高考数学三轮冲刺卷：排列与组合（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：排列与组合（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；）
1. 有 位男生， 位女生和 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是
A. B. C. D.

2.
A. B. C. D.

3. 高三某班下午有 节课，现从 名教师中安排 人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，则不同的安排方案种数为
A. B. C. D.

4. 名同学合影，站成前排 人后排 人，现摄影师要从后排 人中抽 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是
A. B. C. D.

5. 将 名实习教师分配到高二年级的 个班实习，若每班至少有 名实习教师，则不同的分配方案的种数为
A. B. C. D.

6. 某同学有同样的画册 本，同样的集邮册 本，分别赠送给 位朋友，每位朋友 本，则不同的赠送方法共有
A. 种B. 种C. 种D. 种

7. 用 ，，， 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A. B. C. D.

8. 有 名同学合影，站成前排 人后排 人，现摄影师要从后排 人中抽 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是
A. B. C. D.

9. 某班有 名女生和 名男生，从中选出 人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于 人的选法共有
A. B.
C. D.

10. 从 ，，，， 这五个数字中任取 个组成无重复数字的三位数，当三个数字有 和 时，则 需排在 的前面（不一定相邻），这样的三位数有
A. 个B. 个C. 个D. 个

11. 我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数 的方法有两种，即“纵式”和“横式”，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式 依此类推，交替使用纵横两式．例如： 可以表示为“”．如果用算筹表示一个不含“”的两位数，现有 根小木棍，能表示多少个不同的两位数
A. B. C. D.

12. 把 本不同的书借给甲、乙、丙 人，每人 本，不同的借书方法有
A. 种B. 种C. 种D. 种

13. 名男运动员和 名女运动员进行乒乓球混合双打比赛，则不同的对阵方法数为
A. B. C. D.

14. 万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律．十二平均律包括六个阳律（黄钟、太族、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟）．现从这十二平均律中取出 个阳律和 个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律
A. 种B. 种C. 种D. 种

15. 计算 的值是
A. B. C. D.

16. 若 ，则 的值为
A. B. C. D.

17. 从装有 个红球 个白球的袋中任取 个球，则所取 个球中至少有 个白球的概率是
A. B. C. D.

18. 将标号为 ，，，， 的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法种数为
A. B. C. D.

19. 从 人中选 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
A. 种B. 种C. 种D. 种

20. 甲、乙、丙 人站到共有 级的台阶上，若每级台阶最多站 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 已知 ，则 ．

22. 将 个相同的红球和 个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入 个球，丙、丁盒子均最多可放入 个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有 种不同的放法．

23. 回文数是指从左到右与从右到左都一样的正整数，如 ，，， 等，则在所有四位数中，回文数的个数是 ．

24. 人排成前后两排，前排 人后排 人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有几种 ．

25. 年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将 名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去 人），则共有 种分配方案．

三、解答题（共5小题；）
26. 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．

27. 有 名男生， 名女生．
（1）从中选出 名代表，有多少种选法?
（2）从中选出 名代表，男生 名，女生 名且某女生必须在内有多少种选法?
（3）从中选出 名代表，男生不少于 名，有多少种选法?
（4）分成三个小组，每组依次有 ，， 人有多少种分组方法?

28. 如果二次函数 的系数 ，， 是集合 中 个不同的数，那么可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?

29. 在 中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产A，B，C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取 个，其中A种纪念品有 个．
（1）求 的值；
（2）从B种精品型纪念品中抽取 个，其某种指标的数据分别如下：，，，，，把这 个数据看作一个总体，其均值为 ，方差为 ，求 的值；
（3）用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为 的样木，从样本中任取 个纪念品，求至少有 个精品型纪念品的概率．

30. 某科研团队硏发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了 位患者和 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：
（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（2）从该地区患者中随机选取 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求 的分布列和数学期望；
（3）假设该地区有 万人，患病率为 ．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 ?并说明理由
答案
1. D【解析】第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有 种排法；
第二步，剩余的学生全排列，共有 种排法，
所以根据分步计数乘法原理可得，符合题意的排法共有 ．
2. D
3. C
4. C【解析】第一步从后排 人中选 人有 种方法，
第二步 人前排排列，先排列选出的 人有 种方法，
再排列其余 人只有 种方法，
因此所有的方法总数的种数是 ．
5. C
【解析】有两种情况：
一组 人，另两组都是 人，有 种，
将 组分成 班，共有 种；
一组 人，另两组都是 人，有 种，
将 组分成 班，共有 种．
6. C
7. B【解析】由分步乘法计数原理知，用 ，，， 十个数字组成三位数（可有重复数字）的个数为 ，组成没有重复数字的三位数的个数为 ，则组成有重复数字的三位数的个数为 ．
8. C
9. D【解析】从中选出 人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于 人，
当选出的 人为 女 男时，共有不同选法为 种，
当选出的 人为 女 男时，共有不同选法为 种，
即从中选出 人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于 人的选法共有 种．
10. D
【解析】①当这个三位数中，数字 和 都有时，需从剩余 个数中再选一个数，方法有 种，
再把这 个数进行排列，方法有 种，故含有数字 和 的三位数共有 个．
其中满足 排在 的前面的三位数占总数的一半，故满足条件的三位数共有 个．
②当这个三位数中， 和 只有一个时，这样的三位数的个数为 ．
③当这个三位数中， 和 都没有时，这样的三位数的个数为 ．
综上可得，满足条件的三位数的个数为 ．
11. B
12. B
13. C
14. B
15. B
【解析】依题意，

16. D
17. D
18. A【解析】先将 个小球分为 ，， 和 ，， 两类，然后再进行分配可得结果．
①若 个小球分为 ，， 三部分后再放在 个不同的盒子内，
则不同的方法为 种；
②若 个小球分为 ，， 三部分后再放在 个不同的盒子内，
不同的的方法为 种．
所以由分类加法计数原理可得不同的分法有 种．
19. B【解析】因为甲乙有限制条件，
所以按照是否含有甲、乙来分类，有以下四种情况：
①若甲、乙都不选，则有 种；
②若选甲而不选乙，则有 种；
③若选乙而不选甲，则有 种；
④若甲、乙都选，则有 种．
所以共有不同的选择方案总数为 种．
20. C
【解析】因为甲、乙、丙 人站到共有 级的台阶上，且每级台阶最多站 人，
所以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上：共有 种站法；
第二类，有 人站在同一级台阶上，剩余 人独自站在一级台阶上，共有 种站法．
所以不同的站法总数是 ．
21.
【解析】由 ，得
，即
，
解得：．
22.
【解析】：；
：；
：；
：．
故共有： 种．
23.
24.
【解析】根据题意，分 步进行分析：
①，在除甲乙之外的 人中任选 人，与甲乙一起排在后排，
由于甲乙不能相邻，则有 种情况；
②，将剩下的三人全排列，安排在前排，有 种情况，
则有 种排法．
25.
【解析】由题先将 名医生分成 组，有 种，
再分配的两家医院有 种．
26. （1） 根据分步计数原理得到：（种）．
（2） 分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方法．根据分步计数原理可得：，
所以 ．
因此分为三份，每份两本一共有 种方法．
（3） 这是“不均匀分组”问题，一共有 （种）方法．
（4） 在（）的基础上在进行全排列，
所以一共有 （种）方法．
（5） 可以分为三类情况：①“，， 型”即（）中的分配情况，有 （种）方法；
②“，， 型”即（）中的分配情况，有 （种）方法；
③“，， 型”，有 （种）方法．
所以一共有 （种）方法．
27. （1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
28. 由图形特征分析，
当 时，开口向上，坐标原点在内部等价于 ；
当 时，开口向下，原点在内部等价于 ，
所以对于抛物线 来讲，原点在其内部等价于 ，
则确定抛物线时，可先定一正一负的 和 ，再确定 ，
故满足题设的抛物线共有 （条）．
29. （1） 由题意可知，该工厂一天所生产的纪念品数为 ．
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取 个，其中A种纪念品有 个，
则 ，
解得 ．
（2） 由题意可得 ，得 ．
由于总体的方差为 ，
则 ，可得 ，
所以，

（3） 设所抽取的样本中有 个精品型纪念品，则 ，解得 ，
所以，容量为 的样本中，有 个精品型纪念品， 个普通型纪念品．
因此，至少有 个精品型纪念品的概率为 ．
30. （1） 由题意知， 位患者中有 位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率佔计为 ．
（2） 由题意可知 ，其中 ，．
的所有可能的取值为 ，，，．
，
，
，
．
所以 的分布列为
故 的数学期望 ．
（3） 此人患该疾病的概率未超过 ，理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为 ，其中患者人数为 ．
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 ，
所以此人患该疾病的概率未超过 ．