人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列培优课2数列的求和分层作业课件

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第四章 培优课❷　数列的求和123456789101112131415161718192021221.[探究点一]数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的第100项为(　　)A.299-1 B.2100-1 C.299 D.2100B123456789101112131415161718192021222.[探究点四]若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则它的前100项和S100=(　　)A.150 B.120 C.-120 D.-150A解析 S100=a1+a2+a3+…+a99+a100=-1+4-7+…+(-295)+298=50×3=150. 12345678910111213141516171819202122D12345678910111213141516171819202122BS=f(5)+f(4)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5),两式相加得2S=11×2=22,因此S=11. 123456789101112131415161718192021225.[探究点一·2023江苏徐州检测](多选题)已知数列{an}是等比数列,则下列结论正确的是(　　)C.若公比q=2,S100=36,则a1+a3+a5+…+a99=12D.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1AC12345678910111213141516171819202122选项C,因为数列{an}是公比为2的等比数列,所以数列a1,a3,a5,…,a99是公比 12345678910111213141516171819202122123456789101112131415161718192021226.[探究点二](多选题)设等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30,公差为d,则下列说法正确的是(　 　)A.an=2n+1B.d=2ABD12345678910111213141516171819202122解析 ∵{an}是等差数列,∴a6+a8=30=2a7,解得a7=15.又a2=5,a7-a2=5d, ∴d=2. ∴an=2n+1.故A,B正确.123456789101112131415161718192021227.[探究点四]12-22+32-42+…+992-1002=　　　　　.  -5 050解析 12-22+32-42+…+992-1002=(12-22)+(32-42)+…+(992-1002)=(1-2)×(1+2)+(3-4)×(3+4)+…+(99-100)×(99+100)=-(1+2+3+4+…+99+100)=-5 050.123456789101112131415161718192021228.[探究点六]已知在数列{an}中,an=(2n-1)3n-1,前n项和为Sn,则S20=　　 　　. 19×320+1 解析 S20=1×1+3×31+5×32+…+39×319,3S20=1×31+3×32+…+39×320,=-38×320-2,∴S20=19×320+1.123456789101112131415161718192021229.[探究点三]已知[x]表示不超过x的最大整数,例如:[2.3]=2,[-1.5]=-2.在数列{an}中,an=[lg n],n∈N*.记Tn为数列{an}的前n项和,则T2 023=　　　　. 4 962解析 当1≤n≤9时,an=[lg n]=0;当10≤n≤99时,an=[lg n]=1,此区间所有项的和为90;当100≤n≤999时,an=[lg n]=2,此区间所有项的和为900×2=1 800;当1 000≤n≤2 023时,an=[lg n]=3,此区间所有项的和为1 024×3=3 072;所以T2 023=90+1 800+3 072=4 962.1234567891011121314151617181920212210.[探究点一]已知等差数列{an}满足a5=9,a2+a6=14.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=an+qan (q>0),求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)设数列{an}的公差为d,则由a5=9,a2+a6=14, 所以{an}的通项公式为an=2n-1. 12345678910111213141516171819202122(2)由(1)可知bn=2n-1+q2n-1. 1234567891011121314151617181920212211.[探究点二]已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通项公式;123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212212.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2Sn-1=n,则S2 021的值为(　　)A.1 008 B.1 009 C.1 010 D.1 011D解析 由题意,当n≥2时,可得Sn-1=Sn-an,因为an+2Sn-1=n,所以an+2(Sn-an)=n,即2Sn=an+n,当n≥3时,2Sn-1=an-1+n-1,式子2Sn=an+n与2Sn-1=an-1+n-1左、右两边分别相减,可得2an=an-an-1+1,即an+an-1=1,所以a2+a3=1,a4+a5=1,a6+a7=1,…,所以S2 021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 020+a2 021)12345678910111213141516171819202122B123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212214.如图,正方形ABCD的边长为4 cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H作第二个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH的各边的中点I,J,K,L作第三个正方形IJKL,依此方法一直继续下去,记第一个正方形ABCD的面积为S1,第二个正方形EFGH的面积为S2,…,第n个正方形的面积为Sn,则前6个正方形的面积之和为(　　)B1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122 BD12345678910111213141516171819202122解析 设等差数列{an}的公差为d,又a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,所以 =a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),化简得d(d-1)=0,所以d=0或d=1,故an=1或an=n,所以bn=q或bn=nqn.设{bn}的前n项和为Sn,(1)当bn=q时,Sn=nq;(2)当bn=nqn时,Sn=1×q+2×q2+3×q3+…+n×qn,①qSn=1×q2+2×q3+3×q4+…+n×qn+1,②1234567891011121314151617181920212216.(多选题)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.记cn= 数列{cn}的前n项和为Sn,则(　　)A.an=2n-1 B.bn=2nC.S9=1 409 ABD123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212217.(多选题)在数列{an}中,若an+an+1=3n,则称{an}为“和等比数列”.设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=1,则下列对“和等比数列”的判断中正确的有(　　)AC12345678910111213141516171819202122解析 a1+a2=3,a2=2,因为an+an+1=3n,所以an+1+an+2=3n+1,两式相减得an+2-an=2×3n,所以a2 020=(a2 020-a2 018)+(a2 018-a2 016)+…+(a4-a2)+a2=2×(32+34+…+32 018)+2= ,故A正确,B错误;S2 021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 020+a2 021)=1+(32+34+…+32 020)1234567891011121314151617181920212218.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1= ,an+1+2SnSn+1=0,n∈N*,则S1S2+S2S3+…+S9S10=　　　　　. 解析 因为an+1+2SnSn+1=0,所以Sn+1-Sn+2SnSn+1=0,所以Sn-Sn+1=2SnSn+1,1234567891011121314151617181920212222 0201234567891011121314151617181920212210123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122d>0,n∈N*.(1)当a=1,d=2时,①求a16,a50;②求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a50|.(2)设集合M={b|b=ai+aj,i,j∈N*,1≤i≤16,17≤j≤50},是否存在实数a>0,12345678910111213141516171819202122解 (1)①由题意可得a16=a1+15d=1+15×2=31,a50=a16+(50-16)(-d)=31-34×2=-37.②由题意可得,当1≤n≤16时,an=1+2(n-1)=2n-1;当17≤n≤50时,an=31-2(n-16)=-2n+63,且当17≤n≤31时,an>0,当32≤n≤50时,an