新高考数学一轮复习基础巩固8.7 指数运算及指数函数（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习基础巩固8.7 指数运算及指数函数（精讲）（含解析），共14页。试卷主要包含了指数的运算，指数函数的三要素，指数函数的性质，指数函数的综合运用等内容，欢迎下载使用。
   8.7 指数运算及指数函数（精讲）（基础版）考点一 指数的运算【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简：（1） （2）(a>0，b>0).（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】1）原式 （2）原式＝.（3）原式.   【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）计算：(1)(2)；(3)(4)求值：【答案】(1)(2)(3)625(4)【解析】由对数和指数的运算求解即可.(1)(2)(3)原式.(4)2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)因为，且，所以；(2)因为，所以，则，因为，所以舍去）；(3)解：.3（2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；（2）已知是方程的两根，求的值.【答案】（1）16；（2）．【解析】（1）原式＝；（2）由题意，，又，而，所以，所以，考点二 指数函数的三要素【例2-1】（2022大同期中）函数 是指数函数，则有（　　）  A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1【答案】C【解析】由已知得 ，即 ，解得 。 故答案为：C【例2-2】（2022赣州）函数 的值域为（　　）  A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的值域是 ．故答案为：B．【一隅三反】1．（2022保山月考）若函数 是指数函数，则（　　）   A． 或  B．C． D． 且 【答案】C【解析】由题意得 ，解得 . 故答案为：C2．（2022湖北期末）已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得：∴5．故答案为：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．【答案】【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：.4．（2022·上海·高三开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】令，由题意得的值域为，又的值域为，所以解得所以的取值范围为．故答案为：考点三 指数函数的性质【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，又在区间上是增函数，所以，故有.故选：B．【例3-2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））设函数则满足的实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为，所以，解得．综上，实数的取值范围是．故选：B．【例3-3】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知，则a，b，c大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为.所以.因为.所以.所以.故选：A.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．2．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，又恒成立，即恒成立，因为在上单调递减，所以，所以，即；故选：B3．（2022·上海长宁·二模）若函数存在反函数，则常数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数存在反函数，所以函数在上单调，若单调递增，即，则在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，所以；若单调递减，即，则在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，所以；综上可得；故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．【答案】【解析】因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示： 由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．故答案为：4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.【答案】.【解析】函数的定义域为R.因为，所以，所以，即是奇函数.因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.所以可化为.所以，解得：或.故答案为：. 考点四 指数函数的综合运用【例4】（2022南京月考）已知函数 函数 （1）若 的定义域为R求实数m的范围.  （2）若函数y=|f(x)-3|-k=0在区间[-2，1]上有且仅有1个解，求实数k的范围，（3）是否存在实数a，b使得函数 的定义域为[a，b]且值域为[2a，2b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.  【答案】见解析【解析】（1）解： 定义域为R，  则 对任意 恒成立， 时， 不恒成立， 时， 且 ，解得 ；综上，实数m的取值范围是 .（2）解： 即 ，由方程有解可得 ，  时， 仅有一解 ，满足题意； 时， ， 在 上单调递减，值域为 ，则 仅有一个属于 ， 时 ， 时 ，两式仅有一个成立可得 ；综上k的范围是 .（3）解：令 ；  在 递增， 递减，若 ，则 在 递增，则值域为 ，此时 ， ，即a，b为 两解，由 可得 ， ，满足 ；若 ，则 在 递增， 递减，则 最大值为 ，则 ，即 ，不满足 ；若 ，可得 ，而 ，不满足值域为 ；综上，存在 ， 满足题意.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则（   ）A．为偶函数 B．是增函数C．不是周期函数 D．的最小值为【答案】AD【解析】选项A，由得，函数定义域是，关于原点对称，，所以函数为偶函数，正确；选项B，定义域是，，即是奇函数，易知是R上的增函数，函数值域为R，，所以存在，值得，从而，于是，，但，所以不是增函数，B错；选项C，定义域是R，，因此是函数的一个周期，C错；选项D，由上推理知是奇函数，时， ，时，，易知函数为增函数，所以，综上函数最小值是1，D正确．故选：AD．2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ）A．的图象关于坐标原点对称 B．的图象关于轴对称C．的最大值为1 D．在定义域上单调递减【答案】AD【解析】因为，所以为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；因为，，，所以不是偶函数，图象不关于轴对称，故不B正确；因为，又，所以，所以，所以，故C不正确；因为，且为增函数，所以在定义域上单调递减，故D正确.故选：AD3．（2022张掖期末）已知函数 （ ）在区间 上有最大值 和最小值 .设 .（1）求 ， 的值；（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.【答案】见解析【解析】（1）解：∵ ，∴ 为开口向上的抛物线，对称轴为： ，在 上是减函数，∴ ，解得 （2）解： .由于 则有 整理得 令 ，则 .∵ ，∴令 ， 则 ∵ 有解，∴ .故符合条件的实数 的取值范围是