人教A版高中数学必修第一册第3章一元二次函数、方程和不等式3-2-1第2课时函数的最大(小)值课件

这是一份人教A版高中数学必修第一册第3章一元二次函数、方程和不等式3-2-1第2课时函数的最大(小)值课件，共32页。

第三章3.2.1　第2课时　函数的最大(小)值基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点:函数的最大(小)值的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)∀x∈I,都有f(x)≤M;(2)∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值. 存在f(x0)=M名师点睛若y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)的值域是[f(a),f(b)];若y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数y=f(x)的值域是[f(b),f(a)].微思考设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:∀x∈I,都有f(x)≤M;是否可称M是函数y=f(x)的最大值?提示 不可以.必须要∃x0∈I,使得f(x0)=M. 重难探究·能力素养全提升问题1函数单调性通过代数方式来刻画,体现了代数对于未知函数的研究.类比于此,函数最值的几何表达,可否通过代数方式来刻画?探究点一 利用函数的图象求函数的最值问题2根据函数图象,如何求函数最值?关键要把握什么?【例1】 已知函数 求f(x)的最大值、最小值及函数的值域.解作出函数f(x)的大致图象(图略).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0.因此函数的值域是[0,1].规律方法　图象法求最值的基本步骤 探究点二 利用函数的单调性求最值问题3未知函数图象,根据单调性如何求函数最值?【例2】 已知函数f(x)=x+ .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.分析 (1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.解(1)f(x)在区间[1,2]上单调递减.∵x10,1f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.规律方法　1.利用单调性求函数最值的一般步骤(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性画出草图,写出最值.2.函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.问题4已知确定性函数求函数最值是一个确定问题,若函数不确定,又该如何处理?【例3】 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.解y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图1.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图2)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.图1 图2 当12时,函数在[0,2]上单调递减,如图4.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当12时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.图3 图4 规律方法　1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的单调性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值,可作如下讨论: 探究点三 与最值有关的应用问题问题5如何求解实际问题中的函数最值?要注意什么限制性条件?【例4】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y与x的函数关系式.(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?解(1)当020时,y=260-100-x=160-x.(2)当020时,160-x<140.故当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润为156万元.规律方法　解函数应用题的一般程序(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.学以致用·随堂检测全达标1234561.(例1对点题)函数y=|x+1|+2的最小值是(　　)A.0 B.-1 C.2 D.3C解析 y=|x+1|+2的图象如图所示.由图可知函数的最小值为2.123456B解析 函数 在[2,+∞)上单调递增,所以其最小值为2. 1234563.(例1对点题)已知函数(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解 (1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值. 1234564.(例2对点题)[2023山东烟台高一月考]已知函数f(x)=x+ .(1)根据定义证明f(x)在[1,+∞)上单调递增;(2)若对∀x∈[2,4],恒有f(x)≤2m-1,求实数m的取值范围.1234561234565.(例3对点题)函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.123456解 由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:当t+1≤1,即t≤0时,如图1所示,此时函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.当 即0400时,f(x)<60 000-100×400<25 000.∴当x=300时,f(x)max=25 000,即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.