新高考数学一轮复习基础巩固10.5 抛物线（精练）（含解析）

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10.5 抛物线（精练）（基础版）1．（2022·云南）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（       ）A．1   B．2   C．4   D．6【答案】C【解析】由，可得其焦点，准线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，则，解得，故选：C.2．（2022·云南·罗平县）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（       ）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】D【解析】由题意，抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，根据抛物线的定义，可得，解得.故选：D.3．（2022·安徽·高三开学考试）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（       ）A．3 B．4 C．7 D．13【答案】B【解析】因为，则准线方程为，依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.故选: B.4．（2022·全国·课时练习）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，设轴截面所在的抛物线的标准方程为，由已知条件，得点，所以，解得，所以所求焦点坐标为，因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为．故选：B5．（2022·河南平顶山）已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.【答案】3【解析】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，则 ,当A,F,C三点共线时取等号， 而，故的最小值为，故答案为：36．（2022·全国·课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．【答案】【解析】抛物线的焦点，准线方程为．过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，则，当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.7．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．【答案】5【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.1．（2022·云南）一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则该抛物线的标准方程为______．【答案】【解析】设正三角形边长为x．由三角形的面积公式：，解得：．由抛物线的对称性，可知正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得；当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得．综上，.所以抛物线的标准方程为．故答案为：2．（2021·海南 ）已知抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是__________．【答案】【解析】由题意，设抛物线的标准方程为，准线方程是， 抛物线的准线方程为， ，解得，即所求抛物线的标准方程为故答案为：3．（2021·北京二中 ）已知抛物线过点，则其准线方程为___________.【答案】 【解析】抛物线经过点，，解得：，抛物线的准线方程为，故答案为：．4．（2022·福建泉州 ）已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则___________.【答案】2【解析】由题意可得：准线为，故，则故答案为：2．5．（2022·湖南 ）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.【答案】【解析】依题意可得，所以抛物线的方程为.故答案为：6．（2022·全国· 单元测试）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．【答案】【解析】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，，因为抛物线过点，所以，可得，所以抛物线的焦点到准线的距离为．故答案为：7．（2022·黑龙江）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点在抛物线上，，若以线段为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线的方程为______．【答案】（答案不唯一）【解析】由题意，若抛物线的焦点在轴正半轴上，则可设抛物线方程为（），，，由焦半径公式可知，圆的半径为，得，并且线段中点的纵坐标是，所以以线段为直径的圆与轴相切，切点坐标为或，所以，即点的坐标为，代入抛物线方程（）得，解得或，即当点在轴正半轴上时，抛物线方程是或.同理，当点在轴负半轴时，抛物线方程为或，当点F在轴正半轴时，抛物线方程为或，当点在轴负半轴时，抛物线方程为或．故答案为：（答案不唯一）. 8．（2022·福建）根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点；(2)焦点为直线与坐标轴的交点．【答案】(1)或(2)或【解析】（1）当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为；当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为．综上，抛物线的标准方程为或．（2）令，得；令，得所以抛物线的焦点坐标为或．当焦点为时，抛物线的标准方程为．当焦点为时，抛物线的标准方程为．综上，抛物线的标准方程为或．1（2022·陕西渭南·）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（       ）A．4 B．2 C．0或4 D．8【答案】C【解析】联立得：，当时，交点为，满足题意；当时，由，解得，综上可知： 或，故选：C2．（2022·贵州黔东南 ）在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线C：于不同的两点，则（       ）A．16 B．32 C．64 D．56【答案】B【解析】易知直线斜率存在，设：，联立方程整理得所以所以故选：B.3．（2022·四川自贡 ）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（       ）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【答案】C【解析】由已知，可得①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，，，解得，故直线方程.所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.故选：C.4．（2022·上海徐汇 ）已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（       ）条A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点，直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条．综上，符合要求的直线有3条．故选：D．5．（2022·哈尔滨）已知抛物线C的方程为，直线l过定点，若抛物线C与直线l只有一个公共点，求直线l的方程．【答案】或或【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k．当时，直线l的方程为，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；当时，设直线l的方程为，由，得，因为抛物线C与直线l只有一个公共点，所以，解得或，所以直线l的方程为或，即或．综上，直线l的方程为或或．1．（2022·河南·高三开学考试（文））过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（       ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】设点的横坐标分别为，则.由过抛物线的焦点的弦长公式知：.故选：C2（2023·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（       ）A．6 B．8 C．2 D．4【答案】B【解析】因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：，设，不妨设，，则，点O到直线AB的距离为，所以△AOB的面积为故选：B4．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.【答案】8【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，设的方程为，，则由得，，，又，所以，即，，所以．故答案为：8．5．（2022·全国·专题练习）设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为______.【答案】【解析】拋物线：的焦点，准线，所以，过点且倾斜角为的直线方程为：，即0，设联立得，所以，所以点到直线0的距离所以．故答案为：