新高考数学一轮复习基础巩固4.2 等比数列（精练）（含解析）

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4.2 等比数列（精练）（基础版）
题组一 等比数列基本量的计算


1．（2022·江西）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】，∴，即，
解得或（舍）．故选：B
2．（2022·四川）已知等比数列满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，即，解得，因为，故.故选：D.
3．（2022·四川攀枝花）正项等比数列的前n项和为，若，，则（       ）．
A．8 B．16 C．27 D．81
【答案】B
【解析】设正项等比数列的公比为q.由可得：，所以.
所以，解得：（舍去）所以.故选：B
4．（2022·河南）在等比数列中，，，则(        )
A．80 B．242 C． D．244
【答案】B
【解析】等比数列的公比，∴，∴．
故选：B．
5．（2022·广西）设等比数列的前项和为，且有，，则的公比为（       ）
A．或5 B．2或 C．或 D．或
【答案】C
【解析】设公比为，由，，得，解得或，
故选：C．
6．（2022·甘肃·二模）正项等比数列满足，，则的前7项和(       )
A．256 B．254 C．252 D．126
【答案】B
【解析】设正项等比数列公比为q，且q＞0，
∵，，∴，即，即，则q＝2，
∴.故选：B.
7．（2022·贵州·模拟预测（文））已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比为（       ）
A．2或 B．或 C．或2 D．或
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，则，，
两式相除得，即，解得或2.故选：A
8．（2022·湖南常德·一模）设为等比数列的前项和，若，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，，所以．故选：A．
9．（2022·北京四中高三开学考试）数列满足（，），且与的等差中项是5，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（，），则为等比数列，公比为2，又，解得：，所以.故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习）已知是首项为2的等比数列，是其前n项和，且，则数列前20项和为（       ）
A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．380
【答案】A
【解析】根据题意，所以，从而有，所以，
所以数列的前20项和等于
故选：.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（       ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】设数列的公比为，若，则，与题中条件矛盾，
故
.故选：B
12．（2022·全国·高三专题练习（文））设是等比数列，且，，则（       ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.故选：D.
题组二 等比中项


1．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，若，则（       ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意及等比数列中项的性质有，
又，所以 或-6，选项C正确.故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列，
若，
则，，
即为，，
即，，
则．
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，则（       ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，故选：B
4．（2022·北京石景山·高三专题练习）两数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．与
【答案】C
【解析】两数1、9的等差中项是，等比中项是，，，
曲线为椭圆，且，，，故选：C
5．（2022·江西宜春）在等比数列中，，，则的值为（       ）
A．48 B．72 C．144 D．192
【答案】D
【解析】由，得，由，得，所以，
所以．故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）方程的两根的等比中项是（       ）
A．和2 B．1和4 C．2和4 D．2和1
【答案】A
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知方程的两根之积为4，
又因为，故方程的两根的等比中项是．故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，且，则（       ）
A． B．5 C．10 D．15
【答案】B
【解析】因为等比数列的各项均为正数，且，
所以.
故选：B.
8．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得，，
由等比中项的性质可得，，
因此，.故选：B.
9．（2022·陕西汉中·二模（理））已知正项等比数列满足，若存在，，使得，则的最小值为（       ）.
A． B．16 C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，根据题意，，
因为数列是正项等比数列，所以，，故由上式可解得，
又 ，所以，即，所以，
则，
当且仅当，即，时取等号，
因为，为正整数，所以当，时，可得的最小值为.故选：C


题组三 等比数列前n项和的性质

1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于（       ）
A．－510 B．400
C．400或－510 D．30或40
【答案】B
【解析】∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比数列，
∴10×(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40或S20＝－30(舍)，故S40－S30＝270，∴S40＝400.选：B
2．（2020·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（       ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【答案】D
【解析】设，则，
又因为，所以，所以.故选: D
3．（2022·浙江浙江·二模）已知等比数列满足，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，
由，即，又，则，即
则当时，由，此时
即由“”可得到“”成立.
由，即，即，即或

若时，，成立
若时，，则不成立
所以若“”则“”不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习（理））设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（       ）
A．q>1 B． C． D．是数列中的最大项
【答案】A
【解析】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误；
，则B正确；，则C正确；
因为，所以是数列中的最大项，则D正确.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列中，为其前项之和，，则______
【答案】260
【解析】根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，
则，即，解得.故答案为：.
6．（2022·安徽·芜湖一中）等比数列满足：，且，，，成等差数列，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】由题可知，，
故，，
，，所以最大值为.故答案为：.
7．（2022·山东聊城一中高三期末）已知等比数列的公比，且，则___________.
【答案】120
【解析】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以

.故答案为：120
8．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．
【答案】11
【解析】由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，．故答案为：11
9．（2021·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知等比数列的前n项和，则________．
【答案】2
【解析】由题设，，
若时，，故与矛盾，
∴，即，显然成立.
故答案为：2.
10．（2022·江苏）等比数列的前项和为,则实数_______.
【答案】1
【解析】
最后代回原式进行检验。
11．（2021·北京·高三专题练习）已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则__________．
【答案】
【解析】因为数列的前项和，
所以， ；
又，因为数列为等比数列，则也满足，
即，解得.故答案为
题组四 等比数列定义及其运用


1．（2022·全国·课时练习）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（       ）．
A． B．或 C． D．且
【答案】D
【解析】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且,
所以且.故选：D.
2．（2022·北京·人大附中高三开学考试）若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“，，”，取，则，为等比数列．
反之不成立，为等比数列，设公比为，则，，只有时才能成立满足．
数列满足，则“，，”是“为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）若，，成等比数列且公比为，那么，，（       ）
A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为
【答案】C
【解析】因为，，成等比数列且公比为，所以，，可得，，由等比数列的中项可判断得，，成等比数列，并且公比为.故选：C
4．（2022·天津和平）已知数列中，，.证明：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，
又，所以为首项是4，公比为2的等比数列.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：.证明数列是等比数列，并求数列的通项；
【答案】证明见解析，.
【解析】证明：因为，所以．因为，所以，所以．又，
所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．
6．（2020·湖南·长沙一中高三阶段练习）数列满足：，．记，求证：数列为等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】∵，∴，
∴，∴数列是以，公比为的等比数列．
7．（2021·江西·赣州市赣县第三中学）已知数列满足： ，且.求证：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】因为，，，所以，
所以，即，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列，并求通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】，即，又，
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，此时有，
当时，，
而也满足，所以；
9．（2022·天津·耀华中学）已知数列中，，.求证：数列是等比数列.
【答案】证明见详解；
【解析】设，
因为 ，
所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列.
10．（2022·陕西）已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列；
【答案】2
【解析】若数列是等比数列，则（为非零常数），
即，对于任意恒成立，
则，解得，
故当时，数列是等比数列；
11．（2022·全国·高二课时练习）设数列{an}满足，其中a1＝1.证明：是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】，
∴是首项为，公比为2的等比数列；
题组五 等比数列的实际应用

1．（2022·全国·高三专题练习）2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（       ）
A．2022年12月11日 B．2022年11月11日 C．2022年10月11日 D．2022年9月11日
【答案】C
【解析】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，
其前n项和为.
因为为增函数，且，
所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，
即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（       ）
A．1＋ B．
C． D．
【答案】B
【解析】该命题说明每天截取的线段长度构成了以为首项，为公比的等比数列，
因为，所以能反映命题本质的式子是.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（       ）（结果精确到0.1．参考数据：，．）
A．2.9天 B．3.9天 C．4.9天 D．5.9天
【答案】C
【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An，Bn，由题意可得：，
解得2n＝ ，2n＝1（舍去）．∴n．故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（       ）
（取，）
A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元
【答案】D
【解析】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，
，、
同理可得，所以，而，
所以数列是等比数列，公比为，
所以，，
总利润为．
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，从塔底数第二层灯的盏数为，
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得
解得：或(舍)
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为___________里.（取1.18=2.14）

【答案】4560
【解析】第8匹马､第7匹马､……､第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，
且首项为400，公比为1.1，
故这8匹马的最长日行路程之和为里.
故答案为：4560.
8．（2022·全国·高三专题练习）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为__________．
【答案】
【解析】设第七天走的路程为，则第六天的行程为，
第五天的行程为，依次计算，
那么七天总共走的路程为.
故答案为：.
9．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）梅花1朵花开五瓣，加花蕊部分，抽象后绘成图（1），得端点数.若再以五片花瓣为蕊作五个缩小版梅花，记为缩小1次.抽象后绘成图（2），得梅花数，端点数.以此类推，缩小4次后有梅花_________朵，缩小3次后共得端点数________个?

【答案】     781     781
【解析】由已知得，
所以，
故答案为：781；781.