新高考数学一轮复习基础巩固10.4 双曲线（精练）（含解析）

10.4 双曲线（精练）（基础版）

1．（2021·太原期末）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（　　）

A．4 B．4或6 C．3 D．3或7

【答案】D

【解析】由双曲线定义知：，而，又且，

∴3或7，故答案为：D.

2．（2022郫都期中）双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点 到 的距离为11，则点 到 的距离为（　　） 

A．1 B．21 C．1或21 D．2或21

【答案】B

【解析】不妨设 ， 分别为双曲线的左右焦点，

当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，又 ，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.

3．（2021怀仁期中）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由双曲线 可知：

的周长为 .

当 轴时， 的周长最小值为

故答案为：C

4．（2022奉贤期中）已知 是双曲线 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为 . 设 分别为双曲线的左、右焦点.若 ，则 　     　.

【答案】5

【解析】因为双曲线的渐近线方程为3x-y=0 ，即y=3x=，所以，解得a=1，

 根据双曲线定义P是双曲线 右支上的一点， 满足|PF1|-|PF2|=2a= 2，

 所以|PF1|=|PF2|+2=5.故答案为：5

 5．（2022·开封模拟）若双曲线的焦距为，则实数　        　．

【答案】4或

【解析】当焦点在x轴时，可得解得；

当焦点在y轴时，可得解得．

所以或．故答案为：4或

6．（2022·岳普湖模拟）已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为　     　，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为　     　.

【答案】1；

【解析】双曲线的方程为，则.

设圆   分别与   相切于   ，

根据双曲线的定义可知   ，根据内切圆的性质可知   ①，

而 ②. 由①②得： ，所以 ，

所以直线   的方程为   ，即   的横坐标为   .

设   的坐标为   ，则   到圆M上点的最大距离为   ，

即   ，解得   .

设直线   的方程为   ，即   .

到直线   的距离为   ，解得   .

所以线   的方程为   .

由   且   在第一象限，解得   .

所以   ，   .

所以△F1PF2的面积为   .

故答案为：1；  

7．（2021温州期中）已知双曲线x2-y2 =1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2，则∣P F1∣+∣P F2∣的值为　     　.

【答案】

【解析】∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．

∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8

又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4

因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为

故答案为

1．（2021高三上·南开期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（　　）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：

由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，

则四边形为矩形，故，由已知可知，

由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，

所以，，

由双曲线的定义可得，所以，.

故答案为：A.

2．（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】∵，O为的中点，∴△为直角三角形，

设，

则，则，

∴，∴e＝.

故答案为：B.

3．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a

在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2

得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60° 解得所以故答案为：A

4．（2022·靖远模拟）若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（　　）

A． B． C． D．2

【答案】D

【解析】由题意得：渐近线方程的斜率为， 又渐近线方程为，所以，

所以C的离心率为故答案为：D

5．（2022·新乡三模）已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【解析】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为，

所以，所以，所以，双曲线C的离心率.

故答案为：B

6．（2022·湘赣皖模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作轴于M，依题意，

则 ，则为等腰直角三角形，令 ，则 ，由双曲线定义知   ．而，在中 ，

解得：，双曲线离心率，则．故答案为：C．

7．（2022·济南二模）已知 ， 分别为双曲线 的左､右焦点，点P在双曲线上，若 ， ，则双曲线的离心率为　     　. 

【答案】

【解析】不妨假设点P在双曲线右支上，则 ，

由于 ， ，故 ，

故 ，

而 ，

故 ，

故答案为：

8．（2022·汝州模拟）已知双曲线 的两条渐近线所夹锐角为 ，则双曲线的离心率为　     　．

【答案】

【解析】由于 ，双曲线的渐近线方程为 ， ，

所以双曲线的渐近线与 轴夹角小于 ，由 ，得 ，

则双曲线的离心率 ．

故答案为：

1．（2022·安徽模拟）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】椭圆 的焦点坐标为 ，设双曲线的标准方程为 ，

由双曲线的定义可得   ，

，   ，   ，因此，双曲线的方程为   。

故答案为：C.

2．（2022合肥期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，是的中点，所以，

，则，，解得，

所以双曲线方程为．故答案为：D．

3．（2022资阳期末）已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为　          　.

【答案】

【解析】根据双曲线的对称性可知，

点，在双曲线图像上，将其代入双曲线方程，所以解得

所以双曲线C：，故答案为：.

4．（2022徐汇期末）已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为　         　．

【答案】

【解析】考虑到双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，分别设双曲线方程如下：

实轴在x轴时，设双曲线方程为： ，则有 …①

其渐近线方程为 ，即 …②

联立①②，解得 ，双曲线方程为 ；

实轴在y轴时，设双曲线方程为 ，则有…③

其渐近线方程为 ，即 …④

联立③④，无解；

故答案为： .

5．（2022河南月考）经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为　    　．

【答案】

【解析】由题意设所求双曲线的方程为，

∵点在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程为，即。

答案：。

6．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为　         　.

【答案】

【解析】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，

由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，故答案为：

7．（2022·辽宁模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为　          　.

【答案】

【解析】【解答】因为渐近线方程为，所以，一个焦点到一条渐近线的距离为，所以， 故双曲线标准方程为.故答案为：

8．（2022·宁德模拟）若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方程是　         　.

【答案】

【解析】因为双曲线的渐近线为， 故设其方程为，

因为点在双曲线上，所以，，即所求方程为.故答案为：

9．（2022·广州模拟）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程　  　．

①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为﹔③焦距大于10

【答案】（答案不唯一，写出一个即可）

【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：

由②一条渐近线方程为知，，即

由③知，，即，

则可取（此处也可取大于的其他数）

又，，

则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：

故答案为：（答案不唯一， 写出一个即可）.

1．（2022·全国·课时练习）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，

所以，解得，所以实数k的取值范围为.故选：D.

2．（2022·全国·课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为______．

【答案】2

【解析】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．

故答案为：2

3．（2022·全国·课时练习）直线与双曲线的交点坐标为______．

【答案】，

【解析】由，消得

即，解得或

代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，，

故答案为：，

4．（2022·全国·高三专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.

【答案】

【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，

因为直线过原点且与双曲线没有交点，

故需满足，

故答案为：

5．（2022·全国· 专题练习）双曲线与直线交点的个数为_____.

【答案】1

【解析】联立方程可得，消可得，即，故，

故方程组有且只有一组解，故双曲线与直线有且只有一个交点.故答案为：1

6．（2022·四川·仁寿一中 ）若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.

【答案】

【解析】由，消可得，当或，解得或，故答案为：

7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.

【答案】

【解析】联立消去y：，，

得到，又直线不与渐近线平行，

所以.

故答案为：.

1．（2022·四川·射洪中学 ）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【解析】设点，，因为AB的中点，则有，

又点A，B在双曲线上，则，即，

则l的斜率，此时，直线l的方程：，

由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C

2．（2022·全国·专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.

【答案】

【解析】设，则，

将两点坐标代入双曲线方程得：；

将上述两式相减可得：

即，也即

所以，即

故答案为：

3．（2022·全国·课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．

【答案】

【解析】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，

所以．

故答案为：

4．（2021·云南）已知双曲线3x2﹣y2＝3，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，若P为AB的中点．

(1)求直线AB的方程；

(2)求弦AB的长．

【答案】(1)6x﹣y﹣11＝0

(2)

【解析】(1)设A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，1），则3x12﹣y12＝3，3x22﹣y22＝3，

两式相减得6（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，从而直线的斜率为6，

故所求直线方程为6x﹣y﹣11＝0；

(2)6x﹣y﹣11＝0与双曲线3x2﹣y2＝3联立，消去y，可得33x2﹣132x+124＝0，

∴x1+x2＝4，x1x2，

所以== ．

5．（2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.

(1)双曲线C的方程；

(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.

【答案】(1)(2)

【解析】（1）解：抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.

（2）解：依题意设，，由消去整理得，由，所以，，所以.

6．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.

(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；

(2)求线段的中点的坐标和.

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【解析】(1)

由双曲线方程知：，则，

由得：，则，

与双曲线有两个不同的交点.

(2)

设，，

由（1）得：，，；

；

.