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    新高考数学一轮复习基础巩固9.6 导数的综合运用(精练)(含解析)

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    这是一份新高考数学一轮复习基础巩固9.6 导数的综合运用(精练)(含解析),共24页。
    9.6 导数的综合运用(精练)(基础版)1.(2022·内蒙古包头·高三开学考试(理))已知函数(1),求的单调区间;(2)讨论的零点情况.【答案】(1)递增区间为,递减区间为(2)答案见解析【解析】1)解:当时,则,可得,解得时,时,时,所以单调递增,单调递减.2)解:当时,时,等价于,则时,时,时,所以单调递增;在单调递减,且当时,,当时,;当时,如图所示,可得的极大值,,即时,只有1个交点,即只有1个零点;时,2个交点,即2个零点;时,3个交点,即3个零点.综上,时,只有1个零点;当时,2个零点;时,3个零点.2.(2020·陕西·榆林市第十中学高三期中(理))已知函数.(1)讨论的单调性;(2),函数有两个不同的零点,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【解析】1)解:函数的定义域为,且.时,即当时,对任意的,此时函数的增区间为时,即当时,由可得,由可得此时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.综上所述,当时,函数的增区间为时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.2)解:由,可得,其中构造函数,其中,所以,直线与函数的图象有两个交点,,当时,,此时函数单调递增,时,,所以,函数单调递减,所以,函数的极大值为,且当时,,如下图所示:由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,因此,实数的取值范围是.3.(2022·广东·金山中学高三阶段练习)已知函数,和(1)有相同的最小值,求的值;(2)有两个零点,求的取值范围.【答案】(1)(2) 【解析】1时,R上单调递减,无最值,舍去时,令,则上单调递减,在上单调递增,则,则的定义域为,令,则上单调递减,在上单调递增,则 依题  2由题意可知:,即,则,则上单调递增,即上有两个零点由(1)可得:,解得:此时上有一个零点时,下证上有一个零点,则,则单调递减,则,即,令,则,则,则上单调递增,则上有一个零点的取值范围为4.(2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习)已知函数的导数.(1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数;(2)判断的零点个数.【答案】(1)在区间上存在的极大值点个数为1,理由见解析;(2)2个零点,理由见解析.【解析】1在区间上存在的极大值点个数为1,理由如下:,令,令时,,所以上单调递减,故存在,使得且当时,,当时,所以处取得极大值,在区间上存在的极大值点个数为12的定义域为时,由(1)知,上单调递增,而所以当时,上单调递减,又所以上的唯一零点;时,由(1)知,上单调递增,在上单调递减,所以存在,使得且当时,,当时,所以单调递增,在单调递减,,所以当时,所以上没有零点;时,,所以上单调递减,所以上有唯一零点;时,,所以,从而上无零点;综上:有且仅有两个零点.1.(2022·广东汕头·高三阶段练习)已知函数.(1)的单调区间;(2)时,若恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】1)函数定义域为..,则有.i.时,恒成立,有,所以上单增,无减区间;ii. 时,令解得:.时,的对称轴,所以上单增.,所以恒成立,所以有,所以上单增,无减区间;时,的对称轴,且.由二次函数的性质可得:;在;在.所以在上,有单增;在上有单减;在上有单增.上单增,上单减,上单增.综上所述:当时,的递增区间为递减区间为时,的递增区间为,无减区间.2时,.恒成立,可化为恒成立.恒成立.,因为为增函数,为增函数,所以为增函数,所以可化为恒成立,只需恒成立.,只需.由(1)可知,上单调递增,所以,即,解得:.即实数的取值范围为.2.(2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习(文))已知.(1)时,求曲线在点处的切线方程;(2)恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】1时,所以切线方程为:,即.2恒成立,即上恒成立,,得上,所以函数上单调递减,所以故有.3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(1)时,求的单调区间;(2)对任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)的递增区间为,无递减区间;(2) 【解析】1)解:当时,求导 ,解得: 在(01)单调递减,在(1+∞)单调递增,在(0+∞)上恒成立,的递增区间为(0+∞),无递减区间;2)解:由(1)知:又因为在(1+∞)单调递增,gxg1)=2a≤2时,[1+∞)单调递增,,满足题意.a2时,设,则时,[1+∞)递增,,使[1+∞)单调递增,时,0,即0,所以上单调递减,时,,不满足题意.的取值范围为综上可知:实数的取值范围( 2]4.(2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试(理))已知函数.(1)若函数有一个零点,求k的取值范围;(2)已知函数,若恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】1定义域为,由于有一个零点,可得方程有且仅有一个实根,,由;由上单调递增,在上单调递减,最大值,又时,时,.画出大致图像如图所示,若直线yk的图像有一个交点,则.k的取值范围是.2方法一:若恒成立,即恒成立.恒成立,只需,所以上单调递减,时,.上单调递增,在上单调递减..所以的取值范围是.方法二:由,现证明在前提下,原式恒成立.*),现证明,,构造解得,令解得上单调递减,在上单调递增,成立;构造解得,令解得上单调递减,在上单调递增,成立,*)式成立,原式得证.5.(2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高三开学考试)已知函数(1)在点处的切线方程(2)若对于任意的,都有成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)a4【解析】1)解:因为,所以所以切线的斜率所以处的切线方程为,即2解:若对任意的恒成立,则对任意的恒成立,对任意的恒成立,,只需满足因为,所以由时,单调递减,时,单调递增,所以当时函数取得极小值即为最小值,即,所以a4.6.(2022·北京·高三开学考试)已知函数.(1)时,求函数的单调区间和极值;(2)若曲线不存在斜率为-2的切线,求a的取值范围;(3)时,恒成立,求a的取值范围.(只需直接写出结论)【答案】(1)单调递增区间为;单调递减区间为;极大值,极小值(2)a的取值范围为(3)a的取值范围为.【解析】1)由, 得.                      时,                                     ,得                                     此时的变化如下:00极大值极小值 所以的单调递增区间为                    的单调递减区间为                                  函数时,取得极大值时,取得极小值.2因为不存在斜率为的切线,  所以            即方程无解,所以解得所以a的取值范围为3不等式可化为,则时,,又所以函数上单调递增,所以当时,,此时所以函数上单调递增,又所以当时,所以时,上恒成立,时,方程的判别式因为,所以,所以所以方程有两个不相等的实数根,设其根为,且,则所以所以当时,此时,所以函数上单调递减,又所以当时,所以时,上不可能恒成立,综上可得a的取值范围为.1.(2022·黑龙江·高三开学考试)已知函数存在两个极值点.(1)的取值范围;(2)的最小值.【答案】(1)(2)【解析】1)由题意知:定义域为,则有两个不等正根,解得:实数的取值范围为.2)由(1)知:的两根,则,则时,;当时,上单调递减,在上单调递增;的最小值为.2.(2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习)已知函数 .(1)的单调区间;(2)有两个不同的零点,证明:.【答案】(1)详见解析;(2)证明见解析.【解析】1时, 令, 解得,令, 解得所以的单调递减区间为的单调递增区间为, 即时,上恒成立,所以的单调递减区间为, 即时, 令, 解得, 解得所以的单调递增区间为 的单调递减区间为, 即时, 令, 解得 , 令 , 解得所以的单调递增区间为 的单调递减区间为 综上,当时,的单调递减区间为的单调递增区间为时,的单调递减区间为时,的单调递增区间为 的单调递减区间为时,的单调递增区间为 的单调递减区间为 2, 即, 即所以, 所以所以, 解得,令, 解得所以上单调递增,在上单调递减,又当时,, 当时,不妨设 , 则要证, 即证上单调递增,所以只需证 ,即证即证, 即证 , 所以, 所以上恒成立,所以上单调递减, 即 上单调递减, 所以, 所以上单调递减, 所以所以.3.(2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试(理))已知为自然对数的底数.(1)上的单调函数,求实数的取值范围;(2)时,若有两个正极值点,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】1 上的单调函数, 上恒成立,, , , 显然不成立,上恒成立, ,, 成立,,,问题转化为恒成立,恒成立 , , , 解得: , , 解得:,递增, 递减, 递增,趋向于, 趋向于趋向于, 趋向于, 趋向于, 趋向于画出函数的大致图象, 如图示:的取值范围是;2证明: 结合(1)由, :,有两个正极值点, 不妨设,,        整理得: ,要证, 只需证明: 即可,只需证明, 即只需证明即可, ,故原命题成立.4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(1)时,,求的取值范围;(2)时,方程有两个不相等的实数根,证明:【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】1,设 ,当时,令,当时,单调递减;当时,单调递增,,与已知矛盾.当时,上单调递增,,满足条件;综上,取值范围是2)证明:当时,,当,当,则在区间上单调递增,在区间上单调递减,不妨设,则,要证,只需证在区间上单调递增,只需证只需证.设,则在区间上单调递增,,即成立,5.(2022·四川凉山 )已知函数(1)讨论的单调性;(2)证明:若,则【答案】(1)时,上单调递增;时,上单调递减,在上单调递增(2)证明见解析【解析】1)由题意知:时,当时,上单调递增;时,当时,,当时,上单调递减,在上单调递增综上,时,上单调递增;时,上单调递减,在上单调递增.2)证明:,即要证,只需证即证 ,则上单调递增,,不等式成立,即成立.6.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知函数(1)讨论的极值点个数;(2)内有两个极值点,且,求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】1,令时,,即,则上单调递减,无极值点;时,有两个零点,即单调递减;时,,即单调递增,所以处取极小值,在取极大值,有2个极值点,综上,当时,无极值点,当时,有2个极值点;2由题意可得有两个零点,故,所以 ,故,同理,所以结合,则时,单调递增,又所以,所以,则因为,所以.7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)求函数的极值;(2)若函数的最小值为0)为函数的两个零点,证明:.【答案】(1)极小值为,无极大值(2)证明见解析【解析】(1)),时,则恒成立,上单调递增,故没有极值;,则当时,单调递减,时,单调递增,有极小值,极小值为,无极大值.(2)证明:由(1)可知,当时,有最小值,由函数的最小值为0,得由题知),,则,则上单调递增,上,单调递减,上,单调递增,得证.8.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)有两个极值点,证明【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)解:时,时,,则,则,或,则综上:当时,上单调递增,时,上单调递增,上单调递减.(2)有两个极值是方程的两个不等实根,则要证:,即证:不妨设,即证:即证:对任意的恒成立,则从而上单调递减,故,所以
     

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