新高考数学一轮复习基础巩固10.6 三定问题及最值（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习基础巩固10.6 三定问题及最值（精讲）（含解析），共15页。试卷主要包含了定点，定值，最值等内容，欢迎下载使用。
10.6 三定问题及最值（精讲）（基础版）考点一 定点【例1】（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由题意可得，，即，又，解得，，，则椭圆的方程为；（2）证明：由（1）可得，①当直线的斜率存在时，设，，，由，所以，又，代入整理得，由消去整理得，所以，，所以，整理得，当时，直线过，不符合题意，所以，即，故直线的方程为，符合题意，故恒过点；②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得，即直线的方程为，必过定点，综上可得，直线恒过定点；【一隅三反】1．（2022·浙江模拟）如图，已知点A是抛物线在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且垂直于x轴．过A作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，且直线的斜率为4．（1）求抛物线的方程及A点坐标；（2）问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】见解析【解析】（1）解：因为，由，所以抛物线方程为，且（2）解：设的倾斜角依次为，由可知，再设的斜率分别为，下证．方法一：由可知且满足，再由．方法二：直线的方程为，其中分别对应，于是，即，，即，由可知．因为直线的方程为，其中分别对应，再设直线的方程为，联立求得其交点均满足，代入抛物线C的方程，于是有，将，整理得，进而得到，．将代入前式，有，化简得，再代入的方程得，所以恒过定点．2．（2022·西安模拟）已知抛物线上的点到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．（1）求抛物线C的方程；（2）当时，求证：直线AB过定点．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由抛物线C的方程可得其准线方程，依抛物线的性质得，解得．∴抛物线C的方程为．（2）证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；当直线AB的斜率不为0时，设直线，、、，由化简得，，，，，所以，所以，，所以若，即，解得或（舍去），所以直线AB过定点.3．（2022·朝阳模拟）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点．若，求证：直线经过定点．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，若直线过点，则、必有一点与点重合，不合乎题意，所以，，设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，，同理可得，由可得，即，因为，整理可得，解得，所以，直线的方程为，所以，直线过定点；若直线的斜率不存在，则，，则，不合乎题意.综上所述，直线过定点 考点二 定值【例2】（2022高三上·大理月考）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆E交于A，B两点，过点B作，垂足为C点，直线AC与椭圆E的另一个交点为D.（1）求椭圆E的方程；（2）试问是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由已知得 ，解得 ，所以 （2）解：由已知，不妨设 ，则 ， ，  所以 ， ，所以 ，代入椭圆 的方程得： ，设 ，则 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，即 ，也即 为定值 .  【一隅三反】1．（2022高三上·大同开学考）已知椭圆的右焦点为F，离心率，点F到左顶点的距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）已知四边形为椭圆的内接四边形，若边过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设的斜率分别为，试分析是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由题意知，，所以椭圆方程为.（2）解：设，则可得：代入椭圆方程整理得由代入上式得，是方程的一个解∴点C的横坐标，又因为在直线上∴，同理：∵，∴，即∴为定值，定值.2．（2022·雅安模拟）已知椭圆的右焦点为F，长轴长为4，离心率为．过点的直线与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值．【答案】（1）（2）-1【解析】（1）由已知有，解得，故椭圆C的标准方程为：；（2）解：由已知直线l斜率不为零，故设其方程为，由消去x得：（，令得．设，则有，易知，∴所以为定值-1．3．（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程.（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）-1【解析】（1）解：设椭圆的焦距为，则，解得故椭圆的方程为.（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线.联立整理得，则.因为，所以，则故为定值-1.考点三 最值【例3】（2022·陕西模拟）已知抛物线上有一动点，过点作抛物线的切线交轴于点．（1）判断线段的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；（2）过点作的垂线交抛物线于另一点，求的面积的最小值．【答案】见解析【解析】（1）解：设直线的方程为，和抛物线方程联立得：，由，得，则的解为，由得，，得，在中，令得，所以，中点为，所以线段的中垂线方程为，所以线段的中垂线过定点.（2）解：由（1）可知，直线的方程为将其与抛物线方程联立得：，，，.所以的面积为，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，.【一隅三反】1．（2022·焦作模拟）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条互相垂直的弦AB，，设弦AB，的中点分别为P，Q，求的最小值．【答案】见解析【解析】（1）解：依题意，设．由抛物线的定义得，解得：，因为在抛物线上，所以，所以，解得：．故抛物线的方程为．（2）解：由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为0．设直线AB的方程为，，．联立，整理得：，则，从而．因为P是弦AB的中点，所以，同理可得．则，当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为8．2．（2022·嵊州模拟）已知直线和直线与抛物线分别相交于A，B两点（异于坐标原点O），与直线分别相交于P，Q两点，且．（1）求线段的中点M的轨迹方程；（2）求面积的最小值．【答案】见解析【解析】（1）解：设，则，所以，解得，设直线的方程为，由得，则，于是，解得，设线段的中点，则，所以，故线段的中点M的轨迹方程（2）解：直线与直线的交点横坐标为，同理，所以，由（1）知，，所以，所以.又直线与x轴的交点坐标为，所以面积为，设，则，所以，所以，即时，面积有最小值.