人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列培优课1求数列的通项分层作业课件

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第四章 培优课❶　求数列的通项12345678910111.[探究点二]将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2 021,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M等于(　　)A.2 021×22 018 B.2 022×22 019C.2 021×22 019 D.2 022×22 020B1234567891011解析 记第n行的第一个数为an,则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2,∴an=(n+1)·2n-2.又每行比上一行的数字少1个,∴最后一行为第2 021行,∴M=a2 021=2 022×22 019.12345678910112.[探究点三](多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是(　　)A.数列{Sn+n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1C.数列{an+1}为等比数列D.数列{Sn-Sn-1+1}为等比数列AD1234567891011又S1+1=2,所以数列{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;所以Sn+n=2n,则Sn=2n-n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,但a1≠21-1-1,故B错误;12345678910113.[探究点一]已知在数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为　　 　　　. 12345678910114.[探究点二]已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1,且前n项和Sn满足1234567891011当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.当n=1时,b1=1符合上式.∴bn=2n-1.12345678910115.[探究点四]已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.(1)求a1的值;(2)若bn=an-1,试求数列{bn}的通项公式.(1)解 因为Sn=2an+n-4,所以当n=1时,S1=2a1+1-4,解得a1=3. (2)证明因为Sn=2an+n-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-4,Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),即an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-1),又bn=an-1,所以bn=2bn-1,且b1=a1-1=2≠0,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,则bn=2n.1234567891011A.2n-3 B.2n-7C.(2n-3)(2n-7) D.2n-5C1234567891011C12345678910118.已知在数列{an}中,an+1=2an+3·2n+1,且a1=2,则数列{an}的通项公式为　　　 　　. an=(3n-2)·2n 12345678910119.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan= an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式an.123456789101110.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;12345678910111234567891011123456789101111.已知有穷数列{an}的各项均不相等,将{an}的项由大到小重新排列后相应的项数构成新数列{pn},称{pn}为{an}的“序数列”,例如:数列a1,a2,a3满足a1>a3>a2,则其“序数列”{pn}为1,3,2.(1)若数列{an}的通项公式为an=(-2)n(n=1,2,3,4),写出{an}的“序数列”;(2)若项数不少于5项的有穷数列{bn},{cn}的通项公式分别为bn=n·( )n,cn=-n2+t·n,且{bn}的“序数列”与{cn}的“序数列”相同,求实数t的取值范围;(3)已知有穷数列{an}的“序数列”为{pn},求证:“{pn}为等差数列”的充要条件是“{an}为单调数列”.1234567891011(1)解 由an=(-2)n(n=1,2,3,4),可得a1=-2,a2=4,a3=-8,a4=16,于是a4>a2>a1>a3,故{an}的“序数列”为4,2,1,3.cn=-n2+t·n,且{bn}的“序数列”与{cn}的“序数列”相同,则c2>c3>c1>c4>c5>…>cn-1>cn,由于c1=t-1,c2=2t-4,c3=3t-9,c4=4t-16,则2t-4>3t-9>t-1>4t-16,得4cn成立,即实数t的取值范围是(4,5).1234567891011(3)证明必要性:若有穷数列{an}的“序数列”{pn}为等差数列,①若{pn}为1,2,3,…,n-2,n-1,n,则有穷数列{an}为递减数列;②若{pn}为n,n-1,n-2,…,3,2,1,则有穷数列{an}为递增数列,所以由①②知,有穷数列{an}为单调数列.充分性:由于有穷数列{an}为单调数列,则①若有穷数列{an}为递减数列,{pn}为1,2,3,…,n-2,n-1,n,是等差数列;②若有穷数列{an}为递增数列,则{pn}为n,n-1,n-2,…,3,2,1,是等差数列,所以由①②知,“序数列”{pn}为等差数列.综上,有穷数列{an}的“序数列”{pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列.