高中数学第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词授课课件ppt

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知识点一:全称量词与全称量词命题 关键信息1.概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“　　　”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 2.表示:全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为　　　 　　. 
名师点睛对全称量词与全称量词命题的理解(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.(3)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
微思考给出下列命题:①所有的矩形都是平行四边形;②对任意一个x∈R,都有x2>0;③每一个菱形的对角线都垂直;④自然数是正整数.(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义?如何定义这类命题?(2)命题④是全称量词命题吗?它的量词是什么?
提示 这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
提示 是全称量词命题.只是省略了量词.可以补充量词“所有的”(“每一个”等).如所有的自然数都是正整数.
知识点二:存在量词与存在量词命题1.概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“　　　”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 2.表示:存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为　 . 
名师点睛对存在量词与存在量词命题的理解(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.(4)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
微思考给出下列命题:①有些矩形不是平行四边形;②存在一个x∈R,使得x2≤0;③至少有一个菱形的对角线不垂直;④有的自然数不是正整数.上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义?如何定义这类命题?
提示 这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
知识点三:全称量词命题和存在量词命题的否定
∃x∈M,¬p(x)
∀x∈M,¬p(x)
名师点睛常见词语的否定如下表所示:
微思考如何理解命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“存在一个矩形,不是平行四边形”?
提示 从逻辑上理解,命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说“存在一个矩形,不是平行四边形”.
问题1数学中对于一些含有变量的陈述句,由于不知道变量的范围,故无法判断真假,也不成为命题.若用一个短语对变量的范围作一个限定,怎样的限定就能够使之成为命题呢?问题2这类命题的特征是什么?关键是什么?
探究点一 全称量词命题与存在量词命题的辨析
问题3如何判断命题的类型?【例1】 判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数;(2)有些三角形不是等腰三角形;(3)有的实数是无限不循环小数;(4)对任意a,b∈R,若a>b,则
解(1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.(4)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
【例2】 判断下列语句是否为全称量词命题.(1)不相交的两条直线是平行直线;(2)若x>0,则x+2>2.
解 因为(1)可以改写为“对于所有不相交的两条直线都是平行直线”,因此是全称量词命题;(2)可以改写为“对所有实数x,若x>0,则有x+2>2”,是全称量词命题.
规律方法　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
有些全称命题省略了量词,要认真理解命题的实际含义并补全量词.
探究点二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
问题4既然是命题,则必须会判断命题的真假.这一类命题的真假如何判断?【例3】 判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+1> ;(2)每一条线段的长度都能用正的有理数表示;(3)存在一个数既是偶数又是负数;(4)∃x∈R,使等式x2+x+8=0成立.分析 对于全称量词命题,判断为真,需要证明;判断为假,举出反例.对于存在量词命题,判断为真,举出特例;判断为假,需要证明.
解(1)真命题,因为x2≥0,所以x2+1≥1,x2+1> 恒成立.(2)假命题,如边长为1的正方形的对角线长为 ,它的长度就不是有理数.(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.(4)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
规律方法　判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.(3)对于省略量词的全称量词命题,要学会补全量词.有时需要利用真假性相反来验证.
探究点三 全称量词命题与存在量词命题的否定
问题5初中已经学习了命题与命题的否定,知道其真假性是相反的.据此,全称量词命题、存在量词命题从逻辑上该如何否定?如何理解规则才不会引发逻辑错误?
【例4】 写出下列各命题的否定,并判断真假.(1)p:对于所有的正数x, >x;(2)r:存在一个三角形,它的内角和不等于180°;(3)s:有些质数是奇数.分析 先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定及判断真假.
解(1)¬p:存在正数x,使 ≤x.是真命题.(2)¬r:所有三角形的内角和等于180°,是真命题.(3)¬s:所有的质数都不是奇数,假命题.
规律方法　1.一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性相反的命题;全称量词命题和存在量词命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
探究点四 根据命题的真假求参数的取值范围
问题6全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断是正向求解.若采取逆向思维,你能求出命题中的未知参数吗?【例5】 已知命题:“∀x∈R,x2+ax-4a≠0”为真命题,则实数a的取值范围为(　　)A.{a|-16≤a≤0}B.{a|-16解析 命题∀x∈R,x2+ax-4a≠0,表示“方程x2+ax-4a=0无实根”,即Δ=a2+16a<0,∴-16规律方法　若根据含参数的存在量词命题是假命题求参数的范围,假命题对思维有一定的阻碍,一般会利用命题的否定转化为真命题来求解.
变式训练已知命题:“∃x∈R,x2+x-4a=0”为假命题,则实数a的取值范围为(　　)
解析 命题的否定:∀x∈R,x2+x-4a≠0,即等价于“方程x2+x-4a=0无实根”,即Δ=1+16a<0,∴a<- .故选B.
1.(例1对点题)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(2)对于任意的实数x,都有x2>0;(3)存在整数对x0,y0,使2x0+y0=3;(4)若平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形是正方形.
解 (2)(4)是全称量词命题,其中(4)需要补全量词.(1)(3)是存在量词命题.(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.(2)假命题.如x=0时,x2=0.(3)真命题. =1∈Z,使得2x0+y0=3.(4)假命题.若平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形是矩形,不一定是正方形.
2.(例2对点题)下列语句:①被7整除的数都是奇数;②存在实数x,使方程x2-x+1=0成立;③等腰梯形的对角线相等.其中是全称量词命题且为真命题的序号是　　　　　. 
解析 全称量词命题有①③,其中①是假命题,如70.②是存在量词命题,假命题,③是真命题.
3.(例4对点题)写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:∀x∈R,x2-x+ ≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x>0,x2+2x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
解 (1)¬p:∃x∈R,x2-x+ <0,是假命题.∵∀x∈R,x2-x+ =(x- )2≥0恒成立,∴¬p是假命题.(2)¬q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.(3)¬r:∀x>0,x2+2x+7>0,是真命题.∵∀x>0,x2+2x+7=(x+1)2+6>0恒成立,∴¬r是真命题.(4)¬s:∀x∈R,x3+1≠0,是假命题.∵当x=-1时,x3+1=0,∴s是假命题.
4.(例4对点题)[2023山东威海高一月考]命题“∀x≥1,x2-x+1>0”的否定是(　　)A.∃x<1,x2-x+1≤0B.∃x≥1,x2-x+1≤0C.∀x≥1,x2-x+1≤0D.∀x<1,x2-x+1≤0
解析 命题“∀x≥1,x2-x+1>0”的否定是“∃x≥1,x2-x+1≤0”.
5.(例4对点题)有人认为命题“若x>1,则2x+1>5”的否定是“若x>1,则2x+1≤5”,你认为对吗?如果不对,请说出理由并正确写出命题的否定.
解 不对.从真假性上可知,原命题为假命题,命题的否定也是假命题,与“命题及命题的否定真假性相反”明显不符合,所以否定是错的.正确的否定应是:“∃x>1,2x+1≤5”.