高考数学三轮冲刺卷：棱锥的表面积与体积（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：棱锥的表面积与体积（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知高为 的三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，如图所示，则三棱锥 的体积为
A. B. C. D.

2. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A. B. C. D.

3. 如图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为 的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，其体积是
A. B. C. D.

4. 棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成 （从顶点到截面与从截面到底面）两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于
A. B. C. D.

5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.

6. 已知棱长为 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为
A. B. C. D.

7. 已知正方体 ，点 在线段 上，当 最大时，四棱锥 的体积与正方体的体积之比为
A. B. C. D.

8. 如图，将边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得 ，则三棱锥 的体积为
A. B. C. D.

9. 三棱锥 的底面 是边长为 的等边三角形，该三棱锥的所有顶点均在半径为 的球上，则三棱锥 的体积最大值为
A. B. C. D.

10. 已知矩形 的顶点都在半径为 的球 的球面上，且 ，，则棱锥 的侧面积为
A. B. C. D.

11. 如图，， 分别为棱长为 的正方体的棱 ， 的中点，点 ， 分别为面对角线 和棱 上的动点，则下列关于四面体 的体积正确的是
A. 该四面体体积有最大值，也有最小值
B. 该四面体体积为定值
C. 该四面体体积只有最小值
D. 该四面体体积只有最大值

12. 正四棱锥的侧棱长为 ，底面边长为 ，则该棱锥的体积为
A. B. C. D.

13. 如图，四棱锥 的底面 为平行四边形，，若三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则 的值为
A. B. C. D.

14. 四面体 的四个顶点都在某个球 的表面上， 是边长为 的等边三角形，当 在球 表面上运动时，四面体 所能达到的最大体积为 ，则四面体 的体积为
A. B. C. D.

15. 正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为 中点，则三棱锥 的体积为
A. B. C. D.

16. 在外接球半径为 的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高等于
A. B. C. D.

17. 在三棱锥 中， 为底面 的边 上一点， 为底面 内一点，且满足 ，，则三棱锥 与三棱锥 的体积比 为
A. B. C. D.

18. 一个等腰三角形的周长为 ，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为
A. B. C. D.

19. 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，底面 是边长为 的正三角形，棱 是球 的直径且 ，则此三棱锥的体积为
A. B. C. D.

20. 已知边长为 的正方体内接于半球体，即正方体的顶点中，有四点在球面上，另外四点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 侧棱长为 的正三棱锥，若其底面周长为 ，则该正三棱锥的体积是 ．

22. 如图，正方体 的棱长为 ，点 在正方形 的边界及其内部运动．平面区域 由所有满足 的点 组成，则 的面积是 ；四面体 的体积的最大值是 ．

23. 将一块边长为 的正方形纸片，先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 ．

24. 一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．

25. 在正三棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长等于 ．则正三棱锥 的体积 ；正三棱锥 的外接球的半径 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知正三棱锥 的底面边长为 ，且它的侧棱与底面所成的角为 ，求这个三棱锥的体积和表面积．

27. 如图，在多面体 中，已知四边形 是边长为 的正方形，，， 上任意一点到平面 的距离均为 ，求该多面体的体积．

28. 如图，求证三棱柱 可分割为三个体积相等的三棱锥．

29. 如图，已知 是棱长为 的正方体， 为 的中点， 为 上一点，求三棱锥 的体积．

30. 已知四棱锥 中， 垂直于直角梯形 所在的平面，，， 是 的中点，且 ，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥 的体积．
答案
1. D【解析】设三棱锥 的高为 ，则 ．
2. D
3. C
4. B
5. C
6. B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 截去三棱锥 和三棱锥 后的剩余部分．
其表面为六个腰长为 的等腰直角三角形和两个边长为 的等边三角形，
所以其表面积为 ．
7. C
8. A【解析】如图所示，图 中，连接 与 相交于点 ，
，
则 ，
图 中， 是等边三角形，，，，，，
所以 ，
所以三棱锥 的体积 ．
9. C
10. B
【解析】由题意可知四棱锥 的侧棱长为 ．
因为侧面中底面边长为 和 ，它们的斜高为 和 ，
所以棱锥 的侧面积为 ．
11. D【解析】因为 ， 分别为棱长为 的正方体的棱 ， 的中点，
所以 ，
又 ，
故点 到 的距离为定值，
则 面积为定值，
当点 与点 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点 ，
当点 与点 重合时， 有最大值，体积有最值，
所以四面体体积有最大值，无最小值．
12. B
13. B【解析】设点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ，
由 得 ，
因为点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
所以三棱锥 的体积 ，
又三棱锥 的体积 ，
则 ，故选B．
14. C【解析】四面体 达到最大体积时，，设此时的高为 ，
则 ，
所以 ，设球的半径为 ，则 ，
所以 ，
所以四面体 的体积为 ．
15. C
【解析】如图，在正三角形 中， 为 中点，则有 ，，．
又因为 ，，，，所以 ，即 为三棱锥 的高．
所以 ．
16. D【解析】如图，设正三棱锥 的外接球的球心为 ，连接 并延长交底面 于 ，则 ，连接 并延长交 于 ，则 ．设正三棱锥的底面边长为 ，高为 ，
由题易得 ，，
则在直角三角形 中，，
即 ，
整理得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
又因为正三棱锥的体积
，
所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值．
17. D【解析】如图，
由 知，，
所以 ，
所以 ．
因为三棱锥 与三棱锥 同高，
所以 ．
18. A【解析】四棱锥如图，
设底面正方形边长的一半为 ，
则有 ，
．
设 ，
则 ，
由 ，可得 （舍）或 ，
所以 ．
19. A
20. C
21.
22. ，
23.
【解析】因为正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为 ，高为 ，
所以正四棱锥的斜高为 ，
因为图1得出：因为将一张边长为 的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，
所以 ，，
所以正四棱锥的体积是 ．
24.
【解析】因为一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为 的正六边形，侧棱长都相等，
所以棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为 ，则 ，
所以 ，
棱锥的斜高为：，
该六棱锥的侧面积为：．
25. ，
【解析】如图所示，在正三棱锥 中， 在平面 内的投影 为等边 的中心．
底面边长为 ，则 ，
在 中，利用勾股定理得到 ，．
如图所示，正三棱锥 的外接球的球心在 上，设为 ，
，，，
利用勾股定理得到 ，
所以 ．
26. ，．
27. 如图，连接 ，，．
．
因为 ，，
所以 ．

所以多面体的体积 ．
28. 由祖暅原理可知底面积和高分别相等的两个三棱锥的体积相等．
所以 ．
又 ，
所以 ，且 （它们是同一三棱锥），
所以 ．
故三棱柱 可分割为三个体积相等的三棱锥，它们是三棱锥 ，三棱锥 ，三棱锥 ．
29. 由 ，
因为 ，
又三棱锥 的高为 ，
所以 ，
所以 ．
30. （1） 取 中点 ，连接 ，，则 ，，
因为 ，，
所以 ，，
所以四边形 是平行四边形．
所以 ．
因为 ，，
所以 ．
（2） 法一：
，
，
．
法二：
因为 ，
所以 ，
又 ，，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，而 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
在直角三角形 中，，，，
由 得到 ，．
又由（1）得 ，
．