高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教学ppt课件

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1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.3.理解Sn与an的关系,并能运用这个关系解决相关问题.
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知识点　等差数列的前n项和公式及其推导
名师点睛1.两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)只有在等差数列中S1等于a1.(　　)(2)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和.(　　)(3)不存在这样的n的值,使公差为正数的等差数列前n项和Sn等于0.(　　)
2.[人教B版教材例题改编]已知等差数列{an}的公差为2,且a20=29,则这个等差数列前20项的和为　　　　　.
解析 由等差数列的通项公式可得29=a1+19×2,由此可解得a1=-9.因此前20项和S20= =200.
3.[北师大版教材习题]某车间全年共生产2 250个零件,又已知1月生产了105个零件,每月生产零件的个数按等差数列递增.求平均每月比前一个月多生产多少个零件?12月生产多少个零件?
解 1月到12月每月生产零件的个数成等差数列,记为{an},则a1=105,S12=2 250,
所以a12=105+(12-1)×15=270.答:平均每月比前一个月多生产15个零件,12月生产270个零件.
探究点一　等差数列前n项和公式的基本运算
【例1】 [北师大版教材习题]在等差数列{an}中,(1)已知S8=48,S12=168,求a1和d;(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.分析 利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
规律方法　a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,在a1,d,n,an,Sn五个量中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.
变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5=(　　)A.15B.20C.25D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(　　)A.12B.13C.14D.15
又a2=3,∴a4=7,∴公差d=2.∴a7=a4+3d=7+3×2=13.
(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n=　　　　. 
探究点二　根据数列前n项和公式判断等差数列
【例2】 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
解 当n=1时,S1=a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故an=4n-5.数列{an}是等差数列,证明如下:因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,所以数列{an}是等差数列.
变式探究若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
解 ∵Sn=2n2-3n-1,①∴当n=1时,S1=a1=2-3-1=-2;当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1,②①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5.经检验,当n=1时,a1=-2
∵a2-a1=5,a3-a2=4,即a2-a1≠a3-a2,∴数列{an}不是等差数列.
规律方法　由Sn求通项公式an的步骤(1)令n=1,则a1=S1,求得a1.(2)令n≥2,则an=Sn-Sn-1.(3)验证a1与an的关系:①若a1适合an,则an=Sn-Sn-1;
探究点三　等差数列的求和在实际生活中的应用
【例3】 [人教B版教材例题]李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1日开始,每个月的1日都存入1 000元,共存入3年.(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰,则3年后李先生一次可支取本息共多少元?(设每月存款的利息不计入下月本金,下同.)(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰,则李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元?
解 (1)每1 000元“教育储蓄”存一个月能得到的利息是1 000×2.7‰=2.7(元).第1个1 000元存36个月,得利息2.7×36(元);第2个1 000元存35个月,得利息2.7×35(元);……第36个1 000元存1个月,得利息2.7×1(元).
=1 798.2(元).所以3年后李先生可支取的本息和为1 000×36+1 798.2=37 798.2(元).
(2)每1 000元“零存整取”存一个月能得到的利息是1 000×1.725‰=1.725(元),因此,若是“零存整取”,3年后李先生获得利息
因此,李先生多收益1 798.2-1 148.85=649.35(元).即李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益649.35元.
规律方法　应用等差数列解决实际问题的一般思路
变式训练2某渔业公司今年年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费的总和是　　　　　万元. 
解析 设第n年的维修费是an(万元),则an+1-an=4(万元),则每年的维修费构成以a1=12,d=4的等差数列{an},所以前10年的维修费的总和是
1.知识清单:(1)等差数列前n项和公式的推导过程.(2)与等差数列前n项和有关的基本运算.(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.(4)利用等差数列前n项和公式解决实际问题.2.方法归纳:倒序相加法、公式法、整体代换法.3.常见误区:(1)由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论;(2)判断等差数列时,容易忽视第一项的验证;(3)实际问题中易忽视还原验证.
1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=(　　)A.18B.20C.22D.24
2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则其公差d=(　　)
3.[北师大版教材习题]一凸n边形(n≥3,且n∈N*),各内角的度数成等差数列,公差是10°,最小内角是100°,则边数n=　　　　　. 
解析 由题知各内角的度数成等差数列,记为{an},则a1=100°,公差d=10°.内角和为100°n+ ×10°=(n-2)×180°,所以n=8或n=9.因为an=100°+(n-1)×10°<180°,所以n<9,所以n=8.
4.某电影院中,从第2排开始,每一排的座位数比前一排多2,第1排有18个座位,最后一排有36个座位,则该电影院共有　　　　　个座位. 
解析 从第1排开始每排座位数形成等差数列{an},其中a1=18,an=36.公差为d=2,则36=18+2(n-1),解得n=10.∴该电影院共有 =270(个)座位.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=8,S9=11a4.(1)求an;(2)若Sn=3an+2,求n.
解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1.
因为Sn=3an+2,所以n2+2n=6n+5,解得n=5或n=-1(舍去).故n=5.