新高考数学一轮复习基础巩固9.6 导数的综合运用（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习基础巩固9.6 导数的综合运用（精讲）（含解析），共19页。试卷主要包含了零点问题，不等式成立，双变量等内容，欢迎下载使用。
9.6 导数的综合运用（精讲）（基础版）考点一 零点问题【例1】（2022·全国·成都七中）设函数​为常数).(1)讨论​的单调性；(2)讨论函数​的零点个数.【答案】(1)递减区间，递增区间；(2)答案见解析.【解析】（1）当时，由求导得：，显然函数在上单调递增，而，则当时，，当时，，即在上递减，在上递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.（2）由（1）知函数在上递减，在上递增，，令，，求导得，函数在上单调递增，函数在上递减，当时，取值集合为，函数取值集合为，因此函数在上的函数值集合为，当时，函数的取值集合为，函数取值集合为，因此函数在上的函数值集合为，所以当，即时，函数无零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.【一隅三反】1．（2022·全国·兴国中学）已知函数在点处的切线方程为．(1)求函数的单调区间，(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是(2)【解析】（1）由题可得，由题意得，解得，所以，由得或，由得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）因为，由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，的单调递减区间是，单调递增区间是，依题意，要使有三个零点，则，即，解得，经检验，，根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为．2．（2022·黑龙江）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线.(1)求的值；(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由.【答案】(1)1(2)1个零点，理由见解析【解析】（1）依题意得：函数，其导函数为 ，，所以．曲线和在原点处有相同的切线.，．（2）由（1）可知，，所以；当时，，，此时无零点．当时， 令则，显然在上单调递增，又，，所以存在使得，因此可得时，，单调递减；时，，单调递增；又， 所以存在，使得，即时，，，单调递减；时，，，单调递增；又，，所以在上有一个零点．综上，在上有1个零点．3．（2022·河南）已知.(1)讨论的单调性；(2)若有一个零点，求k的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增.当时，在上，，单调递增；在上，，单调递减.综上可知，时，在上单调递增.时，在上单调递增，在上单调递减.（2）有一个零点，可得有一个实根，令，.令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.∴.又，∴时，；时，.大致图象如图所示，若直线y＝－k与的图象有一个交点，则或，即或.∴k的取值范围是.考点二 不等式成立【例2】（2022·江西南昌）已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)【解析】（1）解：当时，，，当时，，，所以，即在上单调递增，当时，，，所以，即在上单调递减，则的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解：因为，则，①当时，即时，因为，，，所以，因此函数在区间上单调递增，所以，不等式在区间上无解；②当时，即时，当时，，，因此，所以函数在区间上单调递减，，不等式在区间上有解．综上，实数的取值范围是．【例2-2】（2022·四川成都）已知函数．(1)当时，求证：；(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）当时，函数，∴，当时，，∴在上单调递减，当时，，∴在上单调递增，∴，即．（2）由已知得，当时，令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，∴，由恒成立得，即，取对数得，即，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，又∵，∴，得，即，所以a的取值范围为．   【一隅三反】1．（2022·甘肃定西）已知函数， (1)求在处的切线方程(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）由，可得，所以切线的斜率，．所以在处的切线方程为，即；（2）令，则，令，，在上，，在上单调递增，，．2．（2022·四川眉山）已知.(1)求的极值点；(2)若不等式存在正数解，求实数的取值范围.【答案】(1)极大值点为，极小值点为(2)【解析】（1）解：函数的定义域为，，令可得或，列表如下：增极大值减极小值增 所以，函数的极大值点为，极小值点为.（2）解：由题意可知，存在，使得，即，令，其中，则，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则，所以，.3．（2022·广东广州·一模）已知函数，.(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，显然满足题意当时，若函数只有一个零点，即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为只有一个根，即直线与函数（且）的图像只有一个交点.，令，得，在和上，，在上，，所以在和上单调递减，在上单调递增.在时有极小值，图像如图所示：由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，则或，综上.（2）恒成立，等价于，令（），，①若时，，所以在上单调递增，，即，满足，②若时，则，，所以在上单调递增，当时，，不成立故不满足题意.③若时，令，，，，，单调递减，，单调递增，只需即可，，，令，在上单调递增，，时，，，，所以在上单调递增，，即，综上：考点三 双变量【例33】（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设函数（​为常数）.(1)讨论​的单调性；(2)若函数​有两个不相同的零点​， 证明:​.【答案】(1)在​上单调递减，​上单调递增.(2)证明见解析【解析】（1）由（），得，令，则，所以在上单调递增，因为，所以当时，，当时，，所以​在​上单调递减，​上单调递增.（2）由（1）的结论，不妨设​.又​均​，只需证​.构造函数​.则，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以在上单递增，所以，所以​恒成立，结论得证.【一隅三反】1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若在有两个极值点，求证：．【答案】(1)当时，在上单调递增；当或时，在上单调递减，在和上单调递增.(2)见解析【解析】（1）由，求导得，易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，①当时，即，，则在上单调递增；②当时，即或，令时，解得或，当时，，则在上单调递减；当或，，则在和上单调递增；综上所述，当时，在上单调递增；当或时，在上单调递减，在和上单调递增.（2）在上由两个极值点，或，且为方程的两个根，即，，，，即，将，代入上式，可得：，由题意，需证，令，求导得，当时，，则在上单调递减，即，故.2．（2022·四川·高三开学考试（理））已知函数．(1)当时，求证：；(2)当时，已知，是两个不相等的正数且，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）当时，函数，∴，当时，，∴在上单调递减，当时，，∴在上单调递增，∴，即．（2）当时，函数，∴，当时，，∴在上单调递增，当时，，∴在上单调递减，根据题意不妨设，①先证明，即证，∵在上单调递增，∴只需证，设，则，∵，，∴，，∴，在上单调递减，∴由得，即得证，∴．②再证明，构造过函数的切线，过与两点函数的割线，不妨设，设，，∴，，∴单调递增，∵得，单调递增，∴得，∴得．设，，由（当地取等），得，则，∴得，∴得．由得，得，∴，∴．综上得．8．（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（理））已知函数．(1)当时，，求实数m的取值范围；(2)若，使得，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由，得，即，其中，令，得，设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以在上有最大值，，所以m的取值范围为；（2）由，可得，整理为，令，则，所以在上单调递增，不妨设，所以，从而，所以，所以，下面证明，即证明，令，即证明，其中，只要证明，设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以．4．（2022·河南·郑州市第七中学高三阶段练习（理））巳知函数.(1)求函数f（x）的最大值;(2)若关于x的方程有两个不等实数根证明: 【答案】(1)2(2)证明见详解【解析】（1）因为，所以.令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）方程可化为.设，显然在上是增函数，又，所以有，即方程有两个实数根，.由（1）可知，则有，所以的取值范围为.因为方程有两个实数根，，所以，则，要证，即证.，需证.需证.不妨设，令，则，即要证.设，则，所以在上是增函数，，即成立，故原式成立.