正方体的边长为 ，每个面的面积为 ；
则该塔形的表面积为 ．
解 ，得 ．
20. A
【解析】观察模块 ⑥ 可知，模块 ⑤ 补模块 ⑥ 中间一层，于是模块⑥只缺最上面的一层的 块，模块 ① 补模块 ⑥ 最上面一层的左边及前面 块，模块 ② 补模块 ⑥ 上面的右后角，如此便能够成为一个棱长为 的大正方体．
21. ，，
22.
【解析】如图 是球心， 是球的内接正四面体，棱长为 ，点 为点 在面 上的射影，则 是 的重心， 是球的半径， 是球心到平面 的距离，我们按照其中的几何量关系求出 和 即可．
23. ①
24. ③④⑤
【解析】①正三棱锥所有侧棱长都相等，底边长都相等，故不正确；
②正三棱锥顶点 在底面 上的射影是 的中心，故对棱（如棱 与 ）垂直，故不正确；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和等于此正四面体的高，为定值，故正确；
④若正三棱锥所有棱长均为 ，则该棱锥外接球半径为 ，表面积等于 ，正确；
⑤若正三棱锥 的侧棱长均为 ，一个侧面的顶角为 ，过点 的平面分别交侧棱 ， 于 ，，则 周长的最小值等于 ，故正确．
25.
【解析】由题意，可求得 ，，．
三棱锥 中，侧棱 两两垂直，可补成长方体，两者的外接球是同一个．长方体的对角线就是球的直径，求得直径为 ，所以外接球的表面积为 ．
26. （1） 正确．
（2） 不正确．
（3） 不正确．
27. 过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，， .
28. 不一定是提示：如图，在直角梯形 中，，．以 为轴旋转形成一个圆台，以 为轴旋转形成一个圆柱和圆锥的组合体'以 为轴旋转形成一个圆柱挖去一个圆锥的组合体，以 为轴旋转形成一个圆台挖去一个小圆锥后和另一个圆锥的组合体．
29. 底面面积为 ，侧棱长为 ，斜高为 ．
30. （1） 圆台的轴截面是等腰梯形 （如图所示）．
由已知可得 ，
又由题意知腰长 ．
所以高
（2） 如图所示，延长 ，，，交于点 ，
设截得此圆台的圆锥的母线长为 ，则由 ，可得 ，解得 ．
即截得此圆台的圆锥的母线长为 ．