人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用本章总结提升课件

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第五章 本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引 知识网络·整合构建重难探究·能力素养全提升专题突破·素养提升专题一　导数的计算及几何意义本部分内容有导数的几何意义,基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导,主要考查切线方程及切点,与切线平行、垂直问题,处理此类问题一般结合函数的切线转化为点到直线的距离,平行线间的距离问题,然后再研究最值问题.通过求切线方程的有关问题,培养数学运算、数学抽象等核心素养和转化化归数学思想.【例1】 (1)设f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=xln(2x-1),则f'(1)=　　　　　. 答案 2 (2)函数f(x)=3x-cos x在(0,f(0))处的切线与直线2x-my+1=0垂直,则实数m的值为　　　　　. 答案 -6 解析 f'(x)=3+sin x,∴f'(0)=3,∴f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为3,∵f(x)在(0,f(0))处的切线与直线2x-my+1=0垂直,∴3· =-1,解得m=-6.规律方法　导数的运算是解决一切导数问题的基础,要熟练掌握基本初等函数的求导法则,掌握函数的和、差、积、商的运算法则.复合函数求导的关键是分清层次,逐层求导,求导时不要忘了对内层函数求导.变式训练1(1)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1,1)处的切线与直线x+y=0平行,则实数a的值为(　　)A.-3 B.1 C.2 D.3A解析 由f(x)=aln x+x2,得f'(x)= +2x,则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=a+2,由切线与直线x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3.(2)设函数f(x),其中x∈(0,+∞),若f(ex)=x+e2x,则f'(x)的最小值为　　　　　.  解析 ∵f(ex)=x+e2x,∴f(ex)=ln ex+(ex)2,∴f(x)=ln x+x2,x∈(0,+∞), 专题二　函数的单调性与导数利用导数研究函数的性质,主要以指数函数、对数函数、三次函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题;通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.【例2】 已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥ x3+1,求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1,令φ(x)=ex+2x-1,由于φ'(x)=ex+2>0,故f'(x)是增函数,注意到f'(0)=0,故当x∈(-∞,0)时,f'(x)0,g(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,g'(x)0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)-1, 因为g(x)既有极大值,又有极小值,所以方程2x2+(4-a)x+3-a=0在区间(-1,+∞)上有两个不相等的实数根,即专题三　与导数有关的综合性问题1.导数是研究函数性质以及解决实际问题的强有力的工具,从近几年高考题看,利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到,一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.2.通过利用导数解决实际问题,培养数学建模,解决函数方程问题,提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.【例3】 已知函数f(x)=xln x.(1)求f(x)的最小值;(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围;(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.∴当x≥1时,g'(x)≥0,且不恒为0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=1,∴a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1].(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,则y=b的图象和y=f(x)的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点.规律方法　综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学思想方法,关键是分类讨论时,是否做到了不重不漏;数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势;构造函数时是否合理等问题.变式训练3已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在[0,1]上有两个零点,求a的取值范围.解 (1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增;当a>0时,由f'(x)=0,得x=ln a,所以当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)