高考数学三轮冲刺卷：平面向量的数量积与垂直（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：平面向量的数量积与垂直（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；）
1. 已知 ，， 与 的夹角为 ，则 等于
A. B. C. D.

2. 如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是
A. B. C. D.

3. 若向量 ， 满足 ，，且 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.

4. 已知 ，，，则 与 的夹角 为
A. B. C. D.

5. 已知向量 ， 满足 ，，，则 等于
A. B. C. D.

6. 已知向量 ，，若 ，则实数 的值为
A. B. C. D.

7. 若 ， 是两个非零的平面向量，则”“是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

8. 在四边形 中，若 ，，则四边形为
A. 平行四边形B. 矩形C. 等腰梯形D. 菱形

9. 已知菱形 的边长为 ，，则
A. B. C. D.

10. 如图，四个棱长为 的正方体排成一个正四棱柱， 是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则 的不同值的个数为
A. B. C. D.

11. 已知向量 ， 满足 ，，，则
A. B. C. D.

12. 已知 是非零向量且满足 ，，则 与 的夹角是
A. B. C. D.

13. 对任意向量 ，，下列关系式中不恒成立的是
A.
B.
C.
D.

14. 已知 ，，．若点 是 所在平面内的一点，且 ，则 的最大值等于
A. B. C. D.

15. 如图，在四边形 中，，，若 ，，则 等于
A. B. C. D.

16. 平面四边形 中，，，则四边形 的形状是
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形

17. 点 是三角形 所在平面内的一点，满足 ，则点 是 的
A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点D. 三条高的交点

18. 设 是两个单位向量，命题 是命题 的夹角等于 成立的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

19. 已知非零向量 ， 满足 ，．若 ，则实数 的值为
A. B. C. D.

20. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 （ 为坐标原点）．若 ，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 思考辨析，判断正误
功是力 与位移 的数量积．

22. 已知 ，，坐标原点 在直线 上的射影为点 ，则 ．

23. 已知向量 ，向量 ，则 的最大值是 ．

24. 在边长为 的等边 中， 为 边上一动点，则 的取值范围是 ．

25. 在正三角形 中， 是 上的点．若 ，，则 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知 ，， 与 的夹角是 ，计算：
（1）；
（2）．

27. 在平面直角坐标系 中，点 ，，．
（1）设实数 满足 ，求 的值；
（2）若以线段 ， 为邻边作平行四边形 ，求向量 与 所夹角的余弦值．

28. 已知平面上三个向量 ，， 的模均为 ，它们相互之间的夹角均为 ．
（1）求证：；
（2）若 ，求 的取值范围．

29. 已知 ，，．
（1）求 与 的夹角 ；
（2）在 中，若 ，，求 边的长度．

30. 已知向量 ，．
（1）若 为直角三角形，求 的值；
（2）若 为等腰直角三角形，求 的值．
答案
1. A【解析】．
2. A【解析】提示：考虑向量数量积的几何意义．
3. C【解析】 ， ，可得 ， 与 的夹角为 ．
4. D
5. D
6. C
7. C
8. D
9. D
10. A
【解析】由题图知， 与上底面垂直，因此 ，．
11. B【解析】．
12. B【解析】因为 ，，
所以 ，．
所以 ，，
所以 且 ，
所以 ，
所以 ．
13. B
14. A【解析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，，，
（当且仅当 时，取“”），故 的最大值为 ．
15. A
【解析】，，
所以

因为 ，
所以 ，
所以

因为 ，
所以 ，
所以

16. B【解析】 平面四边形 是平行四边形，
，
所以平行四边形 是菱形．
17. D【解析】由 可得 ，即 ，所以点 在 的高线上，同理可得点 在 、 的高线上，所以点 是 的三条高的交点．
18. A
19. B【解析】由 ，可设 ，，又 ，所以

所以 ．
20. A
【解析】以 ， 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，及 知此平行四边形的对角线互相垂直，即此平行四边形为菱形，
所以 ，
所以 是直角三角形，即 ．
设 则 得 ，
所以离心率 ．
21.
22.
23.
【解析】由题知 表示起点在原点，终点在单位圆上的向量，将 和 在平面直角坐标系中表示，如图，
由此，当 和 反向时，取得最大值．
24.
25.
【解析】如图：过点 作 于 ．
则
26. （1） 由已知得，．
因为 ，
所以 ．
（2） 因为 ，
所以 ．
27. （1） 由题设知 ，，．
由 ，得 ，
即 ，所以 ．
（2） 由题设知 ，
则 ，，
故 ，．设向量 与 所夹角为 ，
故所求余弦值 ．
28. （1） 因为 ，且 ，， 之间的夹角均为 ，
所以

所以 ．
（2） 因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 ．
29. （1） 因为

所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
（2） 因为 ，
所以

所以 边的长度为 ．
30. （1） ，．
若 ，则 ；
若 ，则 ，无解；
若 ，则 ．
综上所述，当 时， 是以 为直角顶点的直角三角形；
当 时， 是以 为直角顶点的直角三角形．
（2） 当 时，，；
当 时，，，，；
当 时，，，，．
综上所述，当 时， 是以 为斜边的等腰直角三角形．