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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件说课课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件说课课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了目录索引等内容，欢迎下载使用。
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
常用逻辑用语在内容上比较抽象,符号多、形式化程度高,对于逻辑推理、数学语言的运用等能力要求比较高,是学习的一个难点.但简洁、形式化的逻辑用语可以帮助克服很多逻辑错误,这是我们要学习常用逻辑用语的重要原因.
学习单元2 常用逻辑用语
本学习单元的最终目标就是在初中命题学习的基础上,通过学习充分条件、必要条件、充要条件及量词的内容并相互联系,逐步学会严谨、准确地进行数学表述,逐渐习惯用数学的思维和符号表述、研究数学结论.这也正是本学习单元的素养暗线. 学习过程中,要注意通过常用逻辑用语来梳理初中典型命题,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,提升逻辑推理、数学抽象素养.
知识点一:充分条件与必要条件一般地,“若p,则q”为真命题,就可以说,由p可以推出q,用符号记作 ,并说p是q的 条件,q是p的 条件. 名师点睛1.在逻辑推理中“p⇒q”的几种说法(1)“若p,则q”为真命题.(2)p是q的充分条件.(3)q是p的必要条件.
2.对充分条件的理解(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立. 能推出就行(2)充分条件不唯一,只要具备此条件就足够.例如x=6⇒x2=36,所以x=6是x2=36的充分条件.其实,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.(3)初中平面几何的判定定理就是充分条件的具体体现.
3.对必要条件的理解(1)定义表述:若p⇒q,则说明q是p的必要条件.(2)借助反证法理解q是p的必要条件.若q不成立,则p必定不成立.(否则p成立时,q必定成立,与之矛盾)所以,q对于p的成立是必要的.即表明q是p成立必不可少的条件.(3)初中平面几何的性质定理就是必要条件的具体体现.
微思考(1)“若p,则q”为假命题,那么p能否推出q?如何用符号表示?此时,p是q的充分条件吗?
(2)若p是q的充分条件,则p是否唯一?初中几何判断定理“同位角相等,两直线平行”说明了“同位角相等”是“两直线平行”的充分条件,你能否给出其他的充分条件?
提示 说明由条件p不能推出结论q,记作p q.即可以认为p不是q的充分 条件.
提示 不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如“内错角相等”“同旁内角互补”等都是“两直线平行”的充分条件.
(3)若q是p的必要条件,如何用“推出”的符号来表示?试用反证法解释一下性质定理“若两直线平行,则同位角相等”,说明“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件.
提示 q是p的必要条件,符号表示p⇒q,即两直线平行⇒同位角相等.说明“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件.反证法解释,若同位角不相等,则两直线必定不平行.所以同位角相等对于两直线平行是必要的,即表明“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件.
知识点二:充要条件如果“若p,则q”和“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作 .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 条件,简称为 条件.
名师点睛对充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件意味着p,q是等价的.p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立.(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.
微思考若“x>1”成立,能否推出 “x>0”成立?若“x>0”成立,能否推出“x>1”成立?从充分必要条件来思考,“x>1”是“x>0”的什么条件?从集合的角度来思考,{x|x>1}与{x|x>0}是什么关系?
提示 “x>1”⇒“x>0”,“x>0”“x>1”;“x>1”是“x>0”的充分不必要条件;{x|x>1}⫋{x|x>0}.
问题1初中已经学习过有关命题及其真假的判断.在高中,要对“若p,则q”形式命题中p,q的关系,从充分、必要条件等角度作进一步的研究,以便能用形式化的数学语言对研究对象及关系作更准确的表达.问题2一般地,“若p,则q”为真命题,即由p⇒q,是否可以说p是q的充分条件?实际上是这三种说法都是同一种事物不同类型的表述.问题3初中学过的平面几何的判定定理或性质定理,若从充分、必要条件的角度思考,实质上有什么样的对应关系?
探究点一 充分条件、必要条件的判断
问题4如何判断充分条件、必要条件?【例1】 (1)判断下列各题中,p是不是q的充分条件:①在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.②已知a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.③p:x>1,q:x2>1.
解①由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC.因此,p⇒q,所以p是q的充分条件.②因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件.③由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q,所以p是q的充分条件.
(2)判断下列各题中,q是不是p的必要条件:①p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.②p:|x|=|y|,q:x=y.③p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
解①直角三角形不能得到等腰三角形.因此p q,所以q不是p的必要条件.②若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p q,所以q不是p的必要条件.③设A={x|-2≤x≤5},B={x|-1≤x≤5},则B⫋A,所以p q,所以q不是p的必要条件.
【例2】 “x>0”是“x≠0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 对于“x>0”⇒“x≠0”,“x≠0” “x>0”.
【例3】 (多选题)x2=1的充分不必要条件是( )A.x=±1B.x=1C.x=-1D.x≠1且x≠-1
解析 根据题意可知,条件是选项,x2=1是结论.充分不必要条件即由条件能推出结论,且结论不能推出条件.x2=1即x=±1,所以A,B,C选项都可推出结论,但A选项与结论等价,即A选项是充要条件.故选BC.
延伸探究写出x>1的一个必要不充分条件是 .
x>0(答案不唯一)
解析 根据题意,条件是横线上需要填写的(假设是集合A),结论是x>1.必要不充分条件即是由结论能推出条件.即由x>1⇒条件A,即{x|x>1}⫋A.所以A可以是x>a(a<1)即可.所以任写一个满足条件的即可,如x>0.
规律方法 充分条件、必要条件的三种判断方法(1)命题判断法:①如果“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.②如果“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.(2)集合转化法:如果条件p和结论q分别对应集合A,B,那么若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若A=B,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件.(3)定义法:①确定哪个是条件,哪个是结论.②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则为充分条件,否则为不充分条件.③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则为必要条件,否则为不必要条件.
探究点二 多个充分必要条件的应用
【例4】 (多选题)[2023湖北武汉高一检测]已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列说法正确的是( )A.r是q的充要条件B.p是q的充分不必要条件C.r是q的必要不充分条件D.r是s的充分不必要条件
解析 由已知有p⇒r,q⇒r,r⇒s,s⇒q,由此得r⇒q且q⇒r,A正确,C不正确,由r⇒s⇒q即p⇒q,又q p,所以B正确,r⇒s且s⇒r,因此D不正确,故选AB.
规律方法 涉及多个条件与结论之间的充分条件、必要条件的判断,可以结合充分条件、必要条件的定义,转化成条件与结论之间的推出关系判断.
探究点三 充要条件的证明
【例5】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明 充分性(由条件推出结论):因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一个根为1,所以a+b+c=0⇒方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性(由结论推出条件):因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1⇒a+b+c=0,从而a+b+c=0⇔方程ax2+bx+c=0有一个根为1,因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
规律方法 充要条件的证明根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明:①充分性:由条件推出结论;②必要性:由结论推出条件.解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.
1.(例1对点题)指出下列命题中,p是q的什么条件.(1)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;(2)已知实数a,b,p:a+b>0,q:ab>0;(3)p:0≤x≤5,q:-1≤x≤5.
解 (1)△ABC中,有两个角相等时为等腰三角形,不能得出△ABC是正三角形,即p q,但q⇒p,则p是q的必要不充分条件;(2)若a+b>0,取a=3,b=-2,推不出ab>0,即p q;反之,若ab>0,取a=-2,b=-3,推不出a+b>0,即q p;因此p是q的既不充分也不必要条件;(3)p所表示的集合是q所表示集合的真子集,所以p⇒q,但q p,所以p是q的充分不必要条件.
2.(例2对点题)[2023湖南永州高一月考]设x∈R,则“x<1”是“0
解析 不等式2x+3≤0的解集为 ,不等式2x-6≤0的解集为B={x|x≤3},由于A⫋B,所以“2x+3≤0”是“2x-6≤0”的充分不必要条件.
4.(例3对点题)a<0,b<0的一个必要条件是( )A.a-b<0 B.a+b<0
解析 当a<0,b<0时,推不出a-b<0,A不符合;当a<0,b<0时,能推出a+b<0,B符合;当a<0,b<0时,推不出 >1,如a=-1,b=-2,C不符合;当a<0,b<0时, >0,则 <-1不成立,D不符合.故选B.
5.(例3对点题)0
解析 由题意,得A B,A⇐B,B⇔C,C D,C⇐D,所以A不是D的充分条件;A是D的必要条件,故选A.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
常用逻辑用语在内容上比较抽象,符号多、形式化程度高,对于逻辑推理、数学语言的运用等能力要求比较高,是学习的一个难点.但简洁、形式化的逻辑用语可以帮助克服很多逻辑错误,这是我们要学习常用逻辑用语的重要原因.
学习单元2 常用逻辑用语
本学习单元的最终目标就是在初中命题学习的基础上,通过学习充分条件、必要条件、充要条件及量词的内容并相互联系,逐步学会严谨、准确地进行数学表述,逐渐习惯用数学的思维和符号表述、研究数学结论.这也正是本学习单元的素养暗线. 学习过程中,要注意通过常用逻辑用语来梳理初中典型命题,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,提升逻辑推理、数学抽象素养.
知识点一:充分条件与必要条件一般地,“若p,则q”为真命题,就可以说,由p可以推出q,用符号记作 ,并说p是q的 条件,q是p的 条件. 名师点睛1.在逻辑推理中“p⇒q”的几种说法(1)“若p,则q”为真命题.(2)p是q的充分条件.(3)q是p的必要条件.
2.对充分条件的理解(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立. 能推出就行(2)充分条件不唯一,只要具备此条件就足够.例如x=6⇒x2=36,所以x=6是x2=36的充分条件.其实,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.(3)初中平面几何的判定定理就是充分条件的具体体现.
3.对必要条件的理解(1)定义表述:若p⇒q,则说明q是p的必要条件.(2)借助反证法理解q是p的必要条件.若q不成立,则p必定不成立.(否则p成立时,q必定成立,与之矛盾)所以,q对于p的成立是必要的.即表明q是p成立必不可少的条件.(3)初中平面几何的性质定理就是必要条件的具体体现.
微思考(1)“若p,则q”为假命题,那么p能否推出q?如何用符号表示?此时,p是q的充分条件吗?
(2)若p是q的充分条件,则p是否唯一?初中几何判断定理“同位角相等,两直线平行”说明了“同位角相等”是“两直线平行”的充分条件,你能否给出其他的充分条件?
提示 说明由条件p不能推出结论q,记作p q.即可以认为p不是q的充分 条件.
提示 不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如“内错角相等”“同旁内角互补”等都是“两直线平行”的充分条件.
(3)若q是p的必要条件,如何用“推出”的符号来表示?试用反证法解释一下性质定理“若两直线平行,则同位角相等”,说明“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件.
提示 q是p的必要条件,符号表示p⇒q,即两直线平行⇒同位角相等.说明“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件.反证法解释,若同位角不相等,则两直线必定不平行.所以同位角相等对于两直线平行是必要的,即表明“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件.
知识点二:充要条件如果“若p,则q”和“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作 .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 条件,简称为 条件.
名师点睛对充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件意味着p,q是等价的.p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立.(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.
微思考若“x>1”成立,能否推出 “x>0”成立?若“x>0”成立,能否推出“x>1”成立?从充分必要条件来思考,“x>1”是“x>0”的什么条件?从集合的角度来思考,{x|x>1}与{x|x>0}是什么关系?
提示 “x>1”⇒“x>0”,“x>0”“x>1”;“x>1”是“x>0”的充分不必要条件;{x|x>1}⫋{x|x>0}.
问题1初中已经学习过有关命题及其真假的判断.在高中,要对“若p,则q”形式命题中p,q的关系,从充分、必要条件等角度作进一步的研究,以便能用形式化的数学语言对研究对象及关系作更准确的表达.问题2一般地,“若p,则q”为真命题,即由p⇒q,是否可以说p是q的充分条件?实际上是这三种说法都是同一种事物不同类型的表述.问题3初中学过的平面几何的判定定理或性质定理,若从充分、必要条件的角度思考,实质上有什么样的对应关系?
探究点一 充分条件、必要条件的判断
问题4如何判断充分条件、必要条件?【例1】 (1)判断下列各题中,p是不是q的充分条件:①在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.②已知a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.③p:x>1,q:x2>1.
解①由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC.因此,p⇒q,所以p是q的充分条件.②因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件.③由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q,所以p是q的充分条件.
(2)判断下列各题中,q是不是p的必要条件:①p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.②p:|x|=|y|,q:x=y.③p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
解①直角三角形不能得到等腰三角形.因此p q,所以q不是p的必要条件.②若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p q,所以q不是p的必要条件.③设A={x|-2≤x≤5},B={x|-1≤x≤5},则B⫋A,所以p q,所以q不是p的必要条件.
【例2】 “x>0”是“x≠0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 对于“x>0”⇒“x≠0”,“x≠0” “x>0”.
【例3】 (多选题)x2=1的充分不必要条件是( )A.x=±1B.x=1C.x=-1D.x≠1且x≠-1
解析 根据题意可知,条件是选项,x2=1是结论.充分不必要条件即由条件能推出结论,且结论不能推出条件.x2=1即x=±1,所以A,B,C选项都可推出结论,但A选项与结论等价,即A选项是充要条件.故选BC.
延伸探究写出x>1的一个必要不充分条件是 .
x>0(答案不唯一)
解析 根据题意,条件是横线上需要填写的(假设是集合A),结论是x>1.必要不充分条件即是由结论能推出条件.即由x>1⇒条件A,即{x|x>1}⫋A.所以A可以是x>a(a<1)即可.所以任写一个满足条件的即可,如x>0.
规律方法 充分条件、必要条件的三种判断方法(1)命题判断法:①如果“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.②如果“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.(2)集合转化法:如果条件p和结论q分别对应集合A,B,那么若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若A=B,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件.(3)定义法:①确定哪个是条件,哪个是结论.②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则为充分条件,否则为不充分条件.③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则为必要条件,否则为不必要条件.
探究点二 多个充分必要条件的应用
【例4】 (多选题)[2023湖北武汉高一检测]已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列说法正确的是( )A.r是q的充要条件B.p是q的充分不必要条件C.r是q的必要不充分条件D.r是s的充分不必要条件
解析 由已知有p⇒r,q⇒r,r⇒s,s⇒q,由此得r⇒q且q⇒r,A正确,C不正确,由r⇒s⇒q即p⇒q,又q p,所以B正确,r⇒s且s⇒r,因此D不正确,故选AB.
规律方法 涉及多个条件与结论之间的充分条件、必要条件的判断,可以结合充分条件、必要条件的定义,转化成条件与结论之间的推出关系判断.
探究点三 充要条件的证明
【例5】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明 充分性(由条件推出结论):因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一个根为1,所以a+b+c=0⇒方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性(由结论推出条件):因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1⇒a+b+c=0,从而a+b+c=0⇔方程ax2+bx+c=0有一个根为1,因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
规律方法 充要条件的证明根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明:①充分性:由条件推出结论;②必要性:由结论推出条件.解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.
1.(例1对点题)指出下列命题中,p是q的什么条件.(1)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;(2)已知实数a,b,p:a+b>0,q:ab>0;(3)p:0≤x≤5,q:-1≤x≤5.
解 (1)△ABC中,有两个角相等时为等腰三角形,不能得出△ABC是正三角形,即p q,但q⇒p,则p是q的必要不充分条件;(2)若a+b>0,取a=3,b=-2,推不出ab>0,即p q;反之,若ab>0,取a=-2,b=-3,推不出a+b>0,即q p;因此p是q的既不充分也不必要条件;(3)p所表示的集合是q所表示集合的真子集,所以p⇒q,但q p,所以p是q的充分不必要条件.
2.(例2对点题)[2023湖南永州高一月考]设x∈R,则“x<1”是“0
解析 不等式2x+3≤0的解集为 ,不等式2x-6≤0的解集为B={x|x≤3},由于A⫋B,所以“2x+3≤0”是“2x-6≤0”的充分不必要条件.
4.(例3对点题)a<0,b<0的一个必要条件是( )A.a-b<0 B.a+b<0
解析 当a<0,b<0时,推不出a-b<0,A不符合;当a<0,b<0时,能推出a+b<0,B符合;当a<0,b<0时,推不出 >1,如a=-1,b=-2,C不符合;当a<0,b<0时, >0,则 <-1不成立,D不符合.故选B.
5.(例3对点题)0
解析 由题意,得A B,A⇐B,B⇔C,C D,C⇐D,所以A不是D的充分条件;A是D的必要条件,故选A.
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