新高考数学一轮复习基础巩固10.3 椭圆（精练）（含解析）

10.3 椭圆（精练）（基础版）

1．（2022江西月考）已知是椭圆上一点，，为椭圆的左，右焦点，且，则(　　)

A．1 B．3 C．5 D．9

【答案】B

【解析】对椭圆方程变形得，，易得椭圆长半轴的长为5，

由椭圆的定义可得，，

又因为，所以.故答案为：B.

2．（2022·江西模拟）“”是“方程表示椭圆”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分杂件

C．充要杂件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】由，可得，

当时，方程可化为，此时方程表示圆，所以充分性不成立；

反之：方程表示椭圆，则满足，即且，

所以不成立，即必要性不成立，

所以“”是“方程表示椭圆”的既不充分也不必要条件.

故答案为：D.

3．（2022奉贤期中）已知椭圆 则（　　）

A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同

C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等

【答案】D

【解析】椭圆 中，，则
则C1的顶点为，长轴长为，短轴长为4，焦距为；
同理，椭圆 中，，则
则C1的顶点为，长轴长为4，短轴长为4，焦距为；
故ABC错误，D正确. 故答案为：D
4．（2022·南充模拟）已知椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，若为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直线 过点 ，所以 ， 设 ，

由 两式相减并化简得 ，

即 ，所以 ，

所以椭圆 的方程为 .故答案为：B

5．（2022·宝鸡模拟）“”是“方程表示焦点在x轴上椭圆”的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，，解得：   ，

“   ”是“方程   表示焦点在x轴上椭圆”的必要不充分条件.

故答案为：C.

6．（2022·佛山模拟）若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是　         　.

【答案】（1，2）

【解析】因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，即实数k的取值范围为（1，2）.故答案为：（1，2）

7．（2022·郑州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为　     　．

【答案】7

【解析】由题意得：，解得：，所以，设出，则，解得：，故故答案为：7

8．（2022·株洲模拟）已知、是椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，若为直角三角形，则　     　．

【答案】

【解析】在椭圆中，，，，则.

（1）若为直角，则，该方程组无解，不合乎题意；

（2）若为直角，则，解得，

；

（3）若为直角，同理可求得.综上所述，.故答案为：.

9．（2022·奉贤模拟）已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为　           　.

【答案】或10

【解析】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；

若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去；

若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.

故答案为：或10.

10．（202·深圳月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上的一点，且 ，则 面积为　     　．

【答案】

【解析】由题意知 ，
设|PF1|=m，|PF2|=n，则 ，即
解得mn=12，
所以三角形   面积为 .
故答案为：
11（2021商丘）设为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为　     　.

【答案】18

【解析】由条件可知四边形为矩形，设则，

所以，即，即四边形的面积为.

故答案为：18．

1．（2022·眉山模拟）已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点.且是顶角为120°的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，设直线与轴的交点为，由是顶角为120°的等腰三角形，知，.

于是，在中.

而，故.

结合得，即，解得.

故答案为：C.

2．（2022·贵州贵阳）设，是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，点为直线上一点，是底角为的等腰三角形，

可得，所以，整理得，所以，

所以椭圆的离心率为.故选B．

3．（2022·陕西咸阳市）已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【解析】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.

故选：C.

4．（2021·乐清市知临中学高三月考）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点为，不妨设在第一象限，

则，解得，

中由余弦定理得，即，

所以，

，，又，，所以，

，所以．

故选：B．

5．（2021·江西新余·高三（理））已知是椭圆的左焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为．则离心率（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】P与Q关于原点对称，则Q(-2，-1)，

，

又三角形PQF的周长为，

设圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得，

，得，

将点P代入椭园方程可得：，解得，

，

则离心率，

故选A．

6（2022·广东）已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为___________.

【答案】

【解析】设，由题意知，的斜率为，则直线方程为，

设，联立直线和椭圆的方程得 ，

整理得，则，，

且，可得 ，则， ，

所以，可得，所以

故答案为：．

1．（2022湖北月考）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上一点，，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，因为，所以，，故椭圆C的标准方程为。 故答案为：D.

2．（2022·昌吉期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（　　）

A． B．或

C． D．以上均不正确

【答案】A

【解析】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，因椭圆过点和点，

于是得 ，解得，所以所求椭圆方程为。故答案为：A

3．（2022福州期中）方程化简的结果是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵方程，

表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，

∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；

∴；

∴椭圆的方程是，即为化简的结果．

故答案为：D．

4．（2022·宁德期中）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆：的直径，则椭圆的标准方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意可设椭圆的标准方程为，半焦距为，

由，半径为4，

故有，又，，

.

所以椭圆的标准方程为.故答案为：B

5．（2022·温州期中）已知椭圆一个焦点 ，离心率为 ，则椭圆的标准方程（　　） 

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为椭圆一个焦点 ，所以椭圆的的焦点在横轴上，且 ，

又因为该椭圆的离心率为 ，所以有 ，

所以 ，因此椭圆的方程为： ，

故答案为：D

6．（2022朝阳期中）若椭圆 的一个焦点为 ，则m的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【解析】依题意，椭圆焦点在 轴，所以 . 故答案为：C

7．（2022·浙江月考）阿基米德是古希腊著名的数学家，物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，解得，所以椭圆方程为。

故答案为：A．

8．（2022·深圳期中）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，P是C上一点， 垂直于x轴， ，则C的方程为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为 垂直于x轴， ，

所以 ，

所以 ，则 ，

所以C的方程为 .

故答案为：C.

9．（2022江都期中）阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，且椭圆的面积为，所以，又因为两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，所以得，解得， 所以椭圆的标准方程是。故答案为：A

10．（2022沈阳期中）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为，若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（　　）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【解析】根据题意，可得，

所以椭圆的标准方程为或.故答案为：B

11．（2022·攀枝花月考）已知椭圆的对称中心为坐标原点 ，一个焦点为直线 与 轴的交点，离心率为 ，则椭圆的标准方程为（　　） 

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】椭圆的对称中心为坐标原点O，一个焦点为直线l：x-2y-4=0与x轴的交点，
可得焦点坐标(4，0)，所以c=4，离心率为   ，解得   ，所以，所以所求椭圆方程为： .故答案为：A.
12．（2022·长安月考）已知椭圆C的焦点为 ，过F2的直线与C交于A，B两点.若 ， ，则C的方程为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵ ， ∴
又∵ ，∴， 又|BF1|+|BF2|=2a，
∴∴在Rt△AF2O中，，
在△BF1F2中，由余弦定理得，
则由得，∴b2=a2-c2=3-1=2，
则C的方程为： ， 故答案为：B
13（2022西青期末）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，直线与轴的交点，

又直线过椭圆的左焦点，所以，即，

因为直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为，

且，所以，即，

又由，所以椭圆的方程为。故答案为：D.

1．（2022云南）直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【答案】C

【解析】联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，

因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.

2．（2022黑龙江）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（    ）

A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个

【答案】A

【解析】直线和圆没有交点，直线与圆相离，圆心，半径

，即

点在以原点为圆心，半径为2的圆内，

又椭圆短轴长为4，圆=2内切于椭圆，点在椭圆内，

则过点的直线与椭圆的交点个数为2个.

故选：A.

3．（2022·江西 ）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．或

C．且 D．且

【答案】C

【解析】由题意，直线，可得直线恒过定点，

要使得直线与椭圆恒有公共点，

只需点在椭圆的内部或在椭圆上，可得，

即实数的取值范围为且.

故选：C.

4．（2022江苏）已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设椭圆长轴长为（且，则椭圆方程为．

由 ，可得，

因为直线与椭圆只有一个交点，则，

即．

解得或或，

又由，所以，所以长轴长．

故选：．

5（2021·全国高三专题练习）已知直线与椭圆相交于与A，B两点，若椭圆上存在点C，使得，则点C的坐标为______________.

【答案】或

【解析】设，，

由消去x整理得，，

则，，

所以，，

又，则点C在以为直径的圆上（不与、重合），

即点C在圆上，

由可得或.

故答案为：或.

1．（2022上海）椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，代入椭圆得，

两式相减得，即，

即，又即，即，

∴弦所在的直线的斜率为，故选：C.

2．（2022·北京）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（       ）

A．2 B． C． D．3

【答案】B

【解析】由题意联立方程组 ，解得或，

因为两点在椭圆上关于原点对称，不妨取 ，

则 ,

设过点C与AB平行的直线为 ，则与AB的距离即为点C到AB的距离，也就是的边AB上的高，

当与椭圆相切时，的边AB上的高最大，面积也最大，

联立，得： ，

令判别式 ，解得 ，

此时与间的距离也即是的边AB上的高为 ，

所以的最大面积为 ，

故选：B.

3．（2022·上海市）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.

【答案】

【解析】由题意，设，因为的中点为，所以.

又.

于是，即所求直线的斜率为.

故答案为：.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()与直线交于A、B两点，，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为________．

【答案】

【解析】由于的中点坐标为且满足直线方程，

即有，解得，则的中点坐标为．

设，，由得，

则，

∵的中点坐标为，∴，即，

则，即，故，

又，

解得，故．

∴椭圆方程为．

故答案为：．

5．（2022·江苏）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．

【答案】

【解析】设直线与椭圆的交点为

为的中点， ；

两点在椭圆上，则

两式相减得 ；

则 ； ；

故所求直线的方程为 ，即 ；

故答案为：

6．（2022·河北）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为 __．

【答案】

【解析】根据题意，抛物线的焦点为，则椭圆的焦点在轴上，且，

可以设该椭圆的标准方程为：，则，①

设点坐标为，，点坐标为，，有②，③，

②③可得：④，

又由直线的斜率为，则，

的中点的坐标为，则、，

代入④中，可得，

又由，则，，

故要求椭圆的标准方程为：；

故答案为：．

7．（2021·黑龙江）已知椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，且点是的中点，则直线的方程是___________.

【答案】

【解析】设，

因为点是的中点，可得，

由，两式相减得，

即，所以直线的方程为，即.

故答案为：.

8．（2022·贵州贵阳）已知椭圆的离心率是，点在椭圆 上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆交于两点， 求为坐标原点)面积的最大值．

【答案】(1)；(2).

【解析】（1）由题意可得 ，解得，故椭圆C的标准方程为；

（2）由题意可知直线的斜率存在，

设直线 ，

联立 ，整理得 ，

，

所以， 即 或，

则 ，

故 ，

点到直线的距离，

则的面积，

设，则 ，

故 ， 当且仅当时，等号成立，

即面积的最大值为．

9．（2023·全国·高三专题练习）已知动点与平面上点，的距离之和等于.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.

【答案】(1)(2)

【解析】（1）解：设点的坐标为，，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，，，，动点的轨迹的方程为．

（2）解：显然直线的斜率存在且不等于，设，，则，，又、在椭圆上，所以，，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；

10．（2022·河北）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴顶点分别为、，四边形的面积为32.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，求直线的方程.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)因为离心率，所以，因为，所以.

因为四边形的面积为32，所以，所以，，

故椭圆的标准方程为

(2)设，，则

两式相减得，所以.

因为的中点坐标为在椭圆内部，所以，所以直线的斜率为1，

故直线的方程为，即.