高考数学三轮冲刺卷：椭圆的基本量与方程（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：椭圆的基本量与方程（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 设定点 ，，动点 满足条件 ，则点 的轨迹是
A. 椭圆B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段

2. 曲线 与曲线 的
A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 准线相同

3. 已知 、 是椭圆 的两焦点，过点 的直线交椭圆于点 、 ，若 ，则
A. B. C. D.

4. 如图，直线 过椭圆的左焦点 和一个顶点 ，该椭圆的离心率为
A. B. C. D.

5. 直线 与抛物线 交于 、 两点，过 、 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 、 ，则梯形 的面积为
A. B. C. D.

6. 已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.

7. 设 ， 分别是椭圆 （）的左、右焦点， 是其右准线上纵坐标为 （ 为半焦距）的点，且 ，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.

8. 过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.

9. 椭圆 的离心率为
A. B. C. D.

10. 已知 ， 为椭圆 （）的焦点， 为椭圆上一点， 垂直于 轴，且 ，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.

11. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.

12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 在椭圆上，若 ，， 是一个直角三角形的三个顶点，则点 到 轴的距离为
A. B. C. D.

13. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 ， 是一对相关曲线的焦点， 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为
A. B. C. D.

14. 已知椭圆 的长轴端点为 ，，若椭圆上存在一点 使 ，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.

15. 已知椭圆 ，， 分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆的下顶点，直线 交椭圆于另一点 ，若 ，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.

16. 已知椭圆 的焦点为 ，，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ，，则 的方程为
A. B. C. D.

17. 椭圆 上的一点 到左焦点 的距离为 ， 是 的中点，则 等于
A. B. C. D.

18. 设椭圆 的离心率 ，右焦点 ，方程 的两个根分别为 ，，则点 在
A. 圆 内B. 圆 上
C. 外D. 以上三种情况都有可能

19. 已知 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 两点，若 是正三角形，则这个椭圆的离心率是
A. B. C. D.

20. 椭圆 的左右焦点分别为 ，若椭圆 上恰好有 个不同的点 ，使得 为等腰三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 已知 ， 是椭圆 的焦点，则在 上满足 的点 的个数为 ．

22. 如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 ，，，，，， 七个点， 是椭圆的一个焦点，则 ．

23. 椭圆 的一个焦点为 ，则 等于 ．

24. 椭圆 的两个焦点是 ，，以 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为 ．

25. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设 、 为两个定点， 为正常数，，则动点 的轨迹为椭圆；
②双曲线 与椭圆 有相同的焦点；
③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点 及定直线 的距离之比为 的点 的轨迹方程为 ．
其中真命题的序号为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 当 为何值时，直线 与曲线 只有一个交点?

27. 在 中，，，求 值．

28. 已知椭圆 的两个焦点为 ，，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（点 位于 轴上方），若 ，且 ，求直线 的斜率 的取值范围．

29. 在平面直角坐标系中，已知三点 ，，，， 为坐标原点．
（1）若 是直角三角形，求 的值；
（2）若四边形 是平行四边形，求 的最小值．

30. 设 是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有 个不同的点 （），使 ，，，，组成公差为 的等差数列，求 的取值范围．
答案
1. D【解析】提示：，当且仅当 时，取得等号．而 ，所以 ，故点 的轨迹是椭圆或线段．
2. A【解析】提示：由 知该方程表示焦点在 轴上的椭圆，
由 知该方程表示焦点在 轴上的双曲线．
3. A【解析】由椭圆定义，可得 ， ， ．
4. D【解析】提示：显然 ，．
5. B
【解析】直线与抛物线交于 ， 两点，如图所示：
直线方程与抛物线方程联立，得 消 得，，故 ，．
所以 ，，所以 ，由抛物线定义可知 ，，．
6. C【解析】提示：满足 的点 在以 为直径的圆上，故只需 即可，从而 ，从而 ．
7. D【解析】，，由 得 ．
8. B【解析】因为 ，再由 ，及椭圆定义有 ，从而可得 ．
9. A
10. C
11. D
12. D
13. A【解析】不妨设椭圆：，
双曲线：．
，，，，．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
故选A．
14. B【解析】不妨设 ，
则 ，，，
所以 ，，
则 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值，
所以当 在短轴上时， 取得最大值，
因为椭圆上存在一点 使 ，
所以 （ 为短轴顶点），设 ，则 ，
又因为 ，所以离心率 ，
又因为 ，所以 的取值范围为 ．
15. A
【解析】如图．
点 在椭圆上，所以 ，
由 ，，
代入上式得，，，
在 ，，
又 ，
所以 ，即 ．
16. B【解析】设椭圆 的标准方程为 （）．
因为 ，，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，则 ，，
．
方法一：在 中，由余弦定理，
得 ．
因为椭圆 的焦点为 ，，
所以 ，．
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
方法二：
因为 ，
所以点 为椭圆的上、下顶点．不妨设 ，，
因为 ，
所以 ，代入椭圆方程得 ，解得 ．
又因为 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
17. B【解析】如图， 为椭圆的右焦点，连接 ，
则 是 的中位线，
所以 ，
又 ，
，
所以 ，
所以 ．
18. A【解析】由 不难得到 ，．故方程 化简后得 ．
所以

设点 和圆心之间的距离为 ，则 ．
19. B
20. D
【解析】当 时，椭圆上存在两点使得 为等腰三角形，当 ，或 时，各存在两个点，当 时，有 ，，所以当椭圆上有 个不同的点 时，有 ，解得 ，且 ．
21.
22.
【解析】设椭圆的另一个焦点为 ，根据椭圆第一定义有 根据椭圆的对称性得 ，所以 ．
23. 或
24.
25. ②③④
【解析】根据椭圆的定义，当 时是椭圆，所以①不正确；
双曲线 与椭圆 有相同的焦点，焦点在 轴上，焦点坐标为 ，所以②正确；
方程 的两根为 或 ，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以③正确；
设 ，则 ，整理得 ，所以 ④ 正确．
26. ．
27. 当 时，， ．
；
当 时，，
，
，
；
当 时，， ，
．
综上知， 或 或 ．
28. （1） 设椭圆 的方程为 ．
则 ，可得 ，．
所以椭圆 的方程为 ．
（2） 设直线 ．
由 得 ．
设 ，，则 ，．
又 ，所以 ，即 ．
由于 ，所以 ，即 ．
又 ，所以 ．
故斜率k的取值范围为 ．
29. （1） 由题意得，
，，，
若 ，则 ，即 ，
所以 ；
若 ，则 ，即 ，
所以 ；
若 ，则 ，即 ，无解，
所以 的值为 或 ．
（2） 若四边形 是平行四边形，则 ，
设点 的坐标为 ，
即 ，
所以 即 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ．
30. 在椭圆中：，，，设 ，，
当这个数列为增数列时 ，则 ，，且 ，又 ，所以 ，即 ；
当这个数列为减数列时 ，同理可得 ；
综上所述得 ．