新高考数学一轮复习基础巩固9.6 导数的综合运用(精练)(含解析)
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9.6 导数的综合运用(精练)(基础版)1.(2022·内蒙古包头·高三开学考试(理))已知函数.(1)若,求的单调区间;(2)讨论的零点情况.【答案】(1)递增区间为,递减区间为(2)答案见解析【解析】(1)解:当时,则,可得,令,解得,当时,,当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.(2)解:当时,;当时,等价于,令,则,当时,;当时,;当时,;所以在单调递增;在单调递减,且当时,,当时,;当时,,如图所示,可得为的极大值,当,即时,与只有1个交点,即只有1个零点;当时,与有2个交点,即有2个零点;当时,与有3个交点,即有3个零点.综上,时,只有1个零点;当时,有2个零点;当时,有3个零点.2.(2020·陕西·榆林市第十中学高三期中(理))已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)设,函数有两个不同的零点,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【解析】(1)解:函数的定义域为,且.当时,即当时,对任意的,,此时函数的增区间为;当时,即当时,由可得,由可得,此时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.综上所述,当时,函数的增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)解:由,可得,其中,构造函数,其中,所以,直线与函数的图象有两个交点,,当时,,此时函数单调递增,当时,,所以,函数单调递减,所以,函数的极大值为,且当时,,如下图所示:由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,因此,实数的取值范围是.3.(2022·广东·金山中学高三阶段练习)已知函数,和,(1)若与有相同的最小值,求的值;(2)设有两个零点,求的取值范围.【答案】(1)(2) 【解析】(1),当时,在R上单调递减,无最值,舍去当时,令,则∴在上单调递减,在上单调递增,则∵,则的定义域为,令,则∴在上单调递减,在上单调递增,则 依题 (2)由题意可知:令,即,则即,则∵在上单调递增则,即在上有两个零点由(1)可得:,解得:此时在上有一个零点当时,下证在上有一个零点取,则令,则∴在单调递减,则,即∵,令,则∴令,则又∵,则∴在上单调递增,则即∴在上有一个零点则的取值范围为4.(2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习)已知函数,为的导数.(1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数;(2)判断的零点个数.【答案】(1)在区间上存在的极大值点个数为1,理由见解析;(2)2个零点,理由见解析.【解析】(1)在区间上存在的极大值点个数为1,理由如下:,,,令,,则,令,,,当时,,所以,即在上单调递减,又, ,故存在,使得,且当时,,当时,,所以在处取得极大值,故在区间上存在的极大值点个数为1;(2)的定义域为,①当时,由(1)知,在上单调递增,而,所以当时,,故在上单调递减,又,所以是在上的唯一零点;②当时,由(1)知,在上单调递增,在上单调递减,而,,所以存在,使得,且当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减,又,所以当时,,所以在上没有零点;③当时,,所以在上单调递减,而,所以在上有唯一零点;④当时,,所以,从而在上无零点;综上:有且仅有两个零点.1.(2022·广东汕头·高三阶段练习)已知函数.(1)求的单调区间;(2)当时,若在恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】(1)函数定义域为..令,则有.i.当时,恒成立,有,所以在上单增,无减区间;ii. 当时,令解得:,.当时,的对称轴,所以在上单增.又,所以恒成立,所以有,所以在上单增,无减区间;当时,的对称轴,且,.由二次函数的性质可得:在上;在上;在上.所以在上,有,单增;在上有,单减;在上有,单增.即在上单增,在上单减,在上单增.综上所述:当时,的递增区间为,,递减区间为,当时,的递增区间为,无减区间.(2)当时,.在恒成立,可化为在恒成立.即,即在恒成立.令,因为为增函数,为增函数,所以为增函数,所以可化为在恒成立,只需在恒成立.记,只需.由(1)可知,在上单调递增,所以,即,解得:.即实数的取值范围为.2.(2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习(文))已知.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若对恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)当时,,,,,所以切线方程为:,即.(2)恒成立,即在上恒成立,设,,令,得,在上,,所以函数在上单调递减,所以,,故有.3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)的递增区间为,无递减区间;(2) 【解析】(1)解:当时,,求导,设,则,令 ,解得: ;,,∴ 在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,则,∴在(0,+∞)上恒成立,∴的递增区间为(0,+∞),无递减区间;(2)解:,由(1)知:=,又因为在(1,+∞)单调递增,则g(x)≥g(1)=2,①当a≤2时,,在[1,+∞)单调递增,∴,满足题意.②当a>2时,设,则,当时,,∴在[1,+∞)递增, ,,∴∃,使,∵在[1,+∞)单调递增,∴当时,<0,即<0,所以在上单调递减,又,∴当时,,不满足题意.∴的取值范围为,综上可知:实数的取值范围(﹣ ,2].4.(2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试(理))已知函数.(1)若函数有一个零点,求k的取值范围;(2)已知函数,若恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)定义域为,由于有一个零点,可得方程有且仅有一个实根,令,,由得;由得,∴在上单调递增,在上单调递减,∴最大值,又,∴时,;时,.画出大致图像如图所示,若直线y=k与的图像有一个交点,则或.∴k的取值范围是.(2)方法一:若恒成立,即恒成立.∵,∴恒成立,只需,令,,令,,所以在上单调递减,而,∴,;,,即时,,,.∴在上单调递增,在上单调递减.故.所以的取值范围是.方法二:由得,现证明在前提下,原式恒成立.∵,∴(*),现证明,,,构造,,令解得,令解得,即在上单调递减,在上单调递增,∴成立;构造,,令解得,令解得,即在上单调递减,在上单调递增,成立,∴(*)式成立,原式得证.5.(2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高三开学考试)已知函数, ()(1)求在点处的切线方程(2)若对于任意的,都有成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)a4【解析】(1)解:因为,所以,所以切线的斜率,.所以在处的切线方程为,即;(2)解:若对任意的恒成立,则对任意的恒成立,即对任意的恒成立,令,,只需满足,,又,因为,所以由得,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以当时函数取得极小值即为最小值,即,所以a4.6.(2022·北京·高三开学考试)已知函数.(1)当时,求函数的单调区间和极值;(2)若曲线不存在斜率为-2的切线,求a的取值范围;(3)当时,恒成立,求a的取值范围.(只需直接写出结论)【答案】(1)单调递增区间为和;单调递减区间为;极大值,极小值(2)a的取值范围为;(3)a的取值范围为.【解析】(1)由, 得. 当时, 令,得 此时,随的变化如下:00↗极大值↘极小值↗ 所以的单调递增区间为和 的单调递减区间为 函数在时,取得极大值,在时,取得极小值.(2)因为不存在斜率为的切线, 所以 即方程无解,所以解得,所以a的取值范围为;(3)不等式可化为,设, ,设,则当时,,,又所以,函数在上单调递增,所以当时,,此时,所以函数在上单调递增,又,所以当时,,所以时,在上恒成立,当时,方程的判别式,因为,所以,所以,所以方程有两个不相等的实数根,设其根为,且,则,所以,所以当时,,此时,所以函数在上单调递减,又,所以当时,,所以时,在上不可能恒成立,综上可得a的取值范围为.1.(2022·黑龙江·高三开学考试)已知函数存在两个极值点.(1)求的取值范围;(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意知:定义域为,;令,则有两个不等正根,,解得:,实数的取值范围为.(2)由(1)知:,是的两根,则;;令,则,当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增;,即的最小值为.2.(2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习)已知函数 .(1)求的单调区间;(2)若有两个不同的零点,证明:.【答案】(1)详见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)∵,∴,当时, 令, 解得,令, 解得,所以的单调递减区间为,的单调递增区间为;当, 即时,在上恒成立,所以的单调递减区间为,当, 即时, 令, 解得, 令 , 解得或, 所以的单调递增区间为 ,的单调递减区间为,;当 , 即时, 令, 解得 , 令 , 解得或 , 所以的单调递增区间为 ,的单调递减区间为 ,;综上,当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为;当时,的单调递减区间为;当时,的单调递增区间为 ,的单调递减区间为,;当时,的单调递增区间为 ,的单调递减区间为 ,;(2)令, 即, 即, 所以, 令, 所以, 所以, 令 , 解得,令, 解得, 所以在上单调递增,在上单调递减,又当时,, 当时,,不妨设 , 则,要证, 即证, 又在上单调递增,所以只需证 ,即证, 即证, 即证 ,令, 所以, 令, 所以在上恒成立,所以在上单调递减, 即 在上单调递减, 所以, 所以在上单调递减, 又, 所以, 所以.3.(2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试(理))已知,为自然对数的底数.(1)若是上的单调函数,求实数的取值范围;(2)当时,若有两个正极值点,,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1) 若是上的单调函数, 则 或在上恒成立,若时, 即, 当时, 显然不成立,故在上恒成立, 即 ,时, 成立,时,,问题转化为在恒成立,且在恒成立 令, 则 , 令, 解得: 或, 令, 解得:,故在递增, 在递减, 在递增,趋向于时, 趋向于;趋向于时, 趋向于;时, ;趋向于时, 趋向于画出函数的大致图象, 如图示:故的取值范围是;(2)证明: 结合(1)由, 得:,若有两个正极值点, 不妨设,则, 则 ① ②①②整理得: ,要证, 只需证明: 即可,只需证明, 即只需证明即可, 而,故原命题成立.4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)若时,,求的取值范围;(2)当时,方程有两个不相等的实数根,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】(1)∵, ,∴,设 ,,当时,令得,当时,,单调递减;当时,,单调递增,∴,与已知矛盾.当时,,∴在上单调递增,∴,满足条件;综上,取值范围是.(2)证明:当时,,当,,当,,则在区间上单调递增,在区间上单调递减,不妨设,则,要证,只需证,∵在区间上单调递增,∴只需证,∵,∴只需证.设,则,∴在区间上单调递增,∴,∴,即成立,∴.5.(2022·四川凉山 )已知函数.(1)讨论的单调性;(2)证明:若,,则.【答案】(1)时,在上单调递增;时,在上单调递减,在上单调递增(2)证明见解析【解析】(1)由题意知:.当时,当时,,在上单调递增;当时,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增综上,时,在上单调递增;时,在上单调递减,在上单调递增.(2)证明:∵,即,又,∴要证,只需证,即证 ①设,,则,∴在上单调递增,∵,∴,不等式①成立,即成立.6.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知函数,(1)讨论的极值点个数;(2)若在内有两个极值点,,且,求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】(1),令,,当时,,即,则在上单调递减,无极值点;当时,有两个零点,,当,,即,单调递减;当时,,即,单调递增,所以在处取极小值,在取极大值,有2个极值点,综上,当时,无极值点,当时,有2个极值点;(2)由题意可得在有两个零点,故且,所以, 由得,故,同理,又,所以,结合知,令,则,当时,,单调递增,又,所以即,所以,则,因为,所以.7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(,).(1)求函数的极值;(2)若函数的最小值为0,,()为函数的两个零点,证明:.【答案】(1)极小值为,无极大值(2)证明见解析【解析】(1)(),,若时,则恒成立,在上单调递增,故没有极值;若,则当时,,单调递减,当时,,单调递增,有极小值,极小值为,无极大值.(2)证明:由(1)可知,当时,有最小值,,由函数的最小值为0,得,由题知,,,,,,,(),令,则,令,则在上单调递增,又,在上,,,单调递减,在上,,,单调递增,,得证.8.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若有两个极值点,证明【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)解:当时,当时,,则令,则,或,,则,综上:当时,在上单调递增,当时,在和上单调递增,在上单调递减.(2)有两个极值是方程的两个不等实根,则要证:,即证:不妨设,即证:即证:对任意的恒成立令,,则从而在上单调递减,故,所以
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