高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的图象与性质（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的图象与性质（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；）
1. 已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），则函数 的图象可能是
A. 11
B. 11
C. 11
D. 11

2. 已知函数 的图象如下图所示，则函数 的图象大致是
A. B.
C. D.

3. 已知 ， 为 的导函数，则 的图象是
A. B.
C. D.

4. 已知 的图象如图所示（其中 是函数 的导数），下面四个图象中， 的图象大致是
A. B.
C. D.

5. 已知 为 上的连续可导函数，且 ，则函数 的零点个数为
A. B. C. 或 D. 无数个

6. 函数 的大致图象是
A. B.
C. D.

7. 设函数 有三个零点 ，，，且 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.

8. 已知 ， 为 的导函数，则 的图象t是
A. B.
C. D.

9. 已知函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则
A. B. C. D.

10. 设函数 ，若 为函数 的一个极值点，则下列图象不可能为 的图象是
A. B.
C. D.

11. 设 ，，，，，，则
A. B. C. D.

12. 如图，点 ，，，过点 作 的垂线 ．记 在直线 左侧部分的面积为 ，则函数 的图象为下图中的
A. B.
C. D.

13. 若三次函数 有极值点 ， 且 ，设 是 的导函数，那么关于 的方程 的不同实数根的个数为
A. B. C. D.

14. 已知定义在 上的函数 的导函数为 ， 且 ，若对任意 ， 恒成立，则不等式 的解集为
A. B.
C. D.

15. 已知函数 只有两个零点，则实数 的最小值是
A. B. C. D.

16. 已知函数 的部分图象如图，则 的解析式可能是
A. B.
C. D.

17. 已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围为
A. B. C. D.

18. 设 定义 （ 且 为常数），若 ，，，．下述四个命题：
① 不存在极值；
②若函数 与函数 的图象有两个交点，则 ；
③若 在 上是减函数，则实数 的取值范围是 ；
④若 ，则在 的图象上存在两点，使得在这两点处的切线互为垂直．
A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ②④

19. 已知函数 ，（其中 为自然对数的底数），若函数 有 个零点，则 的取值范围为
A. B. C. D.

20. 已知函数 ，若关于 的不等式 只有两个整数解，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 方程 的实根个数为 ．

22. 已知函数 ，：
①函数 的单调递减区间为 ；
②若函数 有且只有一个零点，则 ；
③若 ，则 ，使得函数 恰有 个零点 ，， 恰有一个零点 ，且 ，．
其中，所有正确结论的序号是 ．

23. 设函数 满足 ，且当 时，．若在区间 内，存在 个不同的实数 ，，，使得 ，则实数 的取值范围为 ．

24. 已知函数 ．若函数 恰有 个零点，则实数 的取值范围是 ．

25. 定义在 上的偶函数 满足 ，当 时，，则函数 在 上的零点个数为 （其中 为自然对数的底数，）．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知函数 ．
（1）证明：对任意 ，函数 的导函数 是偶函数；
（2）若 ，，讨论函数 的零点个数．

27. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若关于 的方程 在区间 内恰有两个相异的实根，求实数 的取值范围．

28. 已知函数 （其中 是自然对数的底数，）．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当函数 有两个零点 ， 时，证明 ．

29. 已知函数 有两个零点．
（1）求 的取值范围．
（2）设 ， 是 的两个零点，证明：．

30. 已知函数 ，函数 ．
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点处具有公共切线，求 的值．
（2）若存在实数 使不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
（3）若方程 有三个不同的解 ，且它们可以构成等差数列，写出实数 的值（只需写出结果）．
答案
1. C【解析】根据题中图象，得当 时，，所以 递增；
当 时，，所以 递减；
当 时，，所以 递减；
当 时，，所以 递增．
2. C
3. A【解析】依题意 ，令 ，
则 ，
由于 ，故排除C选项．
由于 ，故 在 处导数大于零，故排除B，D选项．故本小题选A．
4. C【解析】当 时，，
所以 ，故 在 上为减函数；
当 时，，
所以 ，故 在 上为增函数．
5. A
【解析】因为 ，，
所以 在 上单调递增，
因为 ， 为 上的连续可导函数，
所以 为 上的连续可导函数，，
所以 在 上无零点．
6. A【解析】，
令 得 ，
所以当 时，，
当 时，，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为当 时，，
所以函数图象与 轴交于点 ；
令 得 ，
所以 只有 个零点 ，
当 时，，
当 时，，
综上，函数图象为 A．
7. D【解析】，令 得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 在 ，， 上各有一个零点．
所以 ，故A错误；
因为 ，，，，
所以 ，故B错误；D正确．
因为 ，
所以 ，故C错误．
8. A
9. A【解析】记 ，则有 ．当 或 时，；当 时，，因此函数 在 上分别是增函数，在 上是减函数，且 ，．要使函数 的图象与 轴恰有两个公共点，结合图形分析可知 或 ，即 或 ．
10. D
【解析】设 ，则 ，
由 为函数 的一个极值点，代入上式，
可得 ，
所以 ，若 有两个零点 ，
那么 ， 中的图象一定不满足
11. A
12. D【解析】函数的定义域为 ，当 时，在单位长度变化量 内面积变化量 大于 且越来越大，即斜率 在 内大于 且越来越大，因此，函数 的图象是上升的且图象是下凸的；
当 时，在单位长度变化量 内面积变化量 大于 且越来越小，即斜率 在 内大于 且越来越小，因此，函数 的图象是上升的且图象是上凸的；
当 时，在单位长度变化量 内面积变化量 为 ，即斜率 在 内为常数 ，此时，函数图象为平行于 轴的射线．
13. D【解析】由题意可得函数 有两个不同的实数根 ，，
其中 ，
则： 或 ，据此分类讨论：
①若 ，当 时， 或 ，
当 时，，
此时共有三个不同的实数根 ，，．
②若 ，当 时， 或 ，
当 时，，
此时共有三个不同的实数根 ，，．
③若 ， 没有极值点，不合题意．
综上可得，方程 的不同实数根的个数为 ．
14. C【解析】由题可知：，，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
又对任意 ， 恒成立，
所以 ，可知函数 在 单调递增，
又 ，所以 ，
所以 即 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ．
15. D
【解析】，令 ，解得 ，，故函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，，而 ，因为函数只有两个零点，所以 ，故 ，取对数得 ，即 ，
而

当且仅当 ， 时等号成立，故最小值为 ．
16. C【解析】由图象可知，函数 在 上单调递增，且为奇函数．
对A项，由于定义域不是 ，则A错误；
对B项，当 时，，
；，
则函数 在 不是单调递增，则B错误；
对C项，，则函数 在 上单调递增，
又 ，则函数 为奇函数，则C正确；
对D项，，
则函数 不是奇函数，则D错误．
17. C
18. C【解析】①因为 ，，，
所以 ，
则 ，
当 的 时， 即有极大值，又有极小值，故①错误；
②因为 ，若函数 与函数 有两个交点，
则 与函数 相切，此时切点为 ，
切线斜率为 ，故②正确；
③若 在减函数，则 对于 恒成立，
即 恒成立，
因为 ，
所以 恒成立，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 ，故③正确；
④当 时，，
设 ， 是 曲线上的任意两点，
因为 ，
所以 ，
所以 不成立．
所以 的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．故④错误．
故真命题序号为：②③．
19. B【解析】作出 的图象如图 所示，
，令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
作出 的大致图象如图 所示，
令 ，
①显然当 时， 无零点；
②当 时，即 ，则 ，即 或 ，
此时 有 个零点，不合题意；
③当 时， 有 个根，不妨设 ，此时 有 个根， 有 个根， 有 个不同实根，此时，有 个不同实根，
所以 必须没有实数根，
所以 ，即 ；
④当 时，此时 有 个零点，不合题意；
⑤当 时， 有 个根，不妨设 ，，
所以 有 个根， 有 个根，此时 有 个零点，不合题意，
综上所述，．
20. C
【解析】，令 得 ，
所以当 时，， 单调递增，
当 时，， 单调递减，
由当 时，，当 时，，
作出 的大致函数图象如图所示：
（）若 ，即 ，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意．
（）若 ，则 或 ，
由图象可知 有无穷多整数解，不符合题意．
（）若 ，则 或 ，
由图象可知 无整数解，故 有两个整数解，
因为 ，且 在 上单调递减，
所以 的两个整数解必为 ，，
又 ，
所以 ，解得 ．
21.
【解析】令 ，则 ，当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减．
所以 ，所以 恒成立，即原方程无实根．
22. ①③
【解析】当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以函数 的单调递减区间为 ；即①正确；
由图可知 分别与 以及 相切时， 有且只有一个零点，
设 与 切点为 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，；
同理可得 与 相切时，，因此②错误；
由图可知 ，，则 ，所以③正确；
故答案为：①③．
23.
【解析】因为 ，所以 ，当 时，，所以 ，在直角坐标系内作出函数 的图象（图略），而 表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．
图象上的点 与原点的连线的斜率为 ；当过原点的直线与曲线 ， 相切时，斜率为 （利用导数解决）．
所以由图可知，满足题意得实数 的取值范围为 ．
24.
【解析】当 时，函数 单调递增；
当 时，，则 时，，
且 时，， 时，，
故当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取极小值，极小值为 ．
作出函数 的图象如图：
函数 恰有 个零点，
等价于函数 与 的图象有且仅有 个零点，
由图可知，．
25.
【解析】由 可知函数 是周期为 的周期函数，且函数 为偶函数，
由 时， 的图象，可画出 上的图象，进而画出函数 的图象．
令 ，则 ，画出 ， 两个函数的图象如图所示，
当 时，，其斜率为 ．
令 ，解得 ，代入 得 ，
函数 在点 处的切线方程为 ，即 ，
即函数 与 在点 处相切于点 ．
，且 ．
由图可知，两个函数有 ，，， 四个公共点，故 有 个零点．
26. （1） 函数 的定义域是 ，
则 ，函数 的定义域是 ．
因为对任意 ，都有 ，即 ．
因此，对任意 ，导函数 是偶函数．
（2） ，．
令 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增．
因为 ，，
所以一定存在 ，使得 ．
所以在 上，，，函数 单调递减；
在 上，，，函数 单调递增，
所以 ．
又 中，，，，
所以 ，即 ，所以函数 的零点个数为 ．
27. （1） 因为函数 的定义域为 ，
则 ，
因为 ，则使 的 的取值范围为 ，
故函数 的单调递增区间为 ．
（2） 方法一：
因为 ，
所以 ，
令 ，
因为 ，且 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，
故 在区间 内恰有两个相异实根等价于 即
解得：，
综上所述， 的取值范围是 ．
方法二：
因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，
因为 ，且 ，
由 得，；由 ，得 ，
所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
因为 ，，，
又 ，
故 在区间 内恰有两个相异实根等价于 ，
即 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
28. （1） 易得 ，
当 时，令 ，得 ，
可得当 时，，
当 时，，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
当 时， 恒成立，故此时函数 在 上单调递增．
（2） 当 时，由（）知函数 在 上单调递增，不存在两个零点，
所以 ，
由题意知 ，，
所以 ，，可得 ，
不妨设 ，令 ，则 ，
由 解得 ，，
所以 ，
欲证 ，只需证明 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ， 单调递增，
所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以当 时，，即 ，原不等式得证．
29. （1） 的取值范围为 ．
（2） 求导得 ，由（）知 ．
所以函数 的极小值点为 ．
结合要证结论 ，即证 ．若 和 属于某一个单调区间，那么只需要比较 和 的大小，即探求 的正负性．
于是通过上述观察分析即可构造辅助函数 ，，代入整理得 ．
求导得 ．即 时，，则函数 是 上的单调减函数．
于是 ，则 ，即 ．
由 ， 是 的两个零点，并且在 的两侧，
所以不妨设 ，则 ，即 ．
由（）知函数 是 上的单调增函数，且 ，
所以 ．
故 得证．
30. （1） 设 与 的交点坐标为 ，
因为
所以 ．
又因为曲线 与曲线 在它们的交点处具有公共切线，
所以
解得 或 ，
所以 或 ．
（2） 令 ，
由题意知 的图象在直线 下方的部分对应点的横坐标 ，
令 ，解得 或 ．
所以 的变化情况如下：

因为 ，即 ；
，即 ，
（或者：因为当 时，，当 时，），
又因为 ．
所以 或 ．
（3）